基于改进动态面技术的机械臂系统容错优化*

刘世平，金向杰

(1.河南职业技术学院机电工程学院，郑州 450000；2.华北水利水电大学机械学院，郑州 450000)

0 引言

机械臂是一种依靠伺服电机执行器驱动的多关节自动化装置，对控制系统的依赖性极高，在工业制造、农业生产、探测救援和教育医疗等领域发挥着越来越重要的作用，已经成为了广大学者研究的热点问题[1-4]。由于机械臂系统通常处于长时间不间断地工作状态中，不可避免地会发生机械和电气故障，不仅会影响电机执行器的工作效率，严重时还会威胁人身安全，所以设计合理的控制方法对机械臂保持一定的容错能力具有重要意义[5-7]。

针对机械臂系统的容错控制研究，在国内外已经取得了一定成果，如：文献[8]提出了一种采用信号重构的主动分散容错控制方法，通过数值积分器和微分跟踪器重构故障信号，并结合自适应模糊分散控制方法，实现了对机械臂系统的容错控制，但是没有考虑干扰和模型误差等不确定性的影响；文献[9]建立了机械臂关节负载补偿力矩突变的最优控制方法，通过构造最优抑制函数，求解出最优控制方法，有效补偿了负载力矩突变问题；文献[10]通过引入一阶滤波器将传感器故障转化成伪执行器故障，采用多步时延技术补偿执行器故障，提出了一种基于自适应神经网络的容错控制方法；文献[11]提出了一种基于非奇异积分滑模面和反推控制的容错控制方法，该方法的鲁棒性、快速性比较好，但需要已知扰动和不确定性的边界值。

为此，本文针对机械臂系统中存在的外界干扰和模型误差等问题，提出了一种改进的容错控制方法，首先设计改进动态面来克服传统动态面的抖振问题，然后分别设计自适应律来补偿不确定性和执行器故障，最终实现了机械臂系统的精确容错控制，并通过仿真实验验证了提出的方法具有较好的稳定性、准确性、快速性和容错性。

1 建立机械臂运动模型

本文研究的机械臂系统由两个关节组成，在工业装配、物流分拣等领域发挥着重要的作用，结构示意图如图1所示。

图1 机械臂结构示意图

由于机械臂系统属于强耦合的复杂系统，也具有高度的非线性，所以建立的数学模型不可避免地存在着误差。同时，机械臂系统在实际工作过程中，也容易受到摩擦等外界干扰的影响，这些不确定性必然会影响控制精度。为了提高控制效果，必须考虑不确定性对机械臂系统的影响，机械臂系统的数学模型可以描述为[12-13]：

(1)

对于机械臂系统，存在等式如下[14]：

(2)

机械臂系统的执行器指的是各关节处的伺服电机，由于机械磨损等原因，电机不可避免地会发生失效故障，导致输出的控制力矩减小，控制精度降低，达不到期望的控制效果。机械臂系统的执行器故障模型可以描述为：

(3)

(4)

2 改进动态面技术的容错控制律设计

动态面技术是一种典型的自适应控制方法，对于非线性系统具有较好的控制效果，能够有效抑制外界干扰和模型误差对控制精度的影响，因此广泛应用于非线性不确定系统中[14]。但是在实际应用过程中，由于系统误差会在动态面附近来回振荡，不可避免地会产生抖振现象，很大程度上影响了控制效果[15]。因此，本文结合传统动态面技术，提出了改进动态面，通过自适应律来补偿不确定性和执行器故障，实现机械臂系统的容错控制，控制系统结构图如图2所示。

图2 控制系统结构图

2.1 改进的动态面技术

在传统动态面的基础上，设计一个能够克服抖振现象的改进动态面。首先定义机械臂系统的输入角度指令为qd，则跟踪误差为：

e=q-qd

(5)

传统动态面通常需要综合考虑跟踪误差以及误差的微分项，当动态面收敛到0的时候，系统的跟踪误差也就随之收敛到0。传统动态面通常设计[15]为：

(6)

其中，L=LT>0。传统动态面虽然能够使系统误差收敛到0，但是不可避免地会出现抖振现象，影响控制效果。为了解决抖振问题，在式(6)的基础上，设计改进动态面为：

J=S+χ

(7)

其中，χ表示改进动态面和传统动态面的误差，用来补偿传统动态面的抖振问题，χ的表达式设计为：

(8)

2.2 设计容错控制律

在改进动态面(7)的基础上，设计机械臂系统容错控制律，实现包容执行器故障和不确定性的容错控制。容错控制律设计为：

(9)

其中，M和f的表达式为：

(10)

(11)

(12)

其中，β>0。

3 稳定性分析

定理1：本文设计的改进动态面(7)能够在有限时间内收敛到0。

证明：由文献[15]可以得到，传统动态面(6)能够在有限时间tS内收敛，则tS之后，可以得到：

(13)

选取Lyapunov函数如下：

(14)

对上式求导可得：

(15)

由Lyapunov稳定性定理可以得到，改进动态面(7)能够收敛到0。接下来，求解改进动态面的收敛时间tJ。将式(14)代入式(15)并化简可得：

(16)

对式(16)两端在tS～t之间同时积分可得：

4[V0.25(t)-V0.25(tS)]≤-20.75α2(t-tS)

(17)

当t=tJ时，改进动态面(7)能够收敛到0，则V(tJ)=0。那么将t=tJ代入式(17)中，化简可以得到改进动态面(7)的收敛时间tJ满足：

(18)

证毕，定理1成立，即改进动态面(7)能够在有限时间tJ内收敛到0，tJ满足式(18)。

定理2：针对包含不确定性和执行器故障的机械臂系统式(4)，设计的基于改进动态面的容错控制律式(9)、自适应律式(11)和式(12)，能够稳定跟踪指令信号，确保跟踪误差收敛到0。

证明：考虑如下Lyapunov函数：

(19)

(20)

将式(4)代入可得：

(21)

将容错控制律(9)代入并化简得：

(22)

将自适应律(11)代入并化简得：

(23)

将自适应律(12)代入并化简得：

(24)

由定理1可得，改进动态面(7)能够在有限时间收敛到0，则由式(7)可以得到：

(25)

将式(25)代入式(24)可得：

(26)

由Lyapunov稳定性定理可以得到，定理2成立。即设计的基于改进动态面的容错控制律(9)能够包容执行器故障和不确定性的影响，使机械臂系统稳定跟踪指令信号，确保跟踪误差收敛到0。

4 仿真实验与对比分析

对本文所设计的基于改进动态面技术的容错控制方法进行Matlab仿真验证，采用具有2个关节的机械臂系统进行实验，并与文献[16]的方法进行了对比，来验证了本文方法的优越性。

4.1 实验参数设置

机械臂系统的模型参数[14]为：

(27)

仿真时间为10 s，机械臂系统的初始状态为：

机械臂系统的指令:

进一步可以得到:

设置不确定性为：

设置执行器故障：当t=3 s时，关节1执行器发生ρ1=0.8的失效故障；t=7 s时，关节2执行器发生ρ2=0.6的失效故障。经过多次调试，选取容错控制律参数为：α1=5，α2=8，μ=0.3，β=0.6，L=diag{0.2,0.4}。

4.2 对比实验与分析

为了验证本文所设计的基于改进动态面技术的容错控制方法的优点，分别采用本文方法和文献[16]所设计的动态面容错控制方法进行了对比仿真，得到了关节1的角度、角速度和角加速度的仿真结果如图3～图5所示，其中，实线为指令信号，短虚线为文献[16]的仿真曲线，长虚线为本文方法的仿真曲线。

(a) q1仿真曲线

(b) eq1仿真结果图3 关节1的角度仿真曲线

由图3的仿真结果可以看出：在文献[16]容错控制方法的作用下，关节1的角度在2 s后才能大致跟踪指令信号，并且由于一般动态面控制会发生抖振，导致跟踪误差比较大，在-0.3 rad～0.3 rad范围内波动；当机械臂系统的执行器在t=3 s和t=7 s发生失效故障的时候，跟踪曲线发生剧烈振荡，振荡幅度在-0.6 rad～0.6 rad范围内波动，在1 s后，剧烈振荡逐渐消失；而在本文所设计的基于改进动态面的容错控制律的作用下，关节1的角度在0.35 s内就可以稳定跟踪指令信号，跟踪误差仅在-0.01 rad～0.01 rad范围内，当机械臂系统的执行器在t=3 s和t=7 s发生失效故障的时候，跟踪曲线发生轻微振荡，振荡幅度也仅在-0.05 rad～0.05 rad范围内波动，并且在0.2 s内，振荡就逐渐消失。

仿真曲线

仿真结果图4 关节1的角速度仿真曲线

从图4的仿真结果可以看出：在文献[16]控制律的作用下，角速度跟踪曲线的响应时间比较长，跟踪误差和振荡幅度比较大，控制效果不好；而在本文所设计的容错控制律的作用下，明显缩短了响应时间，减小了跟踪误差和振荡幅度，能够实现包容不确定性和执行器故障的容错控制。

仿真曲线

仿真结果图5 关节1的角加速度仿真曲线

从图5的仿真结果可以看出：在文献[16]控制律的作用下，角加速度跟踪曲线的响应时间长、跟踪误差大，并且振荡幅度大，不能够实现包容不确定性和执行器故障的机械臂系统容错控制；而本文所设计的容错控制律，能够明显缩短响应时间，减小跟踪误差和振荡幅度，控制效果非常好。

同理，得到关节2的仿真结果如图6～图8所示。

(a) q2仿真曲线

(b) eq2仿真结果图6 关节2的角速度仿真曲线

仿真曲线

仿真结果图7 关节2的角速度仿真曲线

仿真曲线

仿真结果图8 关节2的角加速度仿真曲线

对关节2的仿真结果得到了与关节1类似的结果，说明了本文所设计的基于改进动态面的容错控制律能够包容机械臂系统中不确定性和执行器故障的影响，具有很好容错控制效果，并且改进动态面对抖振现象具有抑制作用。

综合以上对仿真结果的分析与讨论，可以得出本文所设计的基于改进动态面的容错控制律具有很好的稳定性、准确性、快速性和容错性，同时验证了改进动态面能够有效抑制抖振现象。

5 结 论

针对机械臂系统的执行器故障和不确定性等问题，提出了一种基于改进动态面技术的容错控制方法。通过仿真得出以下结论：

(1)设计的容错控制方法能够包容不确定性的影响，在0.35 s内即可稳定、准确跟踪到指令信号，并将跟踪误差控制在-0.01 rad～0.01 rad范围内，鲁棒性比较好；

(2)设计的容错控制方法能够包容执行器失效故障的影响，将振荡幅度控制在-0.05 rad～0.05 rad范围内，并且能够在0.2 s内，逐渐稳定、准确跟踪指令信号，容错性比较好；

(3)提出的改进动态面能够很好地抑制抖振现象，很大程度上改善了控制效果。