“高等数学”教学探索与研究*

杨 芳

(南宁师范大学 数学与统计学院，广西 南宁 530100)

“高等数学”(以下简称“高数”)是高等院校理工类、经管类各专业重要的公共基础课，为后续很多专业课程的学习奠定坚实必要的基础，更是很多非数学专业学生考研的必考科目，在大学学习课程中的地位不言而喻且不可替代。多年来的教学发现，本科大一新生刚入校时，对“高数”学习很迷茫，时常被“为什么学习‘高数’和怎么学习‘高数’”的问题困扰，对此，本文首先回答为什么学和怎么学的问题，解决学生思想上的疑虑，再阐述实施课程思政和提高解题能力的教法。

1 教学理念

1.1 为什么要学习高数

每次面对新生，我都尽力给他们上好开学第一课，让学生认识到大学数学因其高度的抽象性、严密的逻辑性和应用的广泛性，而被广泛地应用到生产生活中去。当代数学不仅继续和传统的邻近学科保持紧密的联系，而且与一些过去联系不太紧密的领域的关联也得到发展，形成了数学化学、生物数学、数学地质学、数学心理学等众多交叉学科。

1.2 如何学好高数

首先，教师应注意“高等数学”与中学数学教学的衔接，并作适当对比。对中学已讲授过的内容，启发学生自主回忆、思考、学习，对中学数学中没有讲授却又很重要的内容，如复合函数、反三角函数、极坐标等知识，应做详细补充，并配以充分的练习，保证知识的完整性，让学生深刻认识到：如果把数学这门学科比作一颗大树，则中学数学是根，大学数学是茎。中学数学是大学数学的基础，大学数学是中学数学的递进和升华，比如我们即将要学习的数列、空间向量与立体几何、导数及其应用、定积分与微分积分定理等知识在高中阶段已经有接触，这些内容在即将到来的高等数学学习中，将更为系统，同学们通过学习，将发现它们的全貌和数学之美。同时，教师应对着目录，指出这些内容对应着教材的不同章节，希望同学们在今后看书学习的时候要尽量结合着整个模块从宏观上把握知识点的联系和知识脉络。

其次，在讲解过程中，教师要适当淡化严格的数学论证，把学生从繁琐的数学推导和不具一般性的数学技巧中解脱出来，根据不同专业需求调整教学内容。作为一名讲授基础课程的老师，面对不同专业的学生需要，应牢牢把握学生的专业的需求和重难点，为此，我事先联系自己所教学生的相关专业老师，与其沟通，提前了解到相关专业所需要的数学重难点知识。如测绘专业：高阶导数、微分、近似解、函数的极值及其求法、曲率及其计算公式、误差分析、积分、向量代数与空间解析几何、偏导数的定义及其计算、高阶偏导数等知识是重点，计算的准确性和速度也是重点。针对这些情况在平时的教学中，应做到有的放矢，详略得当，加大练习力度，使学生掌握经典题目解题方法和技巧。教师应根据不同专业需求，紧紧围绕教学大纲，充分运用多媒体技术手段，以直观的形式展示数学的魅力，让学生感觉到数学有用，激发学生的学习兴趣，提高学生运用数学解决实际问题的能力，鼓励学生学会利用课本自带的网上学习资料，在网上下载优质课视频，合理利用碎片时间，多听微课，多学习，利用课外时间积极查阅相关专业参考书籍，并试着找一些专业例子，尝试用数学知识去解决，鼓励非数学专业学生积极参加全国大学生数学建模竞赛，鼓励学生积极考研，继续学习深造。理论与实践相结合，才能收到较好的教学效果。

最后，老师帮助和指点学生找到合适的学习方法。对此，我认为需要做到以下几点：

(1)正确的学习态度的树立树立端正的学习态度,养成良好的学习习惯。正确的学习态度可以让人在学习的过程中心情愉悦，良好的学习态度可以提高学习效率与学习质量。

(2)概念的理解掌握牢牢抓住“高等数学”抽象性、逻辑性、严谨性的特点，注意抽象概念的学习。概念学习是“高等数学”学习的根本，但因其抽象，很多学生无法理解。解决这个困难的办法是记住一两个引入概念的实例，记住一两个与概念相悖的反例，从多侧面加深对概念的理解，搞清楚概念与其它已有概念的关系，将相关概念之间的关系，用例子(包括反例)、定理、公式，联系起来，完整系统地进行学习，这样才能举一反三，印象深刻。

(3)听课听课主要听概念、思路、定理证明方法的讲解，听解(证)题的主要步骤，要特别注意老师强调的容易出错的地方。

(4)看书要求学生去图书馆借阅或网上购买诸如习题解答、疑难问题解答、或考研复习资料作为参考书，要学会记笔记，把从参考书上学来的好例子、新颖的证明方法等记下来，尝试在其它题目上灵活运用。

(5)练习概念性的练习，需要多花点时间，基本练习必须多练，并注意准确性与速度，对做错的题目不要放过，要弄清楚错在哪里，下次不要再犯。对做过的练习要学会总结归纳，及时查漏补缺。

学习是漫长的师生互动的过程，外因只有通过内因才能起作用。作为老师，需要时常反省教学中的不足，树立终生学习的教育理念，一切以人为本，根据学生的实际情况，因人施教，差异化教学与辅导，为学生树立好榜样，一起进步。

2 高等数学教学中融入思政元素

“高等数学”课程是高等学校理工科学生的一门重要的基础理论课程，在“高等数学”课程教学中适时有效地融入思政元素对树立大学生正确的人生观、世界观以及价值观具有极重要的意义，能够达到在传授知识的同时立德树人的教育目的。

如讲到第一章第二节极限的定义时，引出刘徽的割圆术，能够在加强学生对基础概念的理解掌握的同时，让他们了解中国古代数学的成果，看到中国人民的智慧。在分析、讲解割圆术后鼓励学生运用其方法去尝试分析解决一些类似问题，这有助于学生深刻理解极限这一由有限到无限的抽象概念，为后续学习做准备。

又如讲第五章第一节定积分的定义时，通过引入曲边梯形面积的例子，得出用定积分求曲边梯形面积的方法—分割、近似、求和、取极限，到此应该继续往下挖掘，“分割”实质就是“大化小”，“近似”实质就是“曲化直”，“求和”实质就是“量变”，“取极限”实质就是“质变”，这样一来，学生会看到，求曲边梯形面积的过程表面上是一个数学方面的计算过程，而实质上体现了整体与部分、常量与变量，近似与精确，微观与宏观，有限到无限，量变到质变的对立统一观点。这样分析数学问题，有助于学生深刻理解抽象的数学概念，还可加深学生对对立统一观点的理解。

课程思政是一种新的教学理念，对教师提出了更高的挑战与要求，教师要自然自觉地将育人工作贯穿于整个数学教学工作中，润物细无声地把思想政治元素融入到数学课程学习中，真正做到知行合一。

3 提高学生解题能力

长期以来，不是教师教得少，而是多数学生不会灵活运用所学知识去解题。通过和学生交谈发现，很多非数学专业的学生起初有很强烈的考研想法，但最终放弃考研或放弃理想的学校而择它校，究其原因，绝大部分人是因为研究生入学考试要考数学，而“高等数学”知识占考研数学试卷考查知识的绝大部分。如何消除学生的恐惧心理？树立学生的自信心？我时常对非数学专业的学生说“得高数者得考研”，因而，为提高学生的解题能力，在平时的教学中，我注重引导学生分析题目，寻找解题思路，还时常尝试一题多解，一题多变，鼓励学生用多种方法去解决问题。下面通过两个习题的解答说明教学中具体的做法。

解一令x=tant，则

分析两种解法均运用了变量变换，第一种用的是第二类换元法中的三角变换，将被积函数化简，但仍不方便计算，就再用一个常见结论，得出与原式相等的表达式，两边相加后，竟然出现一个很简单的结果，给人一种拨云散雾、豁然开朗的感觉；第二种用的是倒数代换，再利用定积分的计算性质变形，结果竟然出现循环，移项后只需进行简单的积分计算就可以得出结果。两种变形从表面上看似乎风马牛不相及，却有异曲同工之妙，也恰好体现了条条道路通罗马的道理。

例2 求y=sinx(0≤x≤π)与x轴所围成的图形绕y轴旋转所得旋转体的体积。

解一直接根据旋转体的体积公式可得

在用第二种解法之前，先补充求旋转体体积的薄壳法，引出如下结论:

由平面图形0≤a≤x≤b,0≤y≤f(x)绕y轴旋转所成的旋转体的体积为

由上结论，例2有解二。

注1 这里在计算积分时，利用了教材第五章第三节中的例6的结论

分析可明显看出，解一用常规方法，计算过程较长，但计算过程中只需利用定积分的分部积分法和换元积分法就可以迅速得到结果且用此方法可顺便复习前面所学的计算方法；解二先用求旋转体体积的薄壳法，再利用课本上一个很重要的有用的结论，快速正确地得出结果，相比解一，技巧性强，但更快，收到事半功倍的效果。

例2是同济“高等数学”课本第七版上册第六章第二节第288面习题20，我在给学生讲解此题时，事先没有讲解求旋转体体积的薄壳法，学生觉得无从下手，有的学生可以列出体积计算公式，但不会计算，究其原因：(1)微元法没完全弄懂。(2)定积分的计算方法掌握不牢固。通过讲解解一，进一步加深了学生对微元法的理解，促进了定积分换元积分法与分部积分法的学习与使用。理解解一后，再补充讲解求旋转体体积的薄壳法，然后让学生利用此法求解例2，大部分学生能很快列出计算式子并快速得出计算结果，感叹这个方法太奇妙了。试想，如果跳过解一的方法，直接给出解二的计算公式，学生恐怕就很难体会到“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”的感觉了。类似这样的例子，在“高等数学”的日常教学中有很多很多，我时常鼓励学生从不同角度去思考问题，试着一题多解，一题多变，触类旁通，达到知其然更知其所以然的境地。

4 结束语

教育的本质是“一棵树摇动另一颗树，一朵云追逐另一朵云，一个灵魂唤醒另一个灵魂”，教育工作者在从业路上，任重而道远。作为一个讲授公共基础课的老师，身上肩负着很重要的责任，利用教学创新改善教学效果应该是一个永恒的话题，唯有树立终身学习的理念，不忘初心，努力向前。