一种静态转子系统连接参数辨识方法

杨默晗， 陈 果， 于平超

(南京航空航天大学 民航学院，南京 211106)

建立高精度的转子系统有限元模型是研究转子系统动力学特性过程中的重要问题。目前对于零部件的有限元模型修正技术已经十分成熟，但是对于部件之间的连接参数修正仍没有精确的计算方法[1]。准确地辨识连接参数对于转子系统动力学建模至关重要。

有限元模型修正方法主要分为矩阵型和设计参数型两大类[2]。矩阵型方法以有限元模型的质量矩阵与刚度矩阵元素作为修正对象，直接修正质量矩阵和刚度矩阵，以使实测模态和解析模态相关，使模型的计算结果和实际测试结果一致[3]。常见的矩阵型模型修正方法最具有代表性的是参考基准法[4]。基于矩阵型方法修正后的系统矩阵准确地再现了结构的模态属性，但所提出的修正建议并不总是存在物理意义[5]。设计参数型方法修正的对象为结构的物理、几何参数及边界条件，修正后的模型物理意义明确，是研究和应用的主流。

对于转子系统有限元模型修正或连接参数辨识：张保强等[6]采用复模态模型修正技术对具有较大阻尼的磁轴承-转子有限元模型进行修正，辨识其支承刚度和阻尼参数；赵斌等[7]以单盘转子-轴承系统为研究对象，基于粒子群算法对转子系统材料弹性模量和支承刚度进行修正；Miao等[8]建立了某型双转子航空发动机的一维和三维有限元模型并对其进行了参数修正；刘涛等[9]基于二分法-PSO(particle swarm optimization)算法和模态试验对某转子系统有限元模型转轴参数进行了修正，获得了更准确的转子系统模型用于碰摩故障的研究；缪辉等[10]以具有复杂接触界面的拉杆转子为研究对象，基于模态试验和分层模型修正方法对预紧状态下拉杆转子部件接触面的连接刚度进行识别；余坚等[11]提出基于云自适应的粒子群优化算法，解决了航空发动机高压转子连接非线性接触有限元模型修正问题；王海朋等[12]以某微型涡喷发动机转子为研究对象，结合有限元模型计算模态和试验结果，采用1阶优化方法对转子弹性模量进行修正；Chouksey等[13]运用逆特征灵敏度分析法对转子-球轴承系统的轴承刚度、阻尼和转轴材料阻尼进行识别；Feng等[14]提出一种遗传算法和模拟退火算法相结合的进行转子系统有限元模型修正方法，修正后的模型固有频率和频响函数与试验值具有较好的一致性。在各部件相互耦合的转子系统中，支承、联轴器等部件的连接参数识别问题往往较困难，研究其参数辨识技术具有显著的工程实用价值。

本文提出基于有限元代理模型和多目标优化遗传算法的轴承-转子系统有限元模型修正方法：首先，以某型含膜盘联轴器的转子试验器为研究对象，以支承刚度、支承位置、膜盘联轴器连接刚度为修正参数，基于支持向量机回归算法建立转子系统有限元计算代理；然后，建立与转子系统多阶固有频率相关的多目标函数，结合模态试验数据，利用多目标遗传算法；最后，通过多目标优化方法，求解得到转子系统连接参数最优值，实现支承刚度、支承位置、联轴器连接刚度的辨识。

转子系统工作范围内存在重要的多阶模态频率，当采用单目标方法仅优化某一阶模态频率时，其余阶模态频率可能出现较大误差，又因结构各阶模态受连接参数的影响，其变化趋势可能出现矛盾。因此，采用多目标优化方法所得可行解能使结构有限元模型和试验多阶模态参数达到最满意的一致性，实现了优化目标的综合考量，具有显著的物理意义。

1 基于有限元计算代理和多目标遗传算法的转子系统连接参数辨识方法

转子系统连接参数辨识方法的总体框架和计算步骤为：

步骤1对转子系统进行模态测试；

步骤2建立转子有限元模型，分析连接结构特征，估计各连接参数大小，给出适当的取值范围；

步骤3连接参数对转子各阶固有频率影响的灵敏度分析；

步骤4挑选出灵敏度较高的连接参数进行修正和辨识；

步骤5构造不同的连接参数组合，代入有限元模型计算对应的转子系统固有频率，形成样本集合；

步骤6将样本集合作为训练集，利用支持向量回归算法构造连接参数与固有频率之间的函数关系，即转子系统有限元计算代理；

步骤7设置目标函数为代理模型多个固有频率仿真值与试验值差值的绝对值，利用第二代非支配排序遗传算法(non-dominated sorting genetic algorithm II,NSGA-II)求解得到连接参数最优值；

步骤8将辨识出的连接参数代入有限元模型计算，将计算结果和模态试验值进行对比，以验证其正确性。

建立有限元计算代理模型流程，如图1所示。其关键技术将在针对具体转子系统的连接参数辨识过程中进行详细介绍。该过程中均未考虑转子旋转效应，可以称为静态的转子系统连接参数辨识。由于连接参数主要为影响刚度矩阵，因此，无论是基于静止状态下还是旋转状态下的响应试验，通过本文辨识方法所获结果是一样的。对静止状态转子系统连接参数进行辨识的目的为获取准确的连接参数，进而获得高精度的转子系统有限元模型，从而用于动态转子系统在典型激励下的振动响应分析，该思路在实际工程中更具有应用意义。

图1 连接参数辨识流程图

2 含膜盘联轴器的转子试验器连接参数辨识

2.1 模态测试

2.1.1 试验器概述

本文的研究对象是一台含膜盘联轴器的转子试验器，该试验器主要包括膜盘联轴器、法兰盘、转轴、轴承座、转盘等。试验器采用尼龙绳与齿轮增速器相连，由电动机驱动。试验器真实结构如图2(a)所示，其结构示意图如图2(b)所示，膜盘联轴器结构如图2(c)所示。

图2 含膜盘联轴器的转子试验器

跨度短的部分称为短轴，跨度长的部分称为长轴。两段转子通过膜盘联轴器连接，膜盘联轴器材料为铝合金，全长为294 mm，膜盘直径为100 mm，采用电子束焊，将四片膜盘组成一膜盘组，单膜盘组可实现角度容错，双膜盘组组合的膜盘联轴器可实现组合不同轴的容错。

支承S1和支承S2是固定支承，支承S3和支承S4是可调支承，可调支承能够实现该转子试验器平行和角度不对中。支承高度为530 mm，平台总长度为1 740 mm，总宽度为1 135 mm。膜盘联轴器不能有效传递轴向力，在双轴上均为推力轴承配圆柱滚子轴承，即支承1、支承3为推力轴承，设计轴向力加载系统，消除推力轴承的轴向间隙(同步消除径向间隙)，支承2、支承4均为推力轴承配圆柱滚子轴承，不承受轴向力。

该试验器可以灵活地安装转速、振动位移、加速度传感器进行综合性的振动测试。振动位移由水平和垂直两个方向的电涡流位移传感器获取，转速由一个安装在增速器和转轴连接处的光电转速传感器获取。

2.1.2 模态试验方案

分别对试验器短轴、长轴、整体进行模态试验，采用HEV-500型激振器进行正弦扫描，扫频范围为0～300 Hz，扫频间隔为1 Hz。激振力通过安装在激振器顶杆和试验器之间的F001B阻抗头测量。本文采取单点激励多点测量的方法，在转子试验器上安装B & K 4508型ICP加速度传感器，采用NI公司NI9234动态信号采集模块获取振动信号数据。测点和激振点位置如图3所示。

图3 模态试验

2.1.3 模态试验结果及分析

采用MAS振动模态识别软件得到前两阶模态频率和模态振型，如表1所示。其中：短轴第1阶为弯曲振型、第2阶为法兰端摆动；长轴第1阶为转子1阶弯曲振型、第2阶为转子2阶弯曲振型；整机第1阶为长轴和膜盘联轴器弯曲、第2阶为短轴和膜盘联轴器弯曲。

表1 模态试验固有频率及振型

2.2 转子试验器支承参数及膜盘联轴器刚度辨识

2.2.1 结构动力学建模

参照文献[15]的建模方法建立转子试验器动力学简化模型，如图4所示。图4中：P1，P2，P3，P4，P5为5个转盘，法兰盘P0与齿轮输出轴相连，转盘P1和转盘P2所在转子为短轴，转盘P3、转盘P4、转盘P5所在转子为长轴，通过膜盘联轴器C连接；S1，S2，S3，S4为4个支承；L1，L2，L3，L4为支承在固定坐标系中的位置；对每个转轴单元，E，I，μ，L，ρ，R分别为转轴单元的弹性模量、截面惯性矩、泊松比、转轴长度、转轴密度、转轴截面积。

膜盘联轴器简化为具有线刚度kT和角刚度kR的弹性元件。支承不考虑交叉刚度、径向水平和垂直刚度相等。

建立坐标系如图4所示。其中xyz为固定坐标系。变形状态下任意截面相对于固定坐标系的位置按以下方法确定：以x方向位移x(s，t)、y方向位移y(s，t)确定弹性中心线位置；以绕x方向转角φ(s，t)、绕y方向转角φ(s，t)确定横截面方位，横截面还绕其自身中心线z方向旋转。转子试验器有限元模型参数，如表2所示。其中：1#盘和2#盘参数相同；3#～5#盘参数相同；4个支承的刚度及阻尼参数初始值相同。

图4 转子试验器动力学简化模型

(1)

(2)

(3)

本文采用Newmark-β法结合翟方法对转子系统运动微分方程组进行求解。短轴划分为8个单元9个节点，支承S1在节点2，支承S2在节点8，计算模态时将整机有限元模型中膜盘联轴器线刚度和角刚度设置为零，采取锤击法模拟，锤击点在节点3，在垂直方向施加作用时间为0.1 ms、大小为100 N的冲击力，得到各节点加速度响应，然后将响应输入模态分析软件，得到短轴固有频率和模态振型。长轴分为11个单元12个节点，支承S3在节点2，支承S4在节点11，模态计算过程同短轴。分析整机模态时将膜盘联轴器刚度恢复为默认值，计算过程同上。

表2 转子试验器有限元模型参数

转子试验器初始有限元仿真计算结果，如表3所示。

表3 初始有限元模型模态计算结果

2.2.2 灵敏度分析及修正参数选择

(1) 支承刚度对固有频率的影响规律

单独改变一个支承刚度，其他参数保持不变，分别计算不同刚度条件下的转子试验器短轴和长轴前两阶固有频率变化规律，如图5所示。由图5可知，支承刚度的变化没有对固有频率造成显著的影响，这是因为转子试验器各轴承没有安装弹性支承，轴承的刚度较大，在一定范围内改变其数值并不会对系统固有特性造成影响。

图5 支承刚度对短轴和长轴固有频率的影响

(2) 支承位置对固有频率的影响规律

建立转子系统有限元模型时，通常采用连接在节点上的弹簧单元来模拟支承刚度，改变短轴一个支承点位置，另外一个支承点位置不变，计算不同支承点位置下的前两阶固有频率，即可得到支承点位置对前两阶固有频率的影响规律，长轴部分同理，结果如图6所示。由图6可知，弹簧单元连接点的轴向坐标对短轴和长轴的前两阶固有频率有显著的影响。

图6 短轴和长轴前两阶固有频率随支承点位置变化规律

因此，连接点的位置需要满足一定的精度要求，才能保证有限元模型反映转子系统的固有特性。但是实际现场测量转子支承位置时，由于存在轴承座较宽、多轴承串联等情况，支承位置的测量精度不足，难以达到有限元模型节点坐标的精度要求。因此，对转子系统有限元模型支承点位置进行修正是十分必要的。

(3) 膜盘联轴器刚度对固有频率的影响规律

分别计算膜盘联轴器线刚度和角刚度对整机前两阶固有频率的影响规律，结果如图7所示。由图7可知，随着膜盘联轴器线刚度和角刚度的增加，转子系统整机前两阶固有频率缓慢增加并且趋于稳定值，而从整机模态试验结果可知，膜盘联轴器刚度越小越容易将整机固有频率调整到第1阶大约30 Hz、第2阶70 Hz，这与实际膜盘联轴器刚度较弱的特性相符合。

图7 膜盘联轴器刚度对整机前两阶固有频率的影响

综上所述，4个支承刚度对转子试验器短轴和长轴的前两阶固有频率影响不大，所以不作为待修正参数。支承点位置和膜盘联轴器刚度均对固有频率产生影响，最终选择将4个支承位置和膜盘联轴器线刚度、角刚度作为待修正参数。

2.2.3 转子试验器连接参数辨识

(1) 计算样本集

确定待修正参数的优化范围的方法为：①以支承位置实际测量值为中心上下波动2～3 cm，给出支承位置的优化范围；②确定线刚度和角刚度优化范围时，从经验上看膜盘联轴器属于柔性联轴器，刚度较弱，首先假设膜盘联轴器刚度数量级为107，然后给出不同的线刚度和角刚度组合进行试算，发现在该数量级内减小或增大刚度都不会影响系统模态频率，则将数量级减小到106，再次试算，以此类推。最终通过多次试算估计出线刚度和角刚度的优化范围。给出待修正参数的取值范围，如表4所示。

表4 待修正参数的优化范围

以短轴前两阶固有频率为例说明样本构造方法：①按照固定间隔和取值范围分别给出L1和L2的离散点序列；②获得两者的所有组合；③利用循环程序将每一种支承位置组合代入有限元模型中求解前两阶固有频率，即可得到L1,L2,F1和F2所构成的4维向量。

(2) 基于支持向量回归的代理模型

对于给定的训练样本{(xi,yi),i=1,2,…,n}， 其中：xi为输入向量，即转子系统连接参数组合；yi为与之对应的输出特征量，即各阶固有频率。支持向量机用非线性映射φ将输入向量映射到高维空间中进行线性回归[16]，回归函数为

f(x)=w·φ(x)+b

(4)

式中：w,b分别为权向量和阈值；w·φ(x)为内积。然后求解式(5)所示的最优化问题。

(5)

(6)

最终可得回归函数形式为

(7)

利用式(7)构造连接参数与转子试验器前两阶固有频率之间的函数关系，即有限元代理模型。

代理模型训练完成后，对其进行回归预测测试，以此检验所建立的代理模型是否具有较好的泛化能力，代理模型测试结果如图8所示。图8(a)和图8(b)分别为短轴前两阶固有频率关于支承点L1的代理模型回归预测结果。由图8可知，代理模型能够反映固有频率随连接参数的变化规律，可以用来代替有限元模型进行参数优化分析。

图8 代理模型测试结果

基于交叉验证方法得到的支持向量机代理模型参数，如表5所示。

表5 支持向量机参数

(3) 基于多目标优化遗传算法的连接参数辨识

NSGA-II算法是Deb等[17]提出的一种多目标优化遗传算法：该算法引入了“拥挤距离”算子和“拥挤距离”偏好法则，用于衡量种群个体密度，维持了种群的多样性；采用精英决策机制，在进化过程中将父代种群和子代种群合并，一起参与环境适应性竞争，保证性质优良的Pareto解不会丢失。该算法计算效率高，能够得到均匀的Pareto最优前沿面，是目前应用最为广泛的多目标优化遗传算法。

以代理模型的输出值和模态试验值之间差值的绝对值为目标函数，利用NSGA-II算法在变量空间中寻找Pareto最优解，最终辨识出连接参数值。NSGA-II算法染色体采用实数编码，种群大小为100，进化代数为200，交叉概率为0.9，变异概率为0.01。

3 结果及验证分析

3.1 支承位置修正结果

L1修正后的值为185.4 mm，L2修正后的值为566.4 mm，L3修正后的值为1 151.5 mm，L4修正后的值为1 937.9 mm。Pareto最优前沿如图9所示。修正前后短轴和长轴前两阶固有频率和相对误差，如表6所示。试验模态振型与仿真模态振型之间的模态置信准则(modal assurance criterion, MAC)，如表7所示。其中相对误差和MAC值分别由式(8)和式(9)得到

(8)

式中：ωi,a为有限元仿真第i阶固有频率；ωi,e为模态试验第i阶固有频率。

(9)

式中：δij为试验第i阶振型与有限元分析模型第j阶振型之间的相关系数；Φi,e为试验的第i阶振型；Φi,a为有限元分析模型的第j阶振型；上标T为共轭转置。

MAC为一个介于0～1的标量：当MAC值为1时，表示两振型向量完全相关，是同一模态；当MAC值为0时，表示两振型向量线性无关[18]。在有限元模型修正问题中，若试验或有限元之间的MAC值接近于1，则说明修正后的有限元模型和试验相关性较好，达到了有限元修正的精度要求。

图9 Pareto最优前沿

表6 短轴和长轴前两阶固有频率修正结果

表7 短轴和长轴试验与仿真模态振型相关性

由表6和表7可知，短轴和长轴有限元模型修正后模态频率相对误差得到明显改善，同时MAC值也反映出修正后的模态振型和试验振型相关性比较好。

3.2 膜盘联轴器刚度辨识结果

膜盘联轴器线刚度kT辨识结果为4 158 N/m、角刚度kR为1 047 N·m/rad。

膜盘联轴器刚度辨识Pareto最优解，如图10所示。由图10可知，膜盘联轴器刚度辨识所得Pareto最优解仅有一个点，实际上存在多个Pareto最优解，然而这些解所对应的整机前两阶固有频率几乎没有偏差，故而图中显示为重叠状态。

图10 膜盘联轴器刚度辨识Pareto最优解

原因在于整机前两阶固有频率分别趋向于长轴第1阶固有频率及短轴第1阶固有频率，寻优过程中膜盘联轴器刚度存在向修正下边界进行的趋势，对应的整机前两阶固有频率趋于定值。该规律符合膜盘联轴器具有较弱刚度的结构特性。

整机前两阶固有频率修正前后结果及相对误差，如表8所示。前两阶试验模态振型与仿真模态振型之间的MAC值，如表9所示。

表8 整机前两阶固有频率修正结果

表9 整机试验与仿真模态振型相关性

由表8和表9可知，整机有限元模型修正后模态频率相对误差同样得到了明显改善，同时MAC值也反映出修正后的模态振型和试验振型相关性比较好。

4 结 论

以某型含膜盘联轴器的转子试验器为研究对象，基于梁单元和集中质量法建立了转子试验器的有限元模型，将膜盘联轴器等效为具有线刚度和角刚度的弹性元件。

(1) 针对转子系统支承刚度、支承位置和联轴器刚度辨识问题，采用支持向量回归算法构造了转子系统有限元模型的计算代理，在模态试验基础上建立目标函数并采用多目标优化遗传算法寻找连接参数在修正空间中的Pareto最优解，实现了连接参数的辨识。

(2) 有限元仿真验证结果表明短轴、长轴和整机前两阶仿真固有频率值均接近试验值，相对误差有明显改善，MAC值反映出修正后的有限元模态振型与试验模态振型之间具有较强的相关性，证明了转子系统连接参数辨识的正确性和有效性。

(3) 需要说明的是：膜盘联轴器的连接刚度在某些情况下是非线性的，且包含交叉刚度；轴承的支承刚度也是非线性的。文中的辨识模型均将其处理为线性刚度。结构刚度线性化适用于系统状态处于小变形范围内，文中基于模态测试对静态系统连接刚度进行辨识所得线性刚度可以满足有限元建模精度需求。如果转子系统处于运行状态，只要转子的振动仍然满足小变形范围，线性刚度的假设及不考虑交叉刚度的假设都是实用的。