不确定广义系统的状态反馈鲁棒镇定控制器设计

吴 越

（吉林师范大学 数学学院，吉林 四平 136000）

0 引言

近几年，鲁棒镇定问题和鲁棒控制问题是控制理论领域热议的话题.其中，王耀青［1］提出鲁棒控制是针对受控系统，在受到内部不确定性或外部干扰时，通过设计的静态或动态的反馈控制器，让闭环系统达到预定的指标；束亚东［2］说明稳定是保证系统正常运行，达到平衡状态的前提；王刚等［3］指出鲁棒性是系统的健壮性，是在系统出现异常或危险状况下生存的关键.应用线性矩阵的稳定性判据，对确定形式的不确定性结构信息，设计反馈控制器能够维持闭环系统稳定以及达到合理的性能，从而实现稳定性；俞立［4］表明广义系统在所有容许的不确定性结构参数的摄动下都能保持系统的稳定性.虽然广义系统的鲁棒稳定问题已经获得了大量的研究成果，但是如何运用外部控制设计，找到合适的反馈控制器或找到相应的控制规律，让一个不稳定的系统稳定，需要更进一步的研究.

本文主要研究在广义系统中有不确定性结构时，由不确定广义系统的鲁棒稳定性分析的第二类分析问题，归纳出鲁棒镇定控制器的设计方法.对于解决现实问题的控制系统中，由于受控系统本身的不确定性，包括记录数据时的建模误差，快子系统到慢子系统的降维误差，广义系统引用参数的运行误差，还有外界不确定因素，如未知的干扰输入等，这些因素是不可避免的，因此，鲁棒控制问题的研究对于解决实际问题是有帮助的［5］.

1 问题描述和引理

考虑不确定广义系统

其中：x(t) ∈ Rn为状态向量；E ∈ Rn×n和 A ∈ Rn×n为定常矩阵；E 为奇异矩阵；ΔA(t) ∈ Rn×n为不确定性矩阵.

如果广义系统（1）对任意给定的不确定性ΔA(t)都是容许的，即稳定无脉冲，那么称广义系统（1）是鲁棒稳定的.其中，鲁棒稳定条件更强一些.

考虑不确定广义系统（1），假设不确定性ΔA(t)具有如下形式

其中：D和M为适当维数的定常矩阵；F(t)是适当维数的不确定实矩阵，并且具有勒贝格可测元，它满足范数有界的不确定性条件

选取一个泛函

其中，矩阵X ∈ Rn×n.将V(x(t))按广义系统（1）的轨迹对t求导，得

考虑不确定广义系统（1），对于所有允许的不确定性ΔA(t)，如果存在矩阵X ∈ Rn×n和正实数α ＞ 0，对于任意x(t) ∈ Rn，满足

那么称不确定广义系统（1）是二次稳定的.

不确定广义系统是二次稳定的等价概念：考虑不确定广义系统（1），对于所有允许的不确定性ΔA(t)，t ∈ R.如果存在矩阵X ∈ Rn×n和正定矩阵 L ∈ Rn×n，L ＞ 0，使得

成立.其中A0(t) = A + ΔA(t)，那么称不确定性广义系统（1）是二次稳定的.

引理1 考虑不确定广义系统（1），其不确定性矩阵ΔA(t)的形式为式（2）.则不确定广义系统（1）是二次稳定的充分必要条件是广义系统为鲁棒稳定的.

证明：先证必要性.如果不确定广义系统（1）是二次稳定的，那么该广义系统是鲁棒稳定的.由不确定广义系统（1）是二次稳定的等价概念可知，对于所有允许的不确定性ΔA(t)，t ∈R，都存在矩阵X ∈ Rn×n和正定矩阵 L ∈ Rn×n，L ＞ 0，使得

成立，由概念得到

根据广义李雅普诺夫方程的稳定性判据的推论［6］知，不确定广义系统（1）对所有允许的不确定性结构ΔA(t)都是容许的.那么该不确定广义系统为鲁棒稳定的.

再证充分性.如果不确定广义系统（1）是鲁棒稳定的，即存在矩阵X ∈Rn×n，它是可逆的，满足广义黎卡提不等式［7］

注意

令

由上式得L ＞0.于是

那么不确定广义系统（1）是二次稳定的.

2 稳定性分析

2.1 第一类鲁棒稳定性分析

第一类鲁棒稳定性分析问题是在不确定广义系统的标称广义系统是容许的条件下，求使不确定广义系统是鲁棒稳定的不确定性的最大扰动范围.

假设标称广义系统（E，A）是容许的，并记degdet(sE - A) = r，λmax(M)表示矩阵M 的最大特征值.则总存在可逆实矩阵P和Q，使得

且A1是稳定的.该系统分解为第二类降阶子系统分解.另记

其中：x1∈ Rr；P1∈ Rr×n；Q1∈ Rn×r.则广义系统受限等价于

定理1 假设标称广义系统（E，A）是容许的，则当不确定性ΔA(t)有如下范数界

时，广义系统（1）是鲁棒稳定的，其中，M ＞0为李雅普诺夫方程

的唯一正定解.

2.2 第二类鲁棒稳定性分析

在广义系统（1）中，系统的参数是不确定的，则鲁棒稳定性判据有如下等价命题：

Ⅰ.不确定广义系统（1）是鲁棒稳定的.

Ⅱ.存在可逆矩阵X ∈ Rn×n及正实数ε ＞ 0满足广义黎卡提不等式

Ⅲ.线性化处理，存在可逆矩阵X ∈ Rn×n及正实数ε ＞ 0，令δ = ε-1，δ ＞ 0，满足线性矩阵不等式

证明：Ⅱ⇒Ⅰ设可逆矩阵X ∈Rn×n及正实数ε满足广义黎卡提不等式（4）和（5），则对于所有允许的不确定性ΔA(t)，t ≥ 0，有

即

由广义李雅普诺夫不等式的稳定性判据知，广义系统（1）对于所有允许的不确定性ΔA(t)都是容许的，即命题Ⅰ成立.

Ⅰ⇒Ⅱ设不确定广义系统（1）是鲁棒稳定的，则对于所有允许的不确定性ΔA(t)，存在可逆矩阵X满足

定义矩阵Y = ATX + XTA.对于任意的非零向量x ∈ Rn×n，得

则

于是

消除范数有界不确定性有

存在常数λ ＞ 0使得

对式（7）两端同时除以λ，且令λ = ε-2，得

即命题Ⅱ成立.

Ⅱ⇒Ⅲ由Schur引理，得

则式（5），（6）成立，即命题Ⅲ成立.

Ⅲ⇒Ⅱ同理，即命题Ⅱ成立.

2.3 鲁棒镇定控制器的设计方法

鲁棒控制是针对控制系统中的不确定性，通过设计静态或动态的反馈控制器，使闭环系统达到性能指标.第二类鲁棒稳定性分析与鲁棒镇定问题，在LMI方法和这类参数不确定性广义系统的鲁棒稳定性判据基础上，对这类不确定广义系统提出一个鲁棒镇定器的设计方法［8］.

反馈意义下的不确定广义系统

当ΔA(t) ≡0及ΔB(t) ≡0时，即去掉不确定性，标称广义系统为

考虑不确定广义系统

为了使受控系统达到目标，设计一个静态的状态反馈控制器

那么能够使闭环广义系统

是鲁棒稳定的.其中：x(t) ∈Rn和u(t) ∈Rn分别为状态输入向量和控制输入向量；E 为奇异矩阵；E，A ∈ Rn×n，B ∈ Rn×m均为定常矩阵；D，M 和 F(t)的意义与式（2）相同；ΔA(t) ∈ Rn×n和 ΔB(t) ∈ Rn×m为不确定性矩阵，且具有如下形式

且F(t)满足式（3）；K ∈ Rm×n；AC= A + BK；ΔAC(t) = ΔB(t)K.

在参数变化的条件下，系统仍然保持预期的性能，不确定性集合构成的状态反馈控制器能够保持系统的结构特征不变，并且该闭环广义系统（12）由不确定广义系统（10）和所设计的静态的状态反馈控制器（11）构成，该闭环系统达到了期望的要求.

定理2 如果存在可逆矩阵X ∈ Rn×n及正实数ε ＞ 0，令δ = ε-1，δ ＞ 0，满足线性矩阵不等式

因为控制系统的稳定性与反馈增益之间是有关联的，所以，构成的闭环广义系统（12）是鲁棒稳定的.知道系统结构和参数，通过得到的控制规律，系统在该控制器的作用下达到期望的理想状态.其中，所设计的静态反馈控制器（11）是存在的，该控制器中的一个状态反馈矩阵也称为控制器增益矩阵，即

该矩阵是容许的［9］.

证明 假设存在可逆矩阵X ∈ Rn×n及正实数 ε ＞ 0 满足不等式（14）和（15），状态反馈矩阵K 由式（16）给出.记

将式（14），（15）分别左乘矩阵TT和右乘矩阵T，令Y = X-1，得

由Schur引理，式（17）等价于

又因为

于是

即

由Schur引理得

由式（18），（22），利用第二类鲁棒稳定性判据的等价命题，得到构成的闭环广义系统（12）是鲁棒稳定的.

通过上述分析，提出的LMI设计方法是一种解决思路，是针对不确定广义系统（10）的状态反馈鲁棒镇定控制器设计问题的.控制器的设计保证了控制的品质，即使是针对不确定的对象，以闭环系统的鲁棒性作为目标，从而得到的固定控制器就是鲁棒控制器［10］.

稳定是控制系统正常工作的首要条件，设计状态反馈控制器是广义系统能镇定的条件之一.如果不确定广义系统是二次稳定的，那么该系统鲁棒稳定，此时的镇定控制器可称为容许的控制器.相反，如果不确定广义系统鲁棒稳定，那么该系统不一定是二次稳定的.广义系统满足内部稳定性时，通常意义下的渐进稳定条件是不够的，还需要包括容许性即正则，无脉冲且渐进稳定.

3 结论

通过以参数不确定性广义系统为研究对象，改变参数不确定性的结构，满足容许性的前提条件下，基于LMI研究方法，运用Schur引理，设计一个状态反馈鲁棒镇定器，利用参数不确定性广义系统的鲁棒稳定性判据，得出一个状态反馈鲁棒镇定器的设计方法.解决广义系统分析综合问题的首选是设计状态反馈控制器，它功能优越，方法简单.从受控系统获取信息，改变系统的控制量，把控制量受调节的作用反馈给受控系统，其中状态反馈使闭环系统能够获得理想的状态，从而受控系统实现了状态反馈.