显核心知识的本质 育学生数学核心能力

陈卫军　李文靖

【摘 要】数学核心知识是培养学生数学思维，提升学生数学能力的载体。教师在数学课堂中将数学核心知识的本质展现在学生面前，能够培育学生的数学核心能力，彰显“问题源于学生，方法学生找，思路学生讲，困难学生破”的教学理念。

【关键词】初中数学;核心知识;核心能力;思维训练

【中图分类号】G633.6  【文献标识码】A  【文章编号】1671-8437（2021）34-0020-03

数学核心知识是一些基本原理和基本关系，适用范围广，它们在数学课程和教材中处于重要的、不可或缺的基础地位，具有内在逻辑的连贯性和一致性。数学高度抽象和概括的特征决定了数学的学习是一个知识框架的构建过程。数学核心能力综合体现出学生在基础知识、基本技能、数学思考、数学态度等方面的掌握情况[1]。

本文以“确定二次函数的表达式”为例，主要利用问题的开放性激发学生的参与意识，带动学生参与到课堂中来。

1   联系转化，深度融合

数学知识是相互联系的，很多新知识都是在已有知识的基础上形成和发展而来。对初中生来说，只有把握数学知识的整体性，体会数学知识间的联系性，才能真正掌握数学知识的本质，提高解决实际问题的能力。在日常教学中，教师不能只对单个知识点进行教学，而应当进行必要的组织教学，让学生及时掌握知识的关联性和整体性，发展其思维能力。为了让学生将所学知识点串联起来，笔者在“确定二次函数的表达式”一课的设计中做了如下尝试。

问题1：你能根据二次函数的表达式快速得到图象的哪些特征？填写表1并画出它们的图象。

问题2：解决问题1后，你发现了什么？能解释其中的原因吗？

发现1：开口方向与大小是一样的，因为a都等于1/2。

发现2：抛物线的对称轴、顶点坐标，与y轴交点坐标，与x轴交点坐标也是一样的。

发现3：画出来的函数图象也是一样的。

发现4：二次函数的三种表达形式各有特征与优势：三种都能快速看出抛物线的开口方向;顶点式能快速看出抛物线的顶点坐标;交点式能快速看出抛物线与x轴的交点坐标;一般式能快速看出与y轴的交点坐标。

问题3：这三种二次函数的表达式能相互转化吗？你有转化的方法吗？（答案如图1所示）

三个问题层层递进，能够让学生体会到二次函数表达式与函数图象之间的联系。通过画二次函数图象，建立图象与表达式之间的联系，实现对二次函数图象的对称轴和顶点坐标，与y轴交点坐标，与x轴交点坐标的理解，再次领会二次函数的性质和图象特征。同时将开口方向、对称轴和顶点坐标与二次函数的表达式紧密联系起来。巩固整式恒等变形的基本技能（如完全平方公式、平方差公式的使用）、数学基本方法（如因式分解、配方）的使用，体会数学中的恒等意义与转化思想。

2   类比引领，方法生成

类比是数学学习的有力工具之一。類比思想可以构建起新旧知识间的桥梁，在新事物的发现过程中起重要作用。培养学生的类比思维，提高学生的类比迁移能力，有助于帮助学生养成发现和归纳的良好思维习惯。教师在课堂上要利用类比思想来优化学生的思维模式，以达到更好的教学效果[2]。在“确定二次函数的表达式”一课中，笔者为渗透类比思想设计了以下环节。

问题4：我们知道：

（1）确定反比例函数的表达式 y=k/x（k≠0）需

要________个条件，为什么？（需要一个条件，因为只有一个待定系数k）

（2）确定一次函数的表达式 y=kx+b（k≠0）需

要_________个条件，为什么？（需要两个条件，因为有两个待定系数k和b）

（3）试问：确定二次函数的表达式 y=ax+bx+

c（a≠0）需要___________个条件，你能说明你猜想的理由吗？（需要三个条件，因为有三个待定系数a、b、c）

通过类比确定反比例函数和一次函数表达式所需条件，并猜想确定二次函数表达式所需条件，唤醒学生用待定系数法求函数表达式的意识，促成学生能力的迁移和发展，初步感受到确定二次函数表达式所需的条件，同时渗透类比思想[3]。

3   数形结合，难点突破

初中数学研究的对象主要是数和形两大部分，数与形是有联系的，数形结合是数学解题中常用的思想方法，我国著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休。”数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，从而实现优化解题途径的目的。为了让学生体会数形结合的思想，感受数形结合的优势，在“确定二次函数的表达式”一课中笔者设计了如下环节。

问题5：如图2，已知二次函数的图象经过点（1，0），（3，0）和（2，3），求这个二次函数的表达式。（你有哪些方法，试一试，思考为什么你要这样做？）

【解法一】因为二次函数的图象经过三个点，坐标分别为（1，0），（3，0）和（2，3）。

【解法二】因为（1，0），（3，0）是抛物线与x轴交点坐标，所以设二次函数的表达式为 y=a（x−1）（x−3）。

又因为图象过点（2，3），有3=a（2−1）（2−3），

解之得：a=−3，

所以二次函数的表达式为 y=−3（x−1）（x−3）。

【解法三】因为图象过点（1，0），（3，0），所以对称轴为x=2。

因为图象过点（2，3），所以点（2，3）是抛物线的顶点。

所以设二次函数的表达式为 y=a（x−2）+3，

又因为图象过点（3，0），有0=a（3−2）+3，

解之得：a=−3，

所以二次函数的表达式为 y=−3（x−2）+3。

借助图象特征是研究函数性质的常用方法。函数图象的几何特征与数量特征紧密结合，体现了数形结合。在课堂上让学生将原生态解法、真实思维展露出来，凸显了经验下的类比，使其再次感受二次函数的顶点式、交点式、一般式各自反映的图象特征。相比解法一，解法二借助了二次函数的图象与x轴交点坐标，解法三借助了二次函数图象的顶点坐标，所以解答过程更简洁。在此过程中学生也感受到了数形结合思想的优势。

4   一题多解，深入探究

一题多解，就是要启迪学生通过不同的角度、不同的思路、不同的计算方法来解决同一个问题。一题多解可以让不同的学生都有展示自己思维的舞台，学生从不同层次、不同方法、不同思路去思考并进行交流可以极大地开阔学生思路、发散学生思维，也增加了解题的新颖性和趣味性，更增加了学生学数学的信心和兴趣。

问题6：已知二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）图象的顶点坐标为（2，3），且经过点（−1，0），你能确定这个二次函数的表达式吗？你有几种方法？

【解法一】因为图象的顶点坐标为（2，3），

所以设二次函数的表达式为 y=a（x−2）+3，

图象又经过点（−1，0），故有0=a（−1−2）+3，

解之得：a=1/3，

所以二次函数的表达式为 y=1/3（x−2）+3。

【解法二】因为顶点坐标为（2，3），所以对称轴为x=2，图象与x轴有一个交点坐标为（−1，0），由对称性，另一个交点坐标为（5，0），

所以设二次函数的表达式为 y=a（x−1）（x−5），

因为顶点坐标为（2，3），故有3=a（2+1）（2−5），

解之得：a=1/3，

所以二次函数的表达式为 y=1/3（x+1）（x−5）。

【解法三】二次函数 y=ax+bx+c（a≠0）图象的顶点坐标为（2，3），且经过点（−1，0），

有的学生做到此步，没有办法做下去了，陷入了困惑之中，怀疑缺少必要的条件。

【解法四】二次函数 y=ax+bx+c（a≠0）图象的顶点坐标为（2，3），且经过点（−1，0），

学生也陷入了解三元方程组的泥潭之中，无法解题。

【解法四的完善方案】二次函数 y=ax+bx+c（a≠0）图象的顶点坐标为（2，3），且经过点（−1，0），

由②得b=−4a，代入①可得c=−5a，

一题多解搭建了语言交流与思维碰撞的平台，让学生的思维得到了发散。通过展示学生的解答过程、组织学生讨论等途径，能够让学生在解题中学会分析，在交流中学会选择，能依据已知条件灵活选择、求出二次函数的表达式，引导学生形成善于观察、勤于动脑的习惯。同时学生也感悟到了二次函数三类表达式的归一性，感受到数学高阶思维——对比与选择思想的运用。通过完善解法三和解法四，加深学生对二次函数图象对称轴和顶点坐标的理解，特别是顶点坐标，它不仅是图象经过的一个点，还表示抛物线的对称轴，有了对称轴，就可以利用对称性找到图象过的另一个点，充分体现数形结合的思想。让学生直面问题，充分发挥学生的主体意识，给学生一定的思考空间，充分体现“问题源于学生，方法学生找，思路学生讲，困难学生破”的教学理念。

在初中数学课堂教学中，教师要尽可能地让学生在有一定“思维含金量”的地方充分展现知识的形成、发展过程，让学生能在解决问题的过程中体验知识的创造与发现，使其有意识地用数学的思维思考问题，用数学的方法解决问题，用数学的眼光看待问题。教师要把握数学知识本质和学生认知过程，将基本知识与基本技能等给学生清楚地展示出来;同時又把隐含的数学思想和数学文化凸显出来，让学生在掌握知识与技能的基础上感悟数学的魅力，从而掌握数学方法，发展数学核心素养，让学生学到有“根”的数学。

【参考文献】

[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[S].北京：人民教育出版社，2017.

[2]邢成云.类比引领，问题驱动，方法生成[J].中学数学初中版，2014（1）.

[3]王眉燕.渗透数学思想方法培养数学核心素养[J].数学教学通讯.小学版，2017（5）.