让函数考查回归本质*——对广州市中考数学第25题的思考

广东省东莞市东莞中学松山湖学校(523808) 严 明

广州市中考数学第25 题的设计一直以来都颇具特色,近二年来,都是以含参二次函数为主体,无图呈现的综合压轴题,解决这类问题应当如何寻找思路的突破口? 给我们的教学带来怎样的思考? 本文以2019 年、2020 年的问题解答为例,谈些自己的思考,供大家参考.

1 2019 年原题呈现

已知抛物线G:y=mx2−2mx −3 有最低点.

(1)求二次函数y=mx2−2mx −3 的最小值(用含m的式子表示);

(2)将抛物线G向右平移m个单位得到抛物线G1.经过探究发现,随着m的变化,抛物线G1顶点的纵坐标y与横坐标x之间存在一个函数关系,求这个函数关系式,并写出自变量x的取值范围;

(3)记(2)所求的函数为H,抛物线G与函数H的图象交于点P,结合图象,求点P的纵坐标的取值范围.

1.1 思路分析

函数综合题不给出函数图象,这对考生无疑构成为一种强大的心理压力, 需要他们冷静分析试题中的每一个条件,根据解题的需要,自行绘制出函数的图象,运用数形结合的方法分析问题.

对于此题的题干条件,含参数m的二次函数有最低点,可以判定二次项系数m ＞0,在第(1)中求二次函数的最小值,可以运用公式法,也可以运用配方法,而运用配方法将函数解析式转化成顶点式更好.

第(2)问中,将抛物线平移,根据坐标系平移特征,平移m个单位后抛物线G1可以表示,其顶点坐标也可以表达,利用消元思想求函数解析式.

第(3) 问, 研究抛物线G与一次函数H之间的交点P, 一般思路是将两函数解析式联立组成方程组,解方程组, 但面对一个含参的方程组, 消元后, 得到:mx2+ (−2m+ 1)x −1 = 0, 在不能使用因式分解的情况下接下来要用公式法解,计算量显然会很大,是不是要硬着头皮进行呢? 一时思维受阻.根据题目提示:“结合图象,判定点P的纵坐标的取值范围”,尝试性地画函数图象,但由于抛物线G含有参数m,图象似乎也很难准确确定.

当然,还是可以确定一些相关要素的,比如抛物线对称轴为x= 1,与y轴交点坐标C(0,−3),画出示意图等.观察图象,可知抛物线过点C的对称点D(2,−3),得到交点P的纵坐标肯定小于−3,而大于−m −3,但接下来要更精确地锁定点P纵坐标的取值范围,这是有一定挑战的,发现点E,借助于点E的纵坐标是关键.

1.2 解答参考

(1)由题意得:y=mx2−2mx −3=m(x2−2x)−3=m(x −1)2−m −3,∵抛物线有最低点,∴m ＞0,二次函数的最小值为−m −3.

(2)由题意得,G:y=m(x −1)2−m −3 向右平移m个单位后得G1:y=m(x −1−m)2−m −3(m ＞0),∴顶点坐标为(1+m,−m −3),则消去m,得y=−x −2,∵m ＞0,∴x=1+m ＞1.即随着m的变化,顶点的纵坐标与横坐标之间存在的函数关系式为:y=−x −2,且取值范围是x ＞1.

(3)由y=mx2−2mx−3可知: 对称轴为x=1,与y轴交点坐标为C(0,−3),由抛物线的对称性可知,其图象必过对称点D(2,−3).∴抛物线的顶点坐标为(1,−m −3),对于函数H:y=−x −2(x ＞1),当x=1 时,y=−1−2=−3,∴点F(1,−3),当x=2 时,y=−2−2=−4,∴E(2,−4),∴函数图象交点P必在线段EF之间,即点P纵坐标yP取值范围是:−4＜yP ＜−3.

图1

2 2020 年原题呈现

在平面直角坐标系xOy中,抛物线G:y=ax2+bx+c(0＜a ＜12)过A(1,c −5a),B(x1,3),C(x2,3),顶点D不在第一象限,线段BC上有一点E,设ΔOBE的面积为S1,ΔOCE的面积为S2,S1=S2+

(1)用含a的式子表示b;

(2)求点E的坐标;

(3)若直线DE与抛物线G的另一个交点F的横坐标为+3,求y=ax2+bx+c在1＜x ＜6 时的取值范围(用含a的式子表示).

2.1 思路分析

这也是没有图形呈现的函数综合题,需要仔细分析问题题干中给出的条件,尽可能地寻找问题的突破口.

第(1)问要用含a的式子表示b;二次函数解析式含a、b、c三个参数,所给的A、B、C三点坐标也都残缺不全,刚开始真的并不一定很明确要如何走, 但可以尝试着将点A的坐标代入解析式,结果运气好化简时消去了c,得到一个关于a、b的关系式,问题得到解决;

第(2)问是在第(1)基础上进一步研究.题目已知中C,B两点的横坐标不确定,但纵坐标相同,可知B、C两点是抛物线上关于对称轴对称的点,(1)的结论,实质是研究抛物线的对称轴,得到对称轴为x= 3,再研究ΔOBE、ΔOCE的面积,这是两个不同底,但高都为3 的三角形,由题目中S1、S2的关系式,可转化得到BE=CE+1,如何认识这个关系式是一个难点,可放在数轴上,也可由线段及中点的知识推导.

图2

如图2, 线段BC及中点M, 得到BM=MC, 由BE=EC+1,∴BM+EM=EC+1,∴MC+EM=EC+1,∴MC+EM −EC= 1,∴EM=在坐标系中,点M坐标为(3,3),由此推理得到点E的坐标,当然,需要注意的是点B不一定在左边,所以点E的位置在坐标系中,可能在对称轴右边,也可能在左边,分二种情况;

第(3)问,肯定是问题的制高点,首先还是要确定一下图象,哪怕是某些元素不确定的大致图象,这一问中,点D是顶点,点F的横坐标说明点F在对称轴右边,所以点E只能是对称轴右边点,接下来如何思考呢? 由D、E、F三点的横坐标都已确定或可表示,所以,思考这三点的纵坐标,构造由平行线组成的两三角形相似来寻找突破口,经过比较大的运算之后,可得到c、a之间的关系式c= 9a,这样二次函数解析式就可以都用含a的式子表示,再由对称轴为x= 3,研究1＜x ＜6 可知,这是需要研究抛物线上非对称区间y的取值范围,分别求出界点(即x=1、x=6 时)对应的函数值,再综合得到函数值的取值范围.

2.2 解答参考

(1)由A(1,c −5a)代入解析式y=ax2+bx+c,得到:a+b+c=c −5a,∴b=−6a;

(2) 由题意, 可得对称轴x== 3; 再由B(x1,3),C(x2,3) 可知:BC//x轴, 且关于对称轴对称.由S1=∴EB=CE+1,再由对称性可知,点E到对称轴的距离为

图3

(3) 由交点F的横坐标为+ 3＞3, 可 见点F在对称轴右边, 如图3,过点F作FN ⊥x轴交于直线BE于点N, 当x=时,y=−6a×∴FN=−9a+c −3,EN=由(1)可知,当x=3 时,y=9a−18a+c=c−9a.∴D(3,c−9a),MD=3−c+9a,由题意, 可得: ΔMDE∽ΔFEN.得到:化简得到c=9a,∴抛物线的解析式为y=ax2−6ax+9a,∴由1＜x ＜6,a ＞0,对称轴为x= 3,可知: 当x= 3 时,y最小为c −9a= 0;当x= 6时,y=36a −36a+c=9a,∴0 ≤y ＜9a.

3 试题思考

3.1 关注函数压轴考查回归本质

长期以来, 充斥于中考卷中二次函数类的综合压轴题,大都是把函数图像与几何图形结合起来, 考查图形的属性,这类试题因其过分注重技巧套路,有将未来高中要学的解析几何的有关研究放在初中探究倾向,不够自然,偏离了函数研究的本质,其命题导向一直饱受诟病.什么是函数? 函数就是刻画现实世界运动变化规律的一种数学模型,在初中范围内,函数本质是“变量说”,指向的是两个变量之间的一种单值对应关系,而函数的单调性,才是中学学习的函数最基本、最核心的性质,所以,在初中数学领域,最重要的知识就是函数的概念、图像和性质,最重要的思想就是模型思想、变化和对应的思想.考查的重点就是利用数形结合的研究方法,既从解析式来确定图像的意义,又从图像来获取对应与变化规律.广州市这二年函数综合题可谓是正本清源,回归本质.从所涉及到的知识点来看,主体是二次函数,专注于二次函数的顶点、对称轴、交点坐标、函数图象平移特征等基础知识,前一题从抛物线顶点坐标变化规律的角度,研究纵坐标与横坐标两个变量之间的对应关系,并应用函数图象,直观想象研究交点纵坐标的变化规律;而后一题,则以图像上若干点的坐标之间的依赖关系, 研究抛物线上一部分的变化规律.这种考查抓住了函数的本质,体现了知识之间内在联系.

3.2 回应当下的命题趋势

函数中含参问题是近年来各地中考数学试题的一个亮点.研究这两年各地的中考试题, 不难发现, 以含参数的形式来研究数学问题有增多趋势,比如2019 年的扬州卷第27题、宜昌卷第24 题、泰州卷第26 题、天津第25 题、浙江舟山卷第24 题,2020 年上海第24 题、北京第26 题、长沙第24题、扬州第28 题等.其实,广州卷早在2016 年中考中就有类似的设计,在2018 年中考卷第24 题也是如此.参数问题,因其抽象不具体、参变量不确定而引起图像相应地产生某些变化特征,对学生解题能力要求较高,一直以来都是学生不易把握的难点,但同时,这也是初、高中知识衔接的一个切入口,广州卷坚持这种导向,既是对当下命题亮点趋势的一种回应,也是对教学导向的一种坚守.

4 教学启示

4.1 坚持数学学科核心素养的深度教学

从数学学科核心素养的角度,文中的两道综合题都是重点考查了学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学抽象等核心素养.首先是学生的运算能力.解决有关综合题,没有高超的运算能力,肯定是行不通的.而参数的加入,使得运算要求变得更高了.含参的顶点坐标、含参的交点坐标、含参的点的坐标、含参式子的因式分解等等,都会增加运算的难度,影响学生运用运算结果进行推理、归纳和发现,阻隔学生的思维,当然这也说明,在初一初二的代数教学中,其实也需要适当渗透一些字母运算的机会的.

其次是数形结合的研究方法受到了挑战, 参数的加入,使得连画函数图像都成了一件很困难的事情,题目中没有图像呈现,自然就会影响到学生观察图像,直观想象的能力.由此,在平时的教学过程中,仍然要立足数学学科的核心素养,坚持抓住函数本质的教学,运用图形和空间想象的意识,发展学生的数学抽象,逻辑推理,规范表达,形成学生一般性思考、程序化思考问题的习惯,发展学生的思维.

4.2 加强含参二次函数解题反思

对于含参数的二次函数综合题难度往往很大,但也有其相应的学习方法.首先是在日常教学中,教师要引导学生深入探究问题的本质特征,提高解后反思,比如追问“三个一”即一题多解、一题多变、多题归一,“你知道一道与它有关系题目吗? ”“你能在别的什么题目中利用这个结果或这种方法吗? ”而不是盲目追求解题的数量.其次,要深刻理解含参数的二次函数中各参数的含义,克服因参数的不确定性带来的困难,寻找其变化中的不变量,这通常就是问题的切入点.比如可以尝试通过含参的二次函数的解析式进行“图像六追”: 抛物线的开口方向有没变化、对称轴有没有变化、顶点坐标有没有变化、增减性有没有变化、有没有过某个定点、与坐标轴的交点坐标有没有变化等,从中挖掘其中的隐含信息,寻找不变量,把握图像的变化规律,并注意积累解题经验.实际上,对于含参的二次函数y=ax2+bx+c,如果a、b、c之比为定值时,与x轴的交于定点;如果a、b的比为定值时,对称轴或顶点横坐标一定不变;解析式如果能够因式分解成两个一次式的乘积,就意味着对称轴以及与x轴两交点间的距离可研究,观察解析式,看有没有哪组值代入,刚好令相关参数全部消除,这就说明图像过某个定点.