含橡胶连杆平行四边形机构的非线性动力学分析

程寿国 ，刘 毅 ，苏春芳 ，刘洪斌

（1.上海大学 机电工程与自动化学院，上海 200072；2.江阴职业技术学院 a.机电工程系，b.计算机科学系，江苏 江阴 214405；3.国家电网湖北省电力有限公司 五峰县供电公司，湖北 宜昌 443413）

0 引言

橡胶材料的阻尼特性和非线性特性研究已经引起了许多学者的关注.Balasubramanian 等［1］研究了橡胶矩形板阻尼与三种不同耗散模型的关系，并用激光多普勒测振仪进行了验证.Menga 等［2］讨论了几何参数和材料参数对橡胶层滚动轴承动态特性的影响，他们发现周期性和非周期性动力学响应同时存在.Gong等［3］研究了车身低频模态的平顺性和振动能量对橡胶元件环境温度降低的影响.为了保证车辆在一定速度下具有良好的乘坐舒适性，他们提出了橡胶部件工作的合理环境温度范围.Luo［4］和Shi［5］还研究了橡胶弹簧模型的非线性动力学在车辆动力学中的应用.Xiao等［6-8］提出了往复压缩机出现故障时的非线性动力学问题，他们研究了平动关节的间隙、旋转关节的间隙和考虑活塞杆为柔性杆时多种情况下的非线性动力学行为.Zhao等［9］介绍了往复式压缩机平面间隙刚柔耦合动力学的仿真与优化问题.

以上学者主要研究了橡胶件的静力学问题和刚性杆机构运动中的非线性动力学问题.本文主要分析带有橡胶连杆的平行四边形机构的动力学行为，并用有限元法对其进行刚柔耦合分析，为含橡胶构件的动力学研究和含大变形构件的非线性研究提供参考.

1 含橡胶连杆的平行四边形机构简介

图1 为平行四边形机构示意图.曲柄OA 是一个驱动曲柄，它以恒定速度旋转.连杆AB 的材料为橡胶，BC杆为从动曲柄.驱动曲柄OA的长度与从动曲柄BC的长度相同.连杆AB的长度与机架杆OC的长度相同.当OA，AB，BC 和OC 均为刚性杆时，则OA 和BC 的转速完全相同，即输入转速和输出转速相同.当杆AB为橡胶材料时，橡胶材料的特性使得杆AB往往不能被认为是一个刚性杆.在杆OA的驱动下，连杆AB 将发生较大的变形和弯曲，使得杆BC 的动力特性比全刚体时复杂得多.图2 为橡胶连杆AB 的尺寸图.连杆AB的有效长度为220 mm，连杆厚度为10 mm，呈细长孔状（延长孔）.在杆AB两侧的半圆中心分别开一个直径为15 mm 的轴承孔，两个轴承孔与各自相连的两个曲柄轴承孔平面铰连接.曲柄OA 和曲柄BC的形状相似，旋转铰中心的距离为100 mm.

图1 平行四边形机构示意图

图2 橡胶连杆AB的尺寸图

2 含橡胶连杆的平行四边形机构动力学分析

为了研究橡胶连杆的材料特性，本文采用有限元法将橡胶连杆生成了柔性体.利用SimDesigner 软件调用MSC-Nastran 求解器计算橡胶连杆的大变形，并在动态仿真前将连杆作为柔性体激活.通过软件仿真，可以一次计算出许多动态参数.本文以从动曲柄的Y 方向位移、速度、加速度和角速度为研究对象，图3为主动曲柄转速为75 r/min时橡胶连杆平行四边形机构从动曲柄的动力学响应时域图.

图3 主动曲柄转速为75 r/min时橡胶连杆平行四边形机构从动曲柄的动力学响应时域图

从图3（a）可以看出，刚柔耦合系统与全刚体平行四边形系统的位移曲线几乎重合，说明橡胶杆材料柔性对Y方向位移的影响不大.

从图3（b）可以看出，刚柔耦合系统与全刚体平行四边形系统的速度曲线相比较在上下顶点处有一些波动，波动约在三个周期（每个周期0.8 s）左右消失，大约从第七个周期开始逐渐增强，这也反映了橡胶材料的阻尼特性.从速度-时间动力响应时域图可以看出，波动逐渐减小，经过一段时间后逐渐增大.

图3（c）是全刚体系统和刚柔耦合系统在Y方向加速度的时域图.在刚柔耦合系统中，加速度约在前三个周期时间内的波动非常明显，远大于图3（a）和图3（b）中的波动.研究还表明，加速度对橡胶材料的特性非常敏感，变化剧烈.从图中还可以看出，前三个周期变化较大，然后波动变化逐渐减小.在曲柄转动3～5 s时间内，变化不大，与速度的时域图状态相似.可以近似地认为，前3 s的加速度变化是非周期性的，3～5 s是周期性的，5 s后的非周期性信号和波动变化是逐渐增强的.

图3（d）是角速度的时域图.图中实线为全刚体（7.853 rad/s）系统从动曲柄的角速度.角速度时域图与加速度时域图在Y 方向的变化趋势相似.转动开始时，波动较大，约3 s后开始减小，3～5 s接近周期性信号，5 s后波动逐渐增大.

3 系统的稳定性判别

3.1 相图观测法

相图观测法是判断系统运动稳定性最直接的方法之一.如果系统在多个运动周期中的相图是同一条闭合曲线，则可以认为系统是周期性运动.如果相图是一条多周期、无重复的曲线，则系统运动可视为非周期性运动.它是否是混沌运动，还需要用其他判据进一步分析.图4为从动曲柄的运动响应相图.

图4 从动曲柄的运动响应相图

图4 （a）是从动曲柄中心点Y 方向速度和加速度的相图.全刚体系统的速度和加速度的相图是非常平坦的椭圆形状，刚柔耦合系统的位移和加速度相图变化剧烈.

图4（b）是从动曲柄中心点Y 方向位移和加速度的相图.全刚体系统的位移和加速度相图近似于一条100 mm长的 “线段” ，刚柔耦合系统的位移和加速度相图围绕这条线段跳跃并剧烈变化.

图4（c）是从动曲柄中心点Y 方向位移和速度的相图，与前两个相图相比，相图清晰得多.从图中可以看出，带有橡胶连杆的从动曲柄的运动是混沌的.

3.2 计算最大Lyapunov指数的判别法

计算最大Lyapunov 指数是判断系统是否混沌的定性方法之一.如果计算得到的系统最大Lyapunov指数大于零，通常可以用来判断系统的运动是混沌的.

将从动曲柄Y方向加速度仿真计算的数据导出到MATLAB软件中，通过WOLF方法计算最大Lyapunov指数.图5 为当曲柄转速为75 r/min 时的Lyapunov 谱，求得的最大Lyapunov 指数为0.018.图6 为当曲柄转速为60，90，120 r/min时，求得的最大Lyapunov指数分别为0.024 6，0.067 6和0.063 3.

在上述四种速度下计算得到的最大Lyapunov指数均为正数，可以判断从动曲柄的运动是混沌的.

图5 转速为75 r/min时的Lyapunov指数

图6 转速为60，90，120 r/min时的Lyapunov指数

4 结论

本文采用有限元法对柔性体进行建模，并利用动力学仿真软件对带橡胶连杆的平行四边形机构的动力学行为进行了计算.通过分析Y 方向加速度和从动曲柄角速度的时域图，发现系统在运动时间上同时存在周期性运动和非周期性运动.利用相图和最大Lyapunov 指数判断系统中从动曲柄的运动是混沌的.