基于小学生数学运算素养培育的课例比较研究——以“三位数乘两位数”的同课异构为例

李保臻，马登堂

基于小学生数学运算素养培育的课例比较研究——以“三位数乘两位数”的同课异构为例

李保臻1，2，马登堂2

（1．西北师范大学 西北少数民族教育发展研究中心，甘肃 兰州 730070；2．西北师范大学 教育学院，甘肃 兰州 730070）

选取“三位数乘两位数”的同课异构课为教学案例，依据小学数学有效计算教学满足的基本要求，从运算情境的引入与运算对象的理解、运算思路的探究与运算方法的选择、运算原理的解析与运算法则的归纳、运算结果的总结与运算效果的评价4个方面对两节课进行了比较分析．最后得出培育小学生数学运算素养的几点启示：运算情境的创设应有利于学生对运算对象的理解；运算方法应基于计算问题解决的实际需要合理选择；算理与算法在运算中的相互关系及所起的作用应辩证看待；系统地总结与评价运算过程应为获得良好的运算成效服务．

小学生；数学运算素养；培育；同课异构；课例比较

1 问题提出

数学运算是数学活动的基本形式，是演绎推理的特殊情况，也是获得数学结果的重要手段[1]．而数学运算素养是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养[2]，是学生学习数学的前提与基础，也是现代公民日常生活的必备素养．小学阶段是数学运算素养培育的起点，也是关键阶段，其培育成效直接关系到学生的长远发展．关于小学生数学运算素养的内涵，王永春认为，小学生数学运算素养是指在理解算理和运算对象的基础上，依据运算法则和运算律进行正确计算并解决问题的素养．主要包括：理解算理和运算对象，掌握运算法则，分析数量关系，选择运算方法，求得运算结果等[3]．在小学数学教学中，数学计算一般显得比较枯燥乏味，许多学生学习的积极性不高，从而影响了小学生数学运算素养的有效培育．因此，探究小学生数学运算素养培育的计算教学的有效性，就成为理论界与实践界共同关注的热点问题．

那么，一节课满足什么条件才是有效的，对此问题学者们的观点不尽一致．叶澜认为，一堂好课没有绝对的标准，但有一些基本的要求：有意义，即扎实的课堂；有效率，即充实的课堂；有生成，即丰实的课堂；常态化，即平实的课堂；有待完善，即真实的课堂[4]．王光明等认为，一堂好课满足的条件是学生学习的主动性、有效的互动性、自行获取知识的实践性、学生真正的理解性、预备学习材料的良好组织性、学生学习的反思性[5]．陈力认为有效教学有6个“发生点”，即有效的情境导入，制造“冲突点”；有效的独立尝试，设计“启发点”；有效的互动交流，捕捉“共鸣点”；有效的提炼概括，促成“内化点”；有效的应用拓展，挖掘“深化点”；有效的回顾小结，激活“反思点”[6]．而关于小学数学计算教学的有效性，学者们的研究主要聚焦在实施策略方面．如钟玉坤认为提高小学数学计算教学的有效性，就应该联系生活，创设学习情境；注重过程，鼓励自主探索；重视交流，提倡算法多样化；注重反馈，强化数感意识[7]．黄金票认为应该从创设情境，激发学生参与的积极性；找准起点，提高计算教学的实效性；直观操作，沟通算理算法的统一性；多样算法，凸显计算教学的灵活性等方面提高小学生计算教学的有效性[8]．黄洪认为提高小学数学计算教学的有效性应做到：创设合适的教学情境，丰富教学资源；启发学生自主探索，发现计算方法；提倡算法多样化与适时优化，训练学生思维品质；反思评价计算过程，培养学生计算习惯[9]．

可见，学者们就有效计算教学实施的策略从不同视角进行了探讨，概括来讲，大多数研究认为，有效的计算教学应该从恰当创设问题情境、注重理解算理算法、启发引导学生自主探究、合理选择运算方法及积极落实对学生的反馈评价等方面构建．基于此，提出小学数学有效计算教学满足的基本要求为：（1）基于学生的认知特点恰当创设运算情境，真正明晰运算对象的内涵；（2）启发学生自主探究运算思路，灵活选择运算方法；（3）帮助学生深刻理解算理的本质，正确掌握运算法则；（4）引导学生精准表征运算结果，及时测评运算学习的成效．

基于以上分析，研究选取参加2019年“国培计划”的两名小学数学骨干教师Y教师和H教师执教的“三位数乘两位数”同课异构课为典型案例，以小学数学有效计算教学满足的基本要求为评价依据对两节课进行比较分析，得出相关的结论，提出培育小学生数学运算素养的一些启示，希冀为小学数学计算教学及小学生数学运算素养培育提供一些参考．

2 研究对象与方法

2.1 研究对象

以“三位数乘两位数”为主题的两节同课异构课为研究对象，教学内容选自人教版小学数学四年级上册第四单元第一课时．这两节课源自西北师范大学承担的“2019年‘国培计划’——小学数学骨干教师提升培训项目”，其中同课异构课作为此次参训学员在甘肃省兰州市L小学跟岗研修的一项展示成果．执教这两节课的参训学员Y教师来自该省A小学，教龄13年，职称为高级教师；H教师来自该省B小学，教龄15年，职称也为高级教师．两位教师都是借班上课，其中Y教师任教的四年级一班有48名学生，H教师任教的四年级二班有46名学生，且学生的综合素质相当．“三位数乘两位数”是整数乘法的最后一个内容，既是“多位数乘一位数”与“两位数乘两位数”的延续，也为学生后续学习“多位数乘多位数”奠定了坚实的算法基础，是培育小学生数学运算素养的重要内容，因此该节课在小学计算教学中具有较好的代表性．

2.2 研究方法

研究主要采用课堂观察法、案例分析法和访谈法．

课堂观察法主要用于对两节课的多维度观察．即从情境创设、教学组织、师生互动、教学评价等方面对两节同课异构课进行现场观摩，并通过课堂量表记录、教学视频录制、视频语言整理等方式收集资料，进一步选取两节课有特色的教学片段进行比较分析．

案例分析法主要用于对教学案例的分析．即依据小学数学有效计算教学满足的基本要求，从运算情境的引入与运算对象的理解、运算思路的探究与运算方法的选择、运算原理的解析与运算法则的归纳、运算结果的总结与运算效果的评价4个方面对这两节课进行比较与分析．

访谈法主要用于对两节课的教学效果进行师生课后访谈调查．为了使听课学生样本具有较好的代表性，依据平时学习表现为优、良、中、差类型对两班学生进行了分层抽样，每班依不同类型各选2名共16名学生作为访谈对象，访谈内容主要包括运算情境创设的认同、运算对象的辨析、算理的理解、算法的掌握等方面．对两位教师的访谈主要包括教学重难点的把握、教学设计的意图、教学过程的实施及教学效果的评价与反思等方面．

3 研究结果及分析

3.1 运算情境的引入与运算对象的理解

运算情境是以数学、科学、生活、文化等资源表征的，用以引出运算对象、建构运算关系的呈现方式；运算对象是指在分析运算情境的基础上回答“谁参与运算”的问题．有效的运算情境引入是计算教学的源头活水，能促使学生更好地理解运算对象，而运算对象的全面理解又有助于学生知悉运算情境创设的意图，是解决计算问题的首要环节．“三位数乘两位数”的运算对象是“三位数”与“两位数”，理解“三位数乘两位数”的运算对象主要涉及数位、位数、进位及运算符号等要素的理解．表1呈现的是两位教师关于运算情境引入与运算对象理解的案例．

表1 两位教师关于运算情境引入与运算对象理解的案例

由表1可知，在创设运算情境引出运算对象方面，Y教师首先以“两位数乘一位数”与“两位数乘两位数”的两个具体数学算式为例，复习巩固了其算理和算法，然后结合一个实际问题引出了“三位数乘两位数”的教学．而H教师在师生互动的基础上，首先创设了与实际生活相联系的“两位数乘两位数”问题情境，然后列出数学算式复习了其算理和算法，最后又结合实际问题情境引出了“三位数乘两位数”的教学．关于如此设计的意图，通过对两位教师的课后访谈可知，Y教师目的是通过复习“两位数乘一位数”和“两位数乘两位数”的算理与算法，进而将其算理与算法自然迁移到“三位数乘两位数”的学习中．而H教师目的是启迪学生已有的知识经验，以便通过数学建模的方式帮助学生更好地理解运算对象．可见，两位教师都是在复习已有知识的基础上引出新的运算对象，但由于采用的方式不同故效果亦不同．通过对抽样学生的课后访谈发现，一班多数学生认为，Y教师采用的方式使他们复习巩固了“两位数乘一位数”与“两位数乘两位数”的算理和算法，这样为学习“三位数乘两位数”的算理与算法奠定了基础，但感觉“三位数乘两位数”的运算对象与实际生活的紧密联系不够；而二班多数学生认为，H教师采用的方式能让他们体会到“三位数乘两位数”的运算对象与实际生活紧密联系，感觉到“三位数乘两位数”的数学模型就在自己身边．

3.2 运算思路的探究与运算方法的选择

运算思路是指学生对运算过程的认知建构，是由运算对象指向运算结果的思维过程，运算思路的探究是教师引导学生初步寻求解决计算问题的路径尝试；而运算方法是解决计算问题的具体措施，运算方法的选择即学生依据自身认知水平选取措施以解决计算问题的认知活动．探究运算思路是选择运算方法的逻辑基础，而运算方法的选择体现着学生运算思路探究的思维模式．教师如能根据计算问题引导学生合理探究运算思路并恰当选择运算方法，就会达到事半功倍的效果．表2呈现的是两位教师关于运算思路探究与运算方法选择的案例．

表2 两位教师关于运算思路探究与运算方法选择的案例

由表2可知，在运算思路探究方面，两位教师引导学生经历了同样的思维过程：都是首先引导学生采用已经学过的方法运算，达到了初步解决计算问题的目的，然后过渡到“三位数乘两位数”笔算方法的探索，进入该节课的教学重点，整个过程培养了学生自主探究的能力．在运算方法选择方面，Y教师引导学生尝试用自己喜欢的方法运算，学生出现了3种不同的运算方法；而H教师针对具体的生活情境引导学生选择估算的运算方法，探究过程中学生出现了3种不同的估算方法．通过与两位教师的课后交流可知，Y教师的设计意图是引导学生从多种思路、多种方法解决新问题，通过渗透转化的数学思想拓展学生的数学思维；而H教师选择估算方法是为了让学生体会估算在实际生活中的应用价值，有助于学生数感的培养．两位教师的设计意图通过对两班学生的课后访谈也得到了相应的反馈验证．

3.3 运算原理的解析与运算法则的归纳

运算原理简称算理，是回答“为何如此算”的问题，是整个运算过程遵循的理据，也是运算法则归纳的依据；运算法则即算法，是回答“如何算”的问题，是依据算理提炼出来的具有普适性的运算规则．在小学计算教学中，算理、算法是小学生数学运算能力的一体两翼，二者相辅相成，不可偏废[10]．表3呈现的是两位教师关于运算原理解析与运算法则归纳的案例．

表3 两位教师关于运算原理解析与运算法则归纳的案例

由表3可知，两位教师在算理解析与算法归纳的教学处理上有所不同．在算理解析方面，Y教师采用的方式是：教师引导学生说明145×12的算理→教师讲解145×12的算理；H教师采用的方式是：教师引导学生说明145×12的算理→教师提问强调算理．可见，在算理解析中，Y教师和H教师均让学生针对145×12进行了说理，不同点是Y教师通过详细讲解示范强调了算理，而H教师仅通过师生问答方式强调了算理．在算法归纳方面，Y教师采用的方式是：引导学生讲解145×12的算法→师生问答互动→师生共同总结“三位数乘两位数”的算法；H教师采用的方式是：引导学生讲解145×12的算法→小组讨论算法→同桌交流算法→师生共同总结“三位数乘两位数”的算法．可见，在算法归纳中，两位教师都是先引导学生归纳“145×12”的算法，然后经过类比、迁移，过渡到一般的“三位数乘两位数”算法．不同点在于Y教师采用师生提问方式归纳算法，而H教师采用引导学生讨论与交流方式归纳算法．通过与抽样学生的交流可知，一班学生对算理理解较好，但对算法却有些含糊；二班学生对算法掌握较好，但对算理的理解却还不够．再结合对两位教师的课后访谈，Y教师认为该节课对算理落实较好，但考虑到时间问题，算法讲解有所欠缺；而H教师认为该节课过分注重算法的训练，而对算理落实不够，可能导致学生对算理的理解不太理想．可见，两位教师由于对算理解析与算法归纳的侧重点不同导致了不同的教学效果．

3.4 运算结果的总结与运算效果的评价

运算结果是运算程序实施完成后的数量表征，运算结果的总结是计算问题的最终结果在原理、方法、思想等方面的概括与归纳，是学生系统掌握数学运算知识的有力保障；而运算效果是指在运算过程中学生学习成效的综合表现，主要包括学生理解算理与掌握算法的情况，运算效果的评价是教师对学生运算情况做出的客观诊断与反馈，是培育学生数学运算素养的催化剂．运算结果的总结是运算效果评价的基础，而运算效果的评价又体现着运算结果总结的深度与广度等．表4呈现的是两位教师关于运算结果总结与运算效果评价的案例．

表4 两位教师关于运算结果总结与运算效果评价的案例

续表4 两位教师关于运算结果总结与运算效果评价的案例

由表4可知，在运算结果总结方面，两位教师的侧重点不同．Y教师通过正例的训练与“四位数乘两位数”的探究，总结了“三位数乘两位数”的算理，并将其算法推广到“多位数乘多位数”，升华了算理、推广了算法．而H教师通过反例的辨析及实际问题中算法多样化的讨论，不仅强调了计算“三位数乘两位数”应注意“数位”与“进位”等易错的问题，而且在倡导运算方法多样化的同时鼓励学生选择最优的方法．通过与两位教师的课后交流可知，两位教师一致认为该节课的教学重点是让学生掌握“三位数乘两位数”的算理与算法，只不过Y教师想通过强化学生对算理的理解来掌握算法，而H教师想通过算法的变式训练来让学生理解算理．在运算效果评价方面，两位教师均对“三位数乘两位数”的算理与算法掌握情况进行了反馈．通过对课堂中举手及做题正确学生人数的统计发现：一班正确掌握算法的学生人数占比约为81%，二班约为87%；一班正确理解算理的学生人数占比约为69%，二班约为59%．可见，在“三位数乘两位数”的学习过程中，一班学生对算理的理解情况要好于二班，而二班学生对算法的掌握情况要好于一班．课后对两班16位学生的访谈也印证了这点，另外，访谈时还发现，两班均存在部分学生能正确计算但说不清算理的现象．

4 研究结论及启示

4.1 研究结论

第一，在运算情境引入与运算对象理解方面，两位教师采用不同的情境引入方式过渡到对运算对象的理解．Y教师采用由数学情境到生活情境的方式让学生理解运算对象，有助于运算对象从数学层面的自然迁移，但弱化了学生对运算对象实际模型背景的理解；而H教师采用由生活情境到生活情境的方式让学生理解运算对象，有助于学生基于实际模型背景理解运算对象引入的必要性．

第二，在运算思路探究与运算方法选择方面，两位教师的处理各有特色．两位教师均引导学生经历了同样的运算思路探究过程，但Y教师注重运算方法的多样化，有助于拓展学生的数学思维；而H教师注重估算方法的应用，有助于培养学生的数感．

第三，在运算原理解析与运算法则归纳方面，两位教师的侧重点不同．Y教师在教学中出现了“重算理、轻算法”的现象，而H教师出现了“重算法、轻算理”的现象，这两种现象都影响了学生对算理的精准理解及算法的有效掌握，不利于小学生数学运算素养的培育．

第四，在运算结果总结与运算效果评价方面，两位教师的关注点不同且运算效果有所差异．Y教师侧重对算理的升华与算法的推广，而H教师不仅强调了运算方法多样化与最优化，并且强调了计算过程中的“数位”与“进位”等问题；同时两位教师均设置了考查算法与算理的题目，相比较来看，一班学生的算理理解情况要比二班好，但二班学生的算法掌握情况要比一班好．

4.2 启示

4.2.1 运算情境的创设应有利于学生对运算对象的理解

全面理解运算对象是施行正确数学运算的前提，也是培育小学生数学运算素养的出发点．运算对象的呈现往往并不独立，其通常是伴随着特定的运算情境而引出的，这就要求教师对运算情境的创设应有利于学生更好地理解运算对象．通过比较分析两位教师的教学过程发现，不同的运算情境创设往往对学生理解运算对象的程度是有差异的，与Y教师相比，H教师创设了与实际生活紧密联系的运算情境，有助于学生从数学建模的角度更好地理解运算对象．可见，创设恰当且有效的运算情境能够帮助学生合理辨析数学与现实世界的联系，启发引导学生开展数学思考，进而正确地表征数学运算对象．一般来说，有效的小学数学运算情境应满足以下几个条件：第一是科学性，即教师应创设科学无误的运算情境才能有助于小学生正确地理解运算对象；第二是适宜性，即教师创设的运算情境应符合小学生的年龄和认知特点；第三是情趣性，即教师创设的运算情境应紧密联系小学生的生活实际且有助于提高其学习兴趣及激发其求知欲望．

4.2.2 运算方法应基于计算问题解决的实际需要合理选择

运算方法是运算原理与运算法则在问题解决层面的策略体现，也是完整数学运算过程可持续进行与求得运算结果的关键所在．因此，合理地选择运算方法对解决计算问题有至关重要的作用．通过对两节同课异构课的比较发现，Y教师引导学生选择多样化的运算方法解决问题；而H教师则引导学生选择估算的运算方法解决问题．由此可见，运算方法的选择并没有绝对的标准，一般应基于以下两个原则去考虑．第一，教师要引导学生根据计算问题解决的实际需要去选择．如若要解决“购物时收银员应收多少钱”的问题，可选择精确计算的方法；若要解决“购物时所带钱是否够用”的问题，可选择估算的方法．第二，教师要引导学生处理好运算方法多样化与运算方法最优化之间的关系．首先，教师应鼓励学生针对同一问题尽可能寻求多角度解决的方法，然后，教师应引导学生比较分析不同方法的特点与优劣，做出合理的价值判断，进而找到解决问题的最佳方法[11]．若有针对性地开展此类解题训练，无疑会对学生优化运算过程、开启运算智慧、培养运算思维品质等具有重要的促进作用．

4.2.3 算理与算法在运算中的相互关系及所起的作用应 辩证看待

为了培育小学生的数学运算素养，最重要的是让学生理解算理，掌握相应的算法．理解算理是整个数学运算得以实施的理论依据，掌握算法是保证学生顺利进行运算的关键，两者都是培育小学生数学运算素养的有力抓手，其在运算中所处的地位及所起的作用都很重要，这就要求教师应辩证地看待这两者的关系．在实际教学中，教师可从理论和实践两个层面来把握算理与算法．第一，从理论层面来说，教师需真正理解算理与算法的内涵及关系，搞清楚算理本质上是回答“为何如此算”的问题，而算法是回答“如何去算”的问题．算理是算法的理论依据，算法是算理的提炼和概括，算法必须以算理为前提，算理必须经过算法实现优化，二者是相辅相成的[12–16]．所以应避免出现如Y教师“重算理、轻算法”和H教师“重算法、轻算理”的现象．第二，从实践层面来说，首先，教师要做出示范，通过典型案例的讲解让学生理解算理与算法的内涵，正确辨析两者之间的逻辑关系；其次，教师要加强对学生学习过程中的启发与引导，如通过自主探究、巩固练习等方式让学生切身体会算理与算法的关系及作用．

4.2.4 系统地总结与评价运算过程应为获得良好的运算 成效服务

运算的最终目的是求得精准的运算结果进而取得良好的运算成效，而系统地总结与评价运算过程是达成该目的的有力保障．因此，要保证运算结果的精准得出并获得良好的运算成效，教师在系统总结与评价运算过程时可从以下4点着手．第一，教师要引导学生系统把握运算环节．一个完整的运算过程主要包括仔细阅读题目信息、分析题目中蕴含的数量关系、根据数量关系列出算式、对算式的逻辑推理、求得运算结果几个环节，各环节紧密联系不可或缺，教师只有引导学生系统把控运算环节的完整性，才能为精准得出运算结果设定前提条件．第二，教师要引导学生科学分析运算要素．完整的运算环节架构固然重要，但教师引导学生对运算系统中诸如运算对象的辨析、运算原理的理解、运算法则的归纳、运算思路的探究、运算方法的选择、运算结果的表征等要素的科学分析也至关重要，如果这其中的任何一个要素分析出现了偏差，都会影响运算结果的正确性．第三，教师要引导学生自觉养成良好的计算习惯．这些习惯包括仔细审题、正确列式、规范推理、自觉验证、不断反思等．第四，教师应树立积极评价学生运算效果的意识．如教师可采用恰当的方式、激励性的语言，从运算的态度、运算的创新性、运算的规范性、运算的习惯等方面积极评价学生的计算学习情况，有助于其运算兴趣的培养与数学运算素养的提高．

5 结语

总之，小学生数学运算素养的培育不是一蹴而就的，而是一个长期、系统与渐进的过程．明晰运算对象、理解运算原理、掌握运算法则、探究运算思路、选择运算方法、求得运算结果、反思运算成效这几个方面既是小学生数学运算素养的构成要素，也是培育小学生数学运算素养的重要举措．教师在教学中只有根据计算类问题的实际特点与小学生的认知特点，以创设恰当的运算情境为学生问题解决的动机点，以明晰运算对象为学生问题解决的出发点，以理解算理掌握算法为学生问题解决的突破点，以求得运算结果为问题解决的落脚点，大胆实践、不断探索、及时总结，才能使数学课堂真正成为培育小学生数学运算素养的“主阵地”．

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Comparative Analysis of Teaching Cases Based on the Cultivation of Primary School Students’ Mathematical Competence Related to Operations——With a Focus on Different Designs of the Lesson on the Topic of Three-Digit Numbers Times Two-Digit Numbers

LI Bao-zhen1, 2, MA Deng-tang2

(1. Research Center for Educational Development of Ethnic Minorities, Northwest Normal University, Gansu Lanzhou 730070, China;2. College of Education, Northwest Normal University, Gansu Lanzhou 730070, China)

This paper reports a study of teaching cases with different designs of the lesson about the topic of three-digit numbers multiplied by two-digit numbers. Based on the requirements of effective teaching of mathematical operations, we conducted a comparative analysis of the lesson with two designs on the topic according to four aspects: the introduction of the operation situation and the understanding of operation objects, the exploration of the operation idea and the selection of operation methods, the analysis of the operation principle and the induction of the operation rule, and the summary of operation results and the evaluation of the effects of operation. We gained the following insights on cultivating primary school students’ mathematical competence related to operations: the creation of operational situations should be conducive to students’ understanding of operational objects; the calculation method should be reasonably selected based on the actual needs of solving calculation problems; the relation and function of the calculation principle and the algorithm in operation should be treated dialectically; systematically summarizing and evaluating the operational process should foster the accuracy of operations.

primary school students; mathematical operation competence; cultivation; same lesson with different designs; lesson comparison

G622

A

1004–9894（2021）02–0008–06

李保臻，马登堂．基于小学生数学运算素养培育的课例比较研究——以“三位数乘两位数”的同课异构为例[J]．数学教育学报，2021，30（2）：8-13．

2020–10–18

2018年度教育部人文社会科学研究规划基金项目——西北民族地区农村中小学教师专业成长支持体系研究（18YJA880039）

李保臻（1972—），男，甘肃庄浪人，教授，博士，硕士生导师，主要从事数学课程与教学论、教师教育研究．

[责任编校：周学智、陈汉君]