超材料混凝土单胞骨料的无阻尼自由振动特性研究

韩 洁, 路国运

(太原理工大学 土木工程学院,太原 030024)

超材料(Metamaterials)是由Wasler在1999年提出的[1]，是一种能够展现非常规特性的复合材料，如负折射率、负电介质率、负磁导率或负有效质量等性质，广泛应用于生物医学、光学探测、通信工程、材料科学等领域，引起了国内外学者的高度关注[2-8]。这一概念近年来也被引入到功能混凝土(超材料混凝土)的研究当中来了。超材料混凝土(metaconcrete)是将传统混凝土中的粗骨料用复合材料所制的球形骨料取代，每个球形骨料都设计成分层结构，由重核(高密度重金属球芯)及涂在球芯外表面的软涂层(轻薄柔软外层)组成。对超材料混凝土结构的消能减震、爆炸屏蔽、冲击抗振和保护有巨大意义，引起了工程界的广泛关注，主要应用在振动设备基础、高速铁路平板轨道、核电站、海洋平台、防空洞等大型工程领域。

Mitchell[9]研究了超材料混凝土板在冲击载荷下的断裂过程，结果表明：将骨料应用于混凝土板结构中时，板的砂浆基质中的最大应力值比纯弹性成分的板有显着改善；且当动态载荷的输入频率接近骨料的固有频率时，可有助于降低冲击引起的高应力，提高超材料混凝土板的抗冲击能力。Kettenbeil等[10]描述了骨料的制作方法；对超材料混凝土板的冲击进行了实验研究与有限元模拟，比较了二者结果；表明：局部共振超材料(超材料混凝土)可应用于结构中衰减因爆炸和冲击导致的应力波；软涂层的弹性模量对应力波的衰减有很大影响；由于局部共振可预测产生的应力波衰减行为，因此也可预测大型土木工程结构的抗冲击能力。Briccola等[11]指出超材料混凝土的一个明显优势是它可以像传统混凝土一样混合、浇铸和固化；在无损动态测试实验中，测量了超材料混凝土对动荷载的衰减特性，表明：在模拟爆炸载荷作用下，超材料混凝土的力学性能优于传统混凝土，对其有衰减作用。Mitchell等[12]对四种超材料混凝土板在不同强迫振动下波传输行为进行了数值研究，用有限元模型计算了超材料混凝土板在不同强迫振动下的传输参数，结果表明：超材料混凝土在动载荷下的材料性能比传统混凝土有较好的改善；软涂层对频率有衰减作用；硬度高的尼龙涂层骨料在高频率范围内能提供较大的能量传播。

综上所述，对骨料动力行为的已有研究主要是实验与模拟，对其的理论研究较少、尤其是骨料的振动问题研究还不够深入。基于此，本文以单胞骨料为研究对象，建立了单胞骨料的三维振动模型，对骨料进行受力分析，由达朗贝尔原理导出了无阻尼自由振动的控制方程，设振动的复数解，代入方程，得到固有频率。利用初始条件，获得振动解。用MATLAB进行算例分析，讨论了初始条件、骨料尺寸、软涂层和砂浆的弹性模量等参数对固有频率和振动特性的影响。这对超材料混凝土抵抗高频荷载和冲击荷载的研究有工程指导价值。

1 方程建立

1.1 模型建立

基于Mitchell的一维模型，考虑了三个方向砂浆和软涂层的效应，建立了超材料混凝土单胞骨料的三维振动模型，如图1所示。图2是骨料模型。

图1 三维振动模型示意图 图2 骨料模型图

模型中，骨料由重核与软涂层组成:骨料位于边长d为0.03 m的立方体砂浆块中心;重核质量为m;半径为r;软涂层厚度为ts;软涂层和砂浆由弹性弹簧等效代替，其等效刚度分别为ks和km;ks和km串联总刚度为k;砂浆的等效长度为lm;弹簧总长度为l=ts+lm;模型的竖向位移为y;弹簧的伸长量为Δl;Em,Es分别为砂浆和软涂层的弹性模量;lm,ks,km的计算公式为

(1)

1.2 方程推导

如图3所示(XOZ，ZOY的变形示意图与XOY的变形示意图一致)，在线弹性振动时，模型中几何关系如图3所示

图3 变形示意图

y=lθ，Δl=yθ

(2)

以重核为研究对象，受力如图4所示(XOZ，ZOY的受力图与XOY的受力图一致)，由达朗贝尔原理得

(3)

图4 重核受力图

整理式(3)得

(4)

式(4)是单胞骨料的振动方程。

1.3 固有频率计算

设式(4)的复数解为

(5)

将式(5)代入式(4)，得到

(6)

整理得

(7)

将式(7)化简得

(8)

1.4 初始条件的影响

当t=0时，当设初始位移、初始速度为

(9)

整理式(5)得

(10)

式(10)虚部为振动解，将其代入式(9)，化简得

(11)

则振动解为

y=Asin(ωt+α)

(12)

其中,

是初相位。

2 算例分析

算例分析了不同内部尺寸的单胞骨料振动问题，骨料分为A1，B2，C3三组，r为重核(铅球)的半径，ts为软涂层厚度。用软件MATLAB编程计算，讨论初始条件、不同材料软涂层(Em)和砂浆(Es)的弹性模量等对固有频率和振动的影响，结果如表1和表2所示。

表1 骨料其他特征参数

表2 骨料尺寸

2.1 参数对固有频率的影响

图5是当A=0.5～2.0 mm,Em=30 GPa 时，固有频率随不同材料软涂层弹性模量变化的关系，材料参数见表1，胞元参数见表2中三组数据A1,B2,C3。(D4是r=9 mm,ts=2 mm;E5是r=9 mm,ts=1 mm的骨料尺寸。)

图5 固有频率和软涂层的弹性模量的变化关系

图5表明：固有频率随软涂层弹性模量增大而增大；当软涂层弹性模量相同时，固有频率A1>B2>C3，因此，当软涂层材料确定时，可选择固有频率较高的A1组，以提高超材料混凝土的抗冲击能力。

图5中曲线C3,D4,E5表明：固有频率随软涂层厚度的增大而减小，说明软涂层对频率有衰减作用，与Mitchell等的结论一致。

图6 固有频率和砂浆的弹性模量的变化关系

由图6可知：固有频率随砂浆弹性模量增大而增大；当砂浆弹性模量相同时，固有频率A1>B2>C3，其增大值随砂浆弹性模量的增大而增大，例如：砂浆弹性模量为32 GPa时，固有频率A1=1.76×105Hz，C3= 1.72×105Hz；砂浆弹性模量为36 GPa时，固有频率A1=1.83×105Hz，C3=1.76×105Hz。

图7是当Es=10.0 GPa,Em=30 GPa时，不同尺寸骨料的固有频率和振幅间的关系曲线。

图7 固有频率和振幅的变化关系

图7表明：固有频率随振幅增大而增大；当振幅相同时，固有频率A1>B2>C3。

图5～图7也表明：振幅、砂浆弹性模量、软涂层弹性模量和骨料几何尺寸对固有频率有明显影响，也就是说对振动有明显影响，也对超材料混凝土抗冲击能力有影响。

2.2 初始条件对振动的影响

图8是当ts=1 mm(A1组),Es=1.0 GPa时，初始位移分别为0.1 mm,0.3 mm,0.5 mm,0.7 mm,0.9 mm时，初相位随初始速度变化的关系。

图8 初相位与初始速度的变化关系

图8表明：初相位随初始速度增加而减小；曲线分为敏感区和非敏感区，界限点在20 m/s左右，敏感区曲线的斜率随初始位移增加而增加，非敏感区曲线变化较为平缓，增量随初始速度增大而减小；初始速度为20 m/s时，初相位初始位移=0.1 mm =0.000 48 rad，初相位初始位移=0.9 mm=0.004 3 rad，当初始速度相同时，初相位随着初始位移的增加而增大。

图9是当ts=1 mm(A1组),Es=1.0 GPa时，初始速度分别为5 m/s,10 m/s,15 m/s,20 m/s,25 m/s时，初相位与初始位移的关系曲线。

图9 初相位与初始位移的变化关系

图9表明：初相位随初始位移的增大而线性增大，其斜率随初始速度增大而减小；当初始位移相同时，初相位随着初始速度的增加而减小。

图10是当ts=1 mm(A1组)，Es=1.0 GPa时，初始速度、初始位移与初相位的关系曲线。

结合图8、图9，图10表明：初始速度和初始位移的变化对初相位均有影响，初始速度对初相位的影响大于初始位移，初始位移一定时，初相位随着初始速度的增加而减小。

图7也表明：初始条件既影响振幅，又影响固有频率，也会影响超材料混凝土抗冲击能力。

图10 初相位与初始位移、初始速度的变化关系

2.3 软涂层和砂浆弹性模量、骨料几何尺寸对振动的影响

图11是当ts=1 mm,y0=0.9 mm,Es=0.001 GPa时，不同初始速度下位移随时间变化的关系。

图11 位移与时间的关系

由图11可知：位移随时间按正弦规律变化，初相位随初始速度的增加而减少；振幅随速度的增加略有增加；波形不变，半波长随速度的增大而减小。

图12 位移与时间的关系

图12表明：位移随时间按正弦规律变化；振幅随初始位移的增大而增大；波形不变、半波长随初始位移的增加而减小。

图8～图12也表明：初始条件对振动有明显影响。

图13 位移与时间的关系

图13表明：位移随时间按正弦规律变化；振幅不变，波形不变，半波长随软涂层弹性模量增大而减小。

图14 位移与时间的关系

图14表明：位移随时间按正弦规律变化；振幅略有增加；波形不变，半波长C3>B2>A1。

结合图5～图7、图13、图14也可以看出：骨料内部尺寸对固有频率有影响，当其他参数不变时。可以通过选择小尺寸重核的骨料提高抗冲击、抗爆炸荷载的能力，这与Mitchell等的结论一致。

图15 初相位与软涂层弹性模量的变化关系

可以看出：初相位随软涂层弹性模量增大而增大；软涂层弹性模量相同时，初相位A1>B2>C3。

图16 初相位与砂浆弹性模量的变化关系

可以看出：初相位随砂浆弹性模量增大而增大；砂浆弹性模量相同时，初相位A1>B2>C3，也表明：当砂浆弹性模量确定时，可选择软涂层较厚(重核半径较小)的C3组，减小初相位的影响。

图17 位移与时间的关系

图17表明：位移随时间按正弦规律变化，初相位的大小随砂浆弹性模量增大而减小；振幅不变、半波长随砂浆弹性模量增大而减小。

图13～图17也表明：软涂层和砂浆弹性模量、骨料几何尺寸对振动有很大影响。

3 结 论

通过理论研究和算例分析，得出如下结论:

(1)用达朗贝尔原理，导出超材料混凝土单胞骨料的三维振动方程，获得固有频率和振动解。

(2)用MATLAB编程计算讨论了初始条件、软涂层和砂浆的弹性模量及骨料几何尺寸等参数对固有频率和振动的影响。结果表明：固有频率随软涂层弹性模量、砂浆弹性模量、振幅增大而增大，随软涂层厚度的增大而减小，软涂层对频率有衰减作用，因此可以通过选择小尺寸重核的骨料提高抗冲击和爆炸荷载的能力，这对超材料混凝土抵抗高频荷载和冲击荷载的研究有工程指导价值。

初始位移和初始速度对初相位和振幅有影响。初始条件既影响振幅，又影响固有频率，也会影响抗冲击能力。软涂层弹性模量、砂浆弹性模量对初相位有明显影响。

振幅随软涂层弹性模量的增加而减小。