履带车辆纵向与垂向耦合动力学模型及功率特性

李春明， 吴维， 郭智蔷， 苑士华， 陈思

(1.中国北方车辆研究所， 北京 100072；2.北京理工大学 机械与车辆学院， 北京 100081)

0 引言

以坦克装甲车辆为代表的高机动履带车辆越野工况机动性至关重要，其既影响车辆行驶速度，又关乎车辆的战场生存能力。履带车辆行驶在不平路面上时会产生垂向、俯仰等运动[1]，这些运动会消耗部分驱动功率[2]，降低发动机功率的利用率，对履带车辆越野机动性产生影响。掌握履带车辆垂向、俯仰运动对履带车辆机动性的影响规律，揭示车辆纵向与垂向动力学耦合效应，对提高履带车辆的越野机动性具有重要意义。

在履带车辆动力学研究方面，Murphy等[3]在1976年提出北约参考机动模型(NRMM)，车体为刚体，具有垂向和俯仰自由度，两个相邻负重轮之间有连接弹簧，以体现履带对整个负重轮系的拖带作用。Mccullough等[4]在1986年提出一种高速履带建模方法，平衡肘和负重轮被整合，其相对车体只有一个旋转的自由度，且负重轮、履带和路面之间的接触关系被分成3种情况，该模型主要对履带车辆平顺性进行预估。Rakheja等[5]在1992年提出一种七自由度的履带车辆半车模型，用于研究草地和军用车辆工程机构(MVEE)随机路面下悬架刚度对履带车辆平顺性的影响。Dhir等[6]在1994年提出二维履带车辆模型，悬挂系统简化为只能沿垂向方向运动的弹性和阻尼元件，履带简化成没有质量的带子且有预张紧力，并得到了履带车辆在特定不平路面上的动态响应。Ma等[7]在2002年提出一种支持履带车辆动态仿真的履带- 负重轮- 地面相互作用数学模型，考虑了地面形貌、地面性质、负重轮位置、履带刚度等的影响。斯洛伐克兹沃伦科技大学Matej[8]在2013年提出一种考虑张紧机构的履带车辆数学模型，结果表明合理设置张紧装置参数可以改善履带车辆的驱动性能。王红岩等[9]建立考虑履带张力影响的转向模型，可以比较准确地计算出履带车辆稳态转向两侧履带的滑移率和滑转率。英国曼彻斯特大学Ata等[10]建立了忽略履带的七自由度半车模型，结果表明安装在车体两端的减振器能使车辆具有更好的平顺性。Li等[11]在2015年对履带车辆履带与地面之间的耦合关系进行了研究，并根据仿真结果对履带车辆行动系统参数进行了优化。在履带车辆平稳性研究方面，北京理工大学丁法乾[12]不考虑履带作用，将车辆悬架系统等效为线性系统，并以矩阵形式列写出了履带车辆的动力学方程。北京特种车辆研究所王克运等[13]以多刚体系统动力学理论为基础建立了平衡肘式悬挂系统模型，仿真分析了履带车辆越障时的动力学响应并与实车试验对比。装甲兵工程学院史力晨等[14]研究了高速履带车辆在不平路面行驶时悬挂系统的动力学响应。马星国等[15]通过悬挂系统当量刚度和当量阻尼建立履带车辆动力学分析模型，采用小波域阈值滤波对高频路面进行滤波，以反映履带对高频路面的滤波作用。朱兴高等[16]建立了履带、负重轮有限元模型，研究了履带在重力作用下的变形，得到不同路面下履带对地面的滤波函数。在轮式车辆研究方面，Reina等[17]建立了车辆非线性模型以预测车辆运行状态。张征等[18]建立了三自由度车辆模型和轮胎模型，用来估计车辆质心侧偏角。此外，随着多体动力学软件的广泛应用，Recurdyn、ADAMS等软件开始用于履带车辆动力学响应分析，取得了一定的效果。

综上所述，国内外对履带车辆动力学研究，早期以自主建模分析为主，后期主要是通过多体动力学软件仿真的方法进行，且主要单独关注履带车辆的垂向动力学响应或纵向动力学响应，对履带车辆垂向动力学与纵向动力学之间的耦合关系研究较少。因为坦克装甲车辆在越野工况下行驶性能分析手段极其重要，尤其是越野行驶速度的定量评价方面，所以不应局限于只采用国外垄断的商业多体动力学软件进行研究，且现有多体动力学软件在长距离越野路面建模、设置参数与模型参数显性关联性上存在不足，有必要开发自主建模仿真分析方法。

针对高机动履带车辆越野行驶工况特点，本文提出考虑车辆纵向和垂向耦合效应的履带车辆纵向与垂向耦合动力学建模方法，并与多体动力学软件仿真结果进行对比，在此基础上对履带车辆行驶过程中的功率特性进行研究，以期为履带车辆越野行驶机动性的提升提供理论方法支持。

1 履带车辆耦合动力学模型

1.1 车辆纵向与垂向耦合动力学模型

建立的高机动履带车辆纵向与垂向耦合动力学模型如图1所示。选取绝对坐标系与大地固连，车辆行驶方向为x轴正方向，车体竖直方向为z轴，向上为正；y轴与x轴、z轴满足右手定则。图1中，a为车辆纵向加速度，mc为车体质量，Iy为车体俯仰转动惯量，zc为车体垂向位移，xc为车体纵向位移，φ为车体俯仰角，Kzi、Czi分别为第i个负重轮悬架等效垂向刚度与阻尼，i=1，2，…，6；Kxi、Cxi分别为第i个负重轮悬架等效纵向刚度和阻尼，zi为第i个负重轮垂向位移；KR为负重轮径向刚度，R为负重轮直径；FTr和FTf分别为履带工作段拉力和张紧段拉力。履带车辆单侧有6个负重轮，考虑车体的垂向运动、纵向运动以及俯仰运动，同时考虑每一个负重轮的垂向运动和纵向运动。履带车辆各个系统之间的相互作用力包括悬架系统的垂向和纵向作用力、负重轮和履带之间的垂向和纵向作用力，纵向、垂向分别对应x轴和z轴。

图1 履带车辆纵向与垂向耦合动力学模型Fig.1 Longitudinal and vertical coupled dynamic model of tracked vehicle

根据车辆受力分析，建立车体和负重轮的动力学方程如下：

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

式中：g为重力加速度；γr和γf分别为履带工作段和张紧段与水平路面之间的夹角；hi和li分别为质心到第i个负重轮的垂向距离和纵向距离；L为主动轮、诱导轮与履带接触受力点距车体质心的纵向距离，H为其距车体质心的垂向距离；mi为第i个负重轮质量；Fxi、Fzi分别为第i个负重轮与车体之间的纵向力和垂向力(假设两轮接触受力点位置对称)；Fn,iz和Fn,ix分别为负重轮与履带之间的垂向力和纵向力；xi为第i个负重轮的纵向位移；μb为负重轮的滚动阻力系数。

车体与负重轮之间的纵向力是通过悬架系统导向机构传递的，将车体和负重轮纵向相互作用等效为纵向的刚度和阻尼作用，则车体与负重轮之间纵向作用力可以表示为

(6)

车体与负重轮之间的垂向力是通过悬架系统等效的垂向刚度和阻尼计算得到的，于是车体与负重轮之间的垂向作用力可以表示为

(7)

1.2 负重轮履带接触模型

图2 负重轮模型Fig.2 Model of load wheel

负重轮作为高速履带车辆系统中与履带接触的主要元件，实现了履带与车体之间相互作用力的传递。本文采用径向弹簧负重轮模型对负重轮与履带间的力学特性进行描述，如图2所示，负重轮由沿周向布置的N个彼此相互独立的径向弹簧单元构成。图2中，q为履带高程，Fn为履带对负重轮的法向力，Fn,x和Fn,z为Fn的纵向分力和垂向分力，θ为Fn与负重轮垂向夹角，αj(j=1，2，…，N/2+1)为每个径向弹簧单元与负重轮纵向的夹角，其变化范围是0～π rad，沿着顺时针方向逐渐增大。

在模型中，对于与负重轮纵向夹角为αj的径向弹簧单元，其径向弹簧变形量为Δδj，径向弹簧单元下部对应的履带高程为qj，负重轮模型参数存在如(8)式所示的近似关系：

(R-Δδj)sinαj+qj≈dz+R，

(8)

式中：dz为轮心垂向位移。

负重轮的垂向分力Fn,jz和纵向分力Fn,jx可用(9)式和(10)式表示：

(9)

(10)

于是，根据径向弹簧单元的弹簧力计算公式，可得履带对负重轮法向接触力的垂向分力Fn,z和纵向分力Fn,x的计算公式如(11)式和(12)式所示：

(11)

(12)

2 履带车辆功率流分析

根据履带车辆的动力学模型，可以得到车辆动态功率平衡方程如(13)式所示：

(13)

第i个负重轮的功率平衡方程为

(14)

履带车辆的瞬时纵向运动功率Pq(t)为

(15)

履带车辆的瞬时非纵向运动功率包括车体俯仰瞬时功率、垂向瞬时功率和负重轮垂向运动瞬时功率，瞬时非纵向运动功率Ps(t)为

(16)

(17)

(18)

此外，履带车履带运转和冲击振动也会消耗部分功率，履带振动的功耗可以表示为

(19)

式中：ρ为履带单位长度的质量；ω为履带振动的固有圆频率，ω=2πf，f为固有频率，一般取前5阶；c为履带振动的振幅，与地面激励和车速有关；v为履带相对速度。

3 路面模型

高机动履带车辆越野行驶路面条件非常复杂，影响路面条件的因素众多，包括坡度、凸起、凹坑等，本文分别采用履带车辆测试用的正弦路和随机路面作为路面激励，开展履带车辆行驶过程中的功率特性研究。

3.1 正弦路面数学模型

典型正弦波路面激励模型的数学表达式如下：

(20)

式中：x0为正弦路面起始点位置；A为正弦路面幅值；λ为正弦路面波长。

3.2 随机路面数学模型

根据国际标准ISO/DIS 8608机械振动- 路面谱- 测量数据和我国国家标准GB 7031—86车辆振动输入路面平度表示方法，随机路面是利用路面功率谱密度对路面不平度的统计特性进行描述，路面功率谱密度的函数[19]表达式为

(21)

式中：Gq(n)为路面功率谱密度，n为空间频率；Gq(n0)为路面不平度系数，n0为参考空间频率；w为频率指数。

本文采用正弦波叠加法建立随机路面的空间域模型，模型由一系列正弦波叠加而成，第k个单元区间内得到正弦函数为

(22)

式中：nk为第k个空间频率区间的平均空间频率；Δnk为第k个空间频率区间的宽度；θk为(0 rad，2π rad)内服从均匀分布的随机数。然后将各区间正弦函数叠加，得到随机路面空间模型为

(23)

式中：m为空间频率的区间个数。

3.3 软路面承压模型

履带车辆行驶的路面通常为软路面，软路面上要考虑土壤的承压特性，采用Bekker提出的承压模型来描述土壤的承压特性，在压板作用下，垂直载荷与土壤变形的关系为

(24)

式中：p为作用在单位面积上的压力；zp为土壤下沉量；b为圆形压板宽的半径；np为变形指数；ke为土壤黏聚力模量；kφ为土壤摩擦模量。

4 结果与讨论

4.1 动力学模型与Recurdyn仿真结果比较

为了验证耦合动力学模型表征履带车辆动力学行为的精度，利用商用多体动力学软件Recurdyn建立履带车辆仿真模型，两种模型均以相同的初速度经过同一凸起半正弦路面。模型主要参数如表1所示。

表1 模型主要参数Tab.1 Model parameters

车体纵向速度、垂向加速度和俯仰角速度计算结果如图3、图4和图5所示。从图3中可知，本文模型计算得到的纵向速度变化趋势与Recurdyn仿真模型的计算结果基本一致。车辆在经过半正弦路面时，路面不平度既对车辆垂向运动产生作用，也对车辆纵向运动产生作用。在路面不平度激励作用下，车辆不同运动形式之间存在耦合，车体、负重轮、履带之间的相互作用力传递了这种耦合作用，并在车辆纵向速度的变化上得到体现，即车辆在接近半正弦路面的过程中纵向阻力增加、车速下降，而在离开正弦路面时则产生了一定的驱动作用，车速提升。

图3 车体纵向速度对比Fig.3 Comparison of longitudinal speeds of vehicle body

如图3(b)所示，本文建立的模型与Recurdyn仿真模型的计算结果接近，而在经过凸起路面的时间段内，二者车速相差较大，最大偏差为-1.2 km/h，在相位上也存在一定的偏差。这在一定程度上是因为数学模型中忽略了履带环的波动以及转动时产生的离心力等作用，并且所建立的数学模型忽略了履带车辆在行驶过程中由于两侧行动系统受力不同而产生的绕z轴横摆运动，这些因素都会造成结果在数值上存在一定的偏差。经过正弦凸起后，二者之间的偏差逐渐减小，说明所建立的模型具有一定的精度。

图4 车体垂向加速度对比Fig.4 Comparison of vertical accelerated speeds of vehicle body

图4所示为垂向加速度的时域和频域对比图。从图4(a)中可以看出：在经过凸起路面之前和经过凸起过程中，即0～2.5 s之间，Recurdyn模型得到垂向加速度值与本文模型得到的结果基本一致；在2.5 s以后，本文所建立的模型加速度幅值更大，但是很快也趋于稳定。从图4(b)可以看出：在低频段，两个模型得到的幅频特性变化趋势基本一致，在高频段，Recurdyn模型计算结果的幅值更大，而本文模型在高频段的幅值基本等于0，这是因为模型没有考虑履带振动。以上结果表明，本文所建立的模型能够模拟车体的垂向运动。图5所示为俯仰角速度时域和频域对比图。从图5中可知，俯仰运动变化的幅值范围和周期接近，但是本文模型相对Recurdyn模型有一定的响应延迟。图6所示为连续正弦路面车体纵向车速和垂向加速度对比结果。从图6中可以看出，本文模型与Recurdyn模型的车速虽然有一定的差别，但是变化趋势基本吻合。两模型所得垂向加速度幅值相近，但本文模型的垂向加速度变化频率偏低，这是因为忽略了履带环的波动以及履带环转动时产生的离心力作用。

4.2 动力学模型与正弦路面试验结果比较

为进一步验证本文模型，在长波正弦路面(路面幅值为0.3 m，波长为6 m)进行了实车测试，车辆以约5 km/h车速通过测试路面。本文仿真模型与实车测试结果对比结果如图7所示。

图7 长波正弦路面仿真与试验对比结果Fig.7 Comparison of simulated and test results on continuous sinusoidal road surface

从图7(a)中可以看出，实车测试的车体垂向加速度振动存在周期性变化规律，仿真结果与实测结果基本保持一致，但是仿真结果没有实车测试的高频振动，主要是由于模型对履带等因素进行了简化导致的。从图7(b)中的频率特性看出，模型在低频段与实车测试结果有较好的吻合度，而对于10 Hz以上高频段基本反映不出来。从图7(c)的车体纵向加速度变化曲线可以看出，纵向加速度呈现出正负交替的周期性变化规律，表明在路面变化时车辆行驶阻力出现了变化。

本文通过理论计算和试验验证说明了模型的正确性，即耦合动力学模型计算得到的结果变化趋势与Recurdyn模型的计算结果及试验测试结果基本一致。表明所构建的耦合动力学模型具有一定的精度，能够对履带车辆在越野不平路面下的动力学响应进行定量分析。

4.3 行驶性能仿真与试验结果

利用耦合动力学模型，结合履带车辆动力传动模型[20-21]，对履带车辆在试验路面1和试验路面2上的行驶性能进行仿真计算，其中，试验路面1为高等级铺装路面，试验路面2为低等级越野路面，两种路面不平度信息基于实测结果，行驶速度计算结果如图8所示。同时开展了试验路面1和试验路面2上行驶性能的实车测试，其中试验路面1是在综合性能试验台上测试的，如图9所示，而试验路面2是在实际道路中测试的。两种典型路面上的平均行驶速度与模型计算结果对比如表2所示，从表2中结果可知，本文所提出的履带车辆建模方法结合路面输入可以对履带车辆行驶性能进行预测。

图9 测试车辆Fig.9 Test vehicle

表2 典型路面平均速度计算和测试结果Tab.2 Calculated and test results of average speedson the typical road

4.4 功率特性分析结果

利用耦合动力学模型进一步分析履带车辆行驶过程中纵向和垂向功率特性，结果可用于研究由于车辆纵向与垂向动力学耦合效应引起的功率分配关系变化。

根据建立的E级随机路面数学模型，对履带车辆设置恒定的输入功率200 kW，初始车速为10 km/h，得到履带车辆的瞬时非纵向运动功率和瞬时纵向运动功率变化曲线如图10和图11所示。

图10 车辆瞬时非纵向运动功率变化Fig.10 Variation of vehicle instantaneous non-driving power

图11 车辆瞬时纵向运动功率变化Fig.11 Variation of vehicle instantaneous longitudinal driving power

从图10和图11中可知，在E级随机路面行驶时，履带车辆的瞬时非纵向运动功率和瞬时纵向运动功率呈现交替变化，即非纵向运动功率的大小会对车辆的机动性产生直接影响。非纵向运动功率的瞬时值甚至可能大于输入功率，此时车辆的初始动能将被消耗。

履带车辆纵向与垂向运动耦合效应引起的功率变化限制了车辆在不平路面行驶时的驱动功率利用率。为了研究履带车辆的纵向运动功率与非纵向运动功率特性，对以不同平均速度行驶在不同条件路面上的履带车辆功率分配关系进行计算分析，得到了履带车辆驶过相同长度路面过程中的平均功率，以非纵向运动功率占驱动功率的比例作为观测对象，计算结果如表3所示。针对履带振动消耗的能量，采用(19)式计算。以E级路面为例进行说明，履带参数为ρ=145 kg/m，c=0.08 m，f=4.9 Hz，ω=30.8 rad/s. 当车速为30 km/h和40 km/h时，对应的履带振动功耗分别为1.834 kW和2.445 kW，占总功率的比值分别为0.92%和1.22%.

表3 非纵向运动功率占总功率比值Tab.3 Ratio of non-driving power to total power %

如表3所示，对比不同等级随机路面上的计算结果可知，当履带车辆以相同的平均速度行驶时，随着路面条件逐渐变差，非纵向运动功率占总功率的比值逐渐升高，表明车辆的非纵向运动变剧烈。因此，当车速一定时，履带车辆行驶的路面条件越恶劣，由车辆垂向与纵向耦合效应引起的功率损失越严重，车辆的功率利用率越低。

同时，对比同一段路面上不同车速行驶时的非纵向运动功率占总功率比值可知，路面条件相同时，履带车辆平均行驶速度越高，非纵向运动功率占总功率的比值越大。这是因为对于相同的路面，车辆的纵向速度越大，其垂向响应越剧烈。因此，履带车辆在相同路面行驶时，平均行驶速度越大，由车辆纵向与垂向动力学耦合效应引起的功率损失越严重，车辆的功率利用率越低。

此外，针对车辆侧摆、侧滑、阻尼等功率的研究将在后续工作中进行。

5 结论

1)本文建立的履带车辆纵向与垂向耦合动力学模型，能够表征不同类型路面对车辆行驶性能的影响，可实现驱动功率定量分析。

2)在越野路面上行驶的履带车辆受到的路面激励变化剧烈，瞬时非纵向运动功率数值波动范围大，限制了驱动功率的有效利用。

3)随着路面条件变差以及平均车速提高，履带车辆行驶中的纵向运动功率占总输入功率比值越小，对总功率的需求也越大。