基于模型预测控制的汽车紧急转向避撞研究

严运兵，许峻峰，许小伟，杨建青

(武汉科技大学汽车与交通工程学院，湖北 武汉，430065)

汽车主动安全技术的不断发展为汽车行驶安全提供了有力的保障。目前，因汽车在高速路面躲避障碍物而造成的安全事故率越来越高，汽车主动安全技术中的主动避撞技术已成为汽车驾驶安全领域的研究热点，该类研究主要包括汽车行驶路径规划以及对汽车行驶轨迹进行跟踪控制，如修彩靖等[1]利用高斯组合隶属函数建立改进的人工势场模型进行路径规划；Wnag等[2]基于模拟退火算法优化了路径规划器初等函数中的多项式参数；张琳等[3]通过引入滚动窗口优化策略来解决未知环境中的全局最优轨迹；田彦涛等[4]借助线性二次型调节器(LQR)设计出侧向控制器实现了平稳避撞；Chen等[5]利用一种路径跟随转向控制器来减小跟踪误差，该控制器由具有自适应预览时间的自动换道系统组成；李印祥等[6]基于滑模控制方法对汽车行驶路径进行跟踪，仿真和硬件在环试验证实该方法具有良好的跟踪特性。

当汽车以较高速度行驶且与前车或障碍物间距过小、已无法通过制动来避免碰撞但尚未到达最晚转向点时，仍可利用转向避撞方式避开障碍物[7]，基于此，本文利用模型预测控制算法设计轨迹跟踪器，通过主动前轮转向的方式来提高汽车行驶过程中的轨迹跟踪能力，该控制模型可以帮助直道行驶的汽车在无驾驶员干预的情况下，自动从现行车道变换到目标车道，从而实现转向避障。

1 系统建模

1.1 单轨模型

整车中控制轨迹跟踪的模型基于简化的车辆单轨模型(见图1)，其中建模假设有：(1)假设车辆只在平面上运动，忽略垂向运动；(2)忽略纵向和横向的空气动力；(3)假设车辆保持相对稳定的速度，未考虑前后方存在的载荷转移现象。在图1中，OXY为全局坐标系，oxy为车身坐标系，x为车辆纵轴线，y轴与车身纵轴线垂直，z轴垂直oxy平面。沿车身坐标系x、y轴以及绕z轴方向的受力有：

图1 车辆的单轨模型

(1)

(2)

式中，β为车辆的质心侧偏角；v为质心处的速度；ψ为横摆角。由于本文假设汽车在转向避撞的过程中纵向车速保持不变，综合式(1)和式(2)可得：

(3)

在轮胎小角度假设下，前后轮受到的纵向力与侧向力可用以下函数表示：

(4)

式中，Fx为轮胎的纵向力，Fy为轮胎的侧向力，Cl为轮胎的纵向刚度，Cc为轮胎的侧偏刚度，s为轮胎的滑移率，α为轮胎的侧偏角。采用Pacejka轮胎模型[8]，可以得到：

(5)

式中，Ccf为前轮的侧偏刚度，Ccr为后轮的侧偏刚度。由于车辆质心侧偏角和前轮偏角等都很小，将式(5)代入式(3)并简化成下式：

(6)

根据车辆的动力学模型，可得状态空间表达式为：

(7)

1.2 侧向换道安全距离模型

汽车换道避撞过程可以分解为初期的减速调整和后期的匀速转向换道两个阶段。在第一阶段汽车转向避撞换道时，可能有短暂的减速来获取换道时机，假设这段时间为ta，则有：

vx(ta)=vx0-aata

(8)

式中，vx(ta)为ta时刻的汽车速度，vx0为初始车速，aa为调整时刻减速度。

考虑机械延迟时间td因素，反应阶段距离D1为：

(9)

在第二阶段，汽车以匀速转向换道时与碰撞点的距离D2为：

D2=vxta(tc-ta)

(10)

式中，tc为到碰撞点时间。则侧向换道安全距离D为：

D=D1+D2

(11)

2 主动避撞设计

2.1 避撞轨迹

常见避撞轨迹有圆弧换道轨迹、五次多项式轨迹、基于正反梯形的侧向加速曲线以及斜坡正弦函数换道轨迹等，本研究采用五次多项式轨迹，其优点为初始与最终时刻的曲线光滑平稳，该轨迹如图2所示。

图2 避撞轨迹

多项式轨迹通用表达式为：

y(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn

(12)

式中，y(x)为横向位移，x为纵向位移，a0至an为待定的系数。采用五次多项式轨迹，为保证曲线光滑，需满足包括位置在内的诸多约束，边界条件为：

(13)

式中，y(0)为在原点处的横向位移，ye为换道过程的横向位移，y(xe)为在纵向位移xe处的横向位移。通过约束，五次多项式轨迹可表达为：

y(x)=ye[10(x/xe)3-15(x/xe)4

+6(x/xe)5],0≤x≤xe

(14)

式中，xe为换道过程的纵向位移，因本文以时间为变量，考虑到转向过程中航向角很小，则有：

xe=vxte

(15)

式中，te为换道过程的时间。将式(15)代入式(14)，可得到：

(16)

2.2 模型预测控制器

模型预测控制(MPC)算法包括三个部分,即预测模型、滚动优化及反馈校正[9]。本文所设计用于预测控制算法轨迹跟踪器的模型包括建立预测模型以及在预测时域内结合目标函数和约束方式求解得出最优解。

将式(6)所示的车辆动力学模型线性离散化，采用文献[10]中针对状态轨迹的线性化方法对其进行线性化处理，在任意工作点[xrur]T进行一阶的泰勒展开并被原式相减，可得：

(17)

式中，A(t)=A，B(t)=B。再借助一阶差商方法对上述方程进行离散化，有：

(18)

式中，A(k)=I+TA(t)；B(k)=TB(t)；C(k)=C；D(k)=D；T为采样时间。将离散的状态变量和控制变量组合成一个新的状态变量：

(19)

可得新的离散状态空间表达式：

(20)

受车身结构的约束，控制量、控制增量和输出约束等在控制过程中受到如下约束：

(1)控制量约束

umin(t+k)≤u(t+k)≤umax(t+k)

(21)

式中，k=0,1，…,Nc-1；设umin=-10°，umax=10°。

(2)控制增量的约束

Δumin(t+k)≤Δu(t+k)≤Δumax(t+k)

(22)

式中，设Δumin=-0.85°,Δumax=0.85°。

(3)输出的约束

ymin(t+k)≤y(t+k)≤ymax(t+k)

(23)

(4)纵向加速度的约束：

aymin(t+k)≤ay(t+k)≤aymax(t+k)

(24)

(5)轮胎侧偏角的约束：

αfmin(t+k)≤αf(t+k)≤αfmax(t+k)

(25)

利用预测模型和约束量对系统状态量的偏差和控制量进行优化，提出目标函数为：

(26)

式中，Np为预测时域，Nc为控制时域，Q、R为权重矩阵，ρ为权重系数，ε为松弛因子。

通过目标函数可以求解出k时刻的控制增量序列：

ΔU(k)=[Δu(k∣k),Δu(k+1∣k),…,

Δu(k+Nc-1∣k)]T

(27)

第k时刻控制变量可以表达成第k-1时刻的控制变量加上第k时刻的控制增量，表达式为：

u(k∣k)=u(k-1∣k-1)+Δu(k∣k)

(28)

该式即模型预测控制的反馈校正部分。利用目标函数和约束条件进行滚动优化得到控制输出序列，将输出序列的第一个值作为被控对象下一时刻的输入值，直到下一个采样周期。

3 仿真实验

本文利用Carsim/Simulink联合仿真模型，利用模型预测控制算法设计了路径跟踪器，基于主动前轮转向，提高车辆行驶过程中循迹的准确性和稳定性，车辆的部分参数如表1所示。

表1 车辆参数

在转向避撞过程中，通过对比避障轨迹的MPC控制算法与PID控制算法来分析车辆在转向避撞过程中循迹的准确性和稳定性。常见PID的控制公式为：

(29)

式中，kp为比例系数；ki为积分系数；kd为微分系数；e(t)为系统误差。本研究所用PID控制器的输入为车辆横摆角期望值与实际值的差值，输出为车辆的前轮转角。经多次试验对比，PID控制整定的参数为kp=12，ki=0.8，kd=1。利用PID控制算法进行模型运算时忽略约束条件中对轮胎侧偏角和前轮转角的限制。

设置汽车车速为80 km/h，距离车辆50 m处有一静止的障碍物，路面附着系数为0.3，利用不同控制算法进行仿真实验，结果如图3所示。由图3(a)可见，当车辆质心的纵向位移在20 m左右时，几种控制方式与未控制时相差不大，其运动轨迹与理想轨迹的参考值的偏差较小。当车辆质心的纵向位移在55 m左右时，未控制的车辆完全偏离行驶路线，车辆产生严重的侧滑，处于失稳状态。通过PID控制，虽然轨迹逐渐收敛到期望轨迹上，但其横向位移与期望轨迹仍然产生了较大的偏离。MPC的控制效果明显优于PID控制及无控制时的效果，相比于未控制的纵向位移峰值，MPC控制的纵向位移峰值与理想值的偏差由0.577 m下降到0.141 m，降幅达75.6%。由图3(b)可见，未控制车辆在运动过程中横摆角变化很大。仿真模拟显示其横摆角峰值为49.7°，产生严重失稳。采用PID控制时，相应车辆横摆角峰值为6.32°，低于期望横摆角，这是因为PID控制方式主要控制横摆角而不是控制横向位移，结合图3(a)可知，PID控制的车辆循迹能力较差。而采取MPC控制较未控制时车辆的横摆角峰值由49.7°降至5.73°，极大地减小了车辆失稳趋势，提高了汽车的循迹能力。此外，采取MPC控制时，车辆横摆角趋于稳态的时间为3.275 s，较PID控制时的相应值(4.85 s)缩短了32.5%。经仿真实验可得未控制车辆的横摆角速度和质心侧偏角峰值分别为149°/s、179°，由图3(c)和3(d)可见，通过PID控制和MPC控制均可大幅降低横摆角速度和质心侧偏角峰值，并且采取MPC控制时，车辆横摆角速度和质心侧偏角峰值都较PID控制时的相应值偏高，但后者位移轨迹图偏离情况较严重，未能达到良好的轨迹跟踪效果(见图3(a))。

(a)车辆质心的运动轨迹 (b)横摆角的响应

由图3(e)及图3(f)可见，采用MPC控制时，车辆前轮转角峰值和谷底值分别为0.0975 rad和-0.065 rad，二者绝对值均小于相应设置值(0.1744 rad、-0.1744 rad)的绝对值，满足车辆避撞过程中前轮转角的约束，同时，车辆前轮转角增量峰值和谷底值分别为0.0118 rad和-0.0118 rad，二者绝对值也均小于相应设置值(0.0148 rad、-0.0148 rad)的绝对值，满足车辆避撞过程中前轮转角增量的约束。

4 结语

在中高速低附着的路面上行驶时，未控制的汽车在转向避撞的过程中会严重失稳，安全隐患较大。通过PID对汽车横摆角期望值与实际值的差值进行控制，大大地减少了车辆侧滑的幅度，但是实际的行驶轨迹仍然和理想轨迹有较大的偏差。相比于PID的控制效果，在MPC控制下，车辆的实际行驶轨迹与理想轨迹偏差很小，可以很好地跟随理想轨迹。此外，相比于无控制状态，MPC控制在车辆质心的运动轨迹、横摆角响应等方面均有较好的优化效果。不过，在汽车避撞过程中，环境信息是实时变化的，这意味着汽车行驶的理想运动轨迹也会随之不断改变，如何实时、准确地跟踪变化的运动轨迹还需进一步深入研究。