一类具阻尼项的三阶非线性中立型泛函微分方程的振动性和渐近性

曾云辉， 罗李平， 汪志红， 汪安宁， 俞元洪

(1. 衡阳师范学院 数学与统计学院，湖南 衡阳 421002； 2. 智能信息处理与应用湖南省重点实验室，湖南 衡阳 421002；3. 中国科学院 数学与系统科学研究院，北京 100190)

考虑如下一类具阻尼项的三阶非线性中立型分布时滞泛函微分方程

(1)

本文假设下列条件成立：

条件1α和β是两个正奇数之比，I=[t0,∞),R+=(0,∞)；

条件2r(t),m(t)∈C1(I,R+),r′(t)≥0,q(t,ξ)∈C(I×[c,d],R+),c

定义函数

(2)

我们称式(1)的一个解，是指函数x(t)∈C1[Tx,∞),Tx≥t0使r(t)(z″(t))α∈C1[Tx,∞)且在[Tx,∞)上满足式(1)。本文仅考虑式(1)中满足sup{|x(t)|∶t≥T}>0对一切T≥Tx成立的解。式(1)的解称为振动，如其在[Tx,∞)上有任意大的零点。否则，称其为非振动[1]。

近几年来， 三阶泛函微分方程的振动性和渐近性研究受到了很大关注，并取得了许多重要结果，见文献[2-15]。但是，我们注意到所得结果都是关于式(1)特例给出的，而对一般情况的振动结果很少见到。2012年Zhang等考虑了式(1)的如下特例

(3)

成立下，给出了式(3)每一解振动或者收敛到零的若干Philos型充分条件。

2015 年Tian等改进了Zhang等的结果，考虑了半线性中立型方程

(4)

(5)

成立下，利用广义Riccati变换得到式(4)每一解x(t)振动或者收敛到零的新的Philos型条件。且当α≐1时与Zhang等的条件一致。我们也注意到Tian等提出了两个公开问题：①在式(5)成立下，寻找当0<α<1时式(4)每一解经x(t)振动或者收敛到零的充分条件；②寻找式(4)在非正则，即在

(6)

条件下，上述结论仍然成立的充分条件。

2016年Fu等进一步研究了式(4)的振动性，给出了在式(5)成立下且α>0是两个正奇数的商时，式(4)每一解振动或者收敛到零的Leighton型充分条件，并且将Candan研究中关于二阶非线性中立型微分方程的振动准则推广到三阶中立型方程式(4)，从而解决了Tian等在研究中提出的第一个公开问题。

2018年Gao等进一步研究了式(3)， 在条件

成立下，利用Riccati方法和比较方法分别给出了式(3)每一解x(t)振动或者收敛到零的若干新的充分条件， 从而在α=1的条件下解决了Tian等在研究中提出的第二个公开问题。

2016 年林文贤研究了一类具有分布式中立项和阻尼项的三阶非线性微分方程

(7)

(8)

成立下，给出了式(7)每一解振动或者收敛到零的若干Philos型充分条件。

2017年林文贤研究了一类三阶非线性中立型阻尼泛函微分方程

(r(t)([x(t)+p(t)x(τ(t))]″)α)′+m(t)([x(t)+p(t)x(τ(t))]″)α+q(t)f(x(σ(t)))g(x′(t))=0,t≥t0

(9)

在条件

(10)

成立下，给出了式(9)每一解振动或者收敛到零的若干Philos型充分条件。

我们注意到式(1)中当α=1时，成为Emden-Fowler型方程,在天体物理、核物理、气体动力学、流体力学等众多高科技领域中有着重要应用。半线性方程式(4)是式(1)中当α=β,m(t)=0时的特例，但不包含Emden-Fowler型方程。因此，对式(1)的研究具有更广泛的理论和实际意义。

本文目的是研究式(1)的振动性和渐近性问题，通过导出式(1)的新的Riccati不等式，从而给出式(1)每一解x(t)振动或者收敛到零的充分条件。所得结果推广和改进了以往研究中相应的振动结果。另一方面，我们的结果在更广泛的条件下回答了Tian等提出的两个公开问题。下文中出现的函数不等式如果没有特别说明，均假设是最终成立的，即对一切充分大的成立。

1 主要结果

为了书写方便，我们引入记号

(11)

(12)

(13)

首先，我们叙述几个有用的引理：

引理1设x(t)是式(1)的正解，则z(t)只可能有下列三种性质。

性质Ⅰz(t)>0,z′(t)>0,z″(t)>0,z‴(t)≤0,(r(t)(z″(t))α)′≤0。

性质Ⅱz(t)>0,z′(t)<0,z″(t)>0,z‴(t)≤0,(r(t)(z″(t))α)′≤0。

性质Ⅲz(t)>0,z′(t)>0,z″(t)<0,(r(t)(z″(t))α)′ ≤0。

对t≥t1成立, 其中t1充分大。特别当式(10)成立时，则z(t)只可能出现性质Ⅰ和性质Ⅱ。

证明设x(t)是式(1)的最终正解及式(2)，则存在t1≥t0, 当t≥t1时, 有x(t)>0,x(τ(t,μ))>0,μ∈[a,b],x(σ(t,ξ))>0,ξ∈[c,d]。易知z(t)>x(t)且

则

下面证明当式(10)成立时， 则z(t)只可能出现性质Ⅰ和性质Ⅱ。

如果z″(t)<0, 则存在常数M0>0, 使

从t2～t对上式积分，有

式中， 令t→∞，利用式(10)，有z′(t)→-∞。因此，z′(t)最终为负。 但是，由z′(t)和z″(t)最终为负，可知z(t)最终为负，此与z(t)>0的假设矛盾。故有z″(t)>0。因此只能有性质Ⅰ或者性质Ⅱ。引理1证毕。

引理2设x(t)是式(1)的最终正解, 且相应的z(t)具有引理1中的性质Ⅱ。 若

(14)

x(t)>N(L+ε)>Nz(t)

故

xβ(σ(t,ξ))>Nβzβ(σ(t,ξ))

(15)

利用式(1)、式(15)、条件5以及引理1中的性质Ⅱ，我们有

即

上式可以写成

(E(t)r(t)(z″(t))α)′+Q(t)E(t)zβ(σ(t,d))≤0,t≥t3

(16)

式中，E(t),Q(t)分别由式(11)和式(12)定义。

对式(16)从t～∞积分得到

注意到z(σ(t,d))≥L,E′(t)>0,t≥t3≥t2,有

从而

(17)

对式(17)从t3～t积分，得到

在[tλ,∞)上成立。

引理5[17]设A>0,B>0,X≥0，则

定理1设条件1～条件5和式(14)满足。若式(10)和

(18)

成立，其中Q*(t)由(13)定义，则式(1)的一切解振动或者渐近收敛到零。

证明设式(1)有非振动解x(t)。不失一般性，我们设x(t)最终为正(当x(t)最终为负时可类似证明)，故存在充分大的t1(t1在引理3中提及)，使当t≥t1时x(t)>0,x(τ(t,μ))>0,μ∈[a,b],x(σ(t,ξ))>0,ξ∈[c,d]。由引理1和式(10)成立，则z(t)只可能有性质Ⅰ或性质Ⅱ。

若z(t)满足性质Ⅰ， 我们有

即得

x(t)≥(1-p)z(t),t≥t1

故有

xβ(σ(t,ξ))≥(1-p)β[z(σ(t,ξ))]β

(19)

利用式(1)和式(19)，我们得到

(20)

即

(E(t)r(t)(z″(t))α)′≤-Q*(t)E(t)zβ(σ(t,c))

(21)

从t1～t对式(21) 积分，我们有

(22)

因z(t)>0和z′(t)>0，故存在常数K1>0使z(t)≥K1，则有

(23)

因此

(24)

此与式(18)矛盾。

注1Fu等研究中的定理4是本文定理1中，当α=β，m(t)=0时的特例。

例1考虑具阻尼项的三阶非线性中立型时滞微分方程

(E0)

因此条件1～条件5以及式(14)满足。又由于

和

所以式(10)和式(18)成立，由定理1可知式(E0)的每一解x(t)振动或者渐近收敛到零。

下面我们进一步考虑如果定理1的式(10)和式(18)中，其中一个条件不成立将如何弥补。为此，首先考虑式(18)不满足的情况。我们有如下定理：

定理2设条件1～条件5和式(14)满足。若式(10)成立且存在函数ρ(t)∈C1([t0,∞),(0,∞)),常数λ∈(0,1)和M>0使

(25)

式中：ρ′+(t)=max{0,ρ′(t)};ξ=min{α,β};Q*(t)由式(13)定义。则式(1)的每一解是振动或者渐近收敛到零。

证明设式(1)存在非振动解x(t)，不失一般性， 设x(t)最终为正，如同定理1的证明，因式(10)成立，z(t)只可能有性质Ⅰ和性质Ⅱ。 首先，设z(t)满足性质Ⅰ则同上面的证明一样，我们有

(26)

z′(t)≥λtz″(t)

(27)

现引进Riccati变换

(28)

则u(t)>0,t≥t1利用式(20)、式(26)、式(27)和式(28)，我们得到

(29)

注意到z(t)>0和z′(t)>0，故存在常数M1>0使当β≥α时有

因此，式(29)产生

(30)

又由z″(t)>0和z‴(t)≤0，故当α>β时存在常数M2>0和t3≥t2使

因此，式(29)产生

(31)

联合式(30)和式(31)，我们得到

(32)

式中：ξ=min{α,β};M=min{M1,M2}。且当α=β时M=1。

根据引理5，利用不等式

(33)

从t3～t对上式积分产生

此与式(25)矛盾。

注2定理2既适用于式(18)成立，也适用于式(18)不成立的情况，因此推广和改进了定理1的结果。

例2考虑具阻尼项的三阶非线性中立型微分方程

(E1)

且

故由定理2可知式(E1)的一切解振动或者渐近收敛到零。

下面利用Philos型积分平均给出式(1)新的振动准则。为此，考虑集合

D={(t,s)∶t≥s≥t0},D0={(t,s)∶t>s≥t0}

函数H∈C(D,R)称为属于X类，记作H∈X， 如果它满足

H(t,t)=0,t≥t0;H(t,s)>0,(t,s)∈D0;

定理3设条件1～条件5和式(14) 满足。若式(10)成立且存在函数ρ(t)∈C1([t0,∞),(0,∞)),h∈C(D0,R)使H∈X, 若存在常数λ∈(0,1) 和M>0使

(34)

其中

ψ(t)=ρ(t)Q*(t)

(35)

ξ=min{α,β}，Q*(t)由式(13)定义，则式(1)的每一解振动或收敛到零。

证明设式(1)存在非振动解x(t)，如同定理2的证明，z(t)只可能有性质Ⅰ和性质Ⅱ。首先，设z(t)满足性质Ⅰ进变换u(t)同式(28)，则有式(32)成立。 令

和

(36)

现将式(32)可写为

(37)

式中，ψ(t)由式(35)定义。

用H(t,s)乘不等式(37)且从T～t积分，我们有

(38)

令B=|h(t,s)|,A=H(t,s)A(s), 利用不等式(33)

注意到式(36)，则式(38)成为

因此

对一切充分大的t成立，此与式(34)矛盾。

注3本文定理3将Zhang等研究中定理3.1的结果从α=β=1,m(t)=0改进为m(t)≠0且对任意α>0,β>0是奇数的商成立。并且也将Qin等和Tian等研究中的定理3.1以及Zhang等研究中的定理4改进为当m(t)=0时，对α和β是任意正奇数的商成立。

下面考虑定理1中式(10)不满足的情况。Tian等对式(1)当α=β,m(t)=0时，提出如下公开问题： 给出在非正则情况

(39)

下的研究方法。现在，我们对式(1)中允许α≠β，m(t)≠0时回答上述公开问题。

(40)

因此，我们有(21)成立。亦即

(E(t)r(t)(-z″(t))α)′≥Q*(t)E(t)zβ(σ(t,c))≥0

(41)

引进函数

(42)

则v(t)>0,t≥t1。微分式(42)并利用式(41)我们有

(43)

由引理4，我们得到z(t)≥tz′(t),t≥t1,则当σ(t,c)>t1时，有z(σ(t,c))≥σ(t,c)z′(σ(t,c))。又因为z(t)满足引理1的性质Ⅲ且σ(t,c)≤t,所以z′(σ(t,c))≥z′(t)。因此，我们有

z(σ(t,c))≥σ(t,c)z′(σ(t,c))≥σ(t,c)z′(t)

(44)

将式(44)代入式(43)产生

(45)

由式(45)和式(42)，我们得到

(46)

此时，式(45)可以写为

(47)

联合式(46)和式(47)，我们有

(48)

式中：η=max{α,β}；K=min{βK1,βK2}且当α=β时，K=α。

其次，由式(21)可知,r(t)E(t)(z″(t))α非增，存在T≥t3使

(49)

从t～l对(49)积分，我们得到

因此

(50)

联合式(42)和式(50)产生

(z′(t))α-β≥πα(t)v(t)>0

当α≥β时, 函数(z′(t))α-β非增，故存在常数l1>0使

0<πα(t)v(t)≤l1,t≥T

(51)

由式(50)得

即

当β≥α时,上式左端函数非增，故存在常数l2使

0<πβ(t)v(t)≤l2,t≥T

(52)

注意到式(51)和式(52)，我们有

0<πη(t)v(t)≤L0

(53)

式中：η=max{α,β}；L0=l1+l2。

现以πη(t)乘不等式(48)且从T～t积分，得到

(54)

在式(54)中利用了分部积分和不等式(53)。利用不等式(33)，其中取A=Kπ(s),B=η,则式(54)产生

(55)

因此

(56)

显然式(56)与式(40)矛盾。故式(1)的每一解振动或收敛到零。定理4证毕。

例3考虑具阻尼项的三阶非线性中立型微分方程

且

故式(40)成立，由定理4，式(E2)的每一解振动或者收敛到零。

和

式中，Q*(t)由式(13)定义，则式(1)的每一解振动或者收敛到零。

2 结 论

本文讨论了一类具阻尼项的三阶非线性中立型连续分布时滞泛函微分方程解的振动性和渐近性，得到了一组保证该方程每一解振动或者收敛到零的几个充分条件，这些结果反应了阻尼项和中立项在振动中的影响作用，这些重要的结论为解决天体物理、核物理、气体动力学、流体力学等众多高科技领域的实际问题提供了数学理论依据和科学基础。