矩形明渠消力池水跃的水头损失研究

傅铭焕，张志昌

(1.浙江省水利水电勘测设计院 施概院，杭州 310002； 2.西安理工大学 水利水电学院，西安 710048)

1 研究背景

水跃是急流向缓流过渡的一种局部水力现象，并伴随着能量的消散。水跃段能量的衰减，由2部分组成：一部分是水跃区下部主流受到壁面摩擦阻力的影响而产生的沿程水头损失，另一部分是上部水体强烈掺气旋滚而产生的局部水头损失。

吴持恭[1]研究了水跃区水头损失的变化规律，认为水跃区能量损失分为水跃段水头损失和跃后段水头损失，并给出了相应的计算式。文献[2]认为，水跃跃后段消能所占比例一般较小，实际计算中可假定水跃的能量消耗全部集中于水跃段。

文献[1]—文献[2]虽然给出了水跃区总水头损失计算式，但均未对水头损失进行进一步的细分。张志昌等[3]根据水跃区流速分布公式及边界层理论，结合沿程水头损失的定义分析了水跃区沿程水头损失和局部水头损失的变化规律。研究表明，随着跃前断面弗劳德数的增加，水跃沿程水头损失占比逐渐减小而局部水头损失占比逐渐增大；在弗劳德数较大时，水跃段的水头损失主要为局部水头损失。但须说明的是，在主流方向上文献[3]将跃前断面至7倍跃前水深处的区间范围产生的所有水头损失归到局部水头损失之中。

根据沿程水头损失定义，沿程水头损失主要与壁面的摩擦阻力有关。倪汉根等[4]研究的一般光滑床面水跃特性表明，一般光滑床面消力池的床面摩擦阻力很小，对水跃共轭水深比及相对能量损失的影响并不明显。Ead等[5]研究了水跃区壁面阻力的变化规律，给出了一般光滑壁面与波状床面消力池的壁面阻力系数计算公式。研究表明，壁面阻力系数是跃前断面弗劳德数的函数，并随着弗劳德数的增大而增大。波状床面消力池壁面阻力系数远大于一般光滑床面消力池。文献[6]—文献[10]也研究了粗糙床面消力池壁面阻力系数的变化规律，给出了壁面阻力系数的计算方法。

由以上研究可知，一般光滑壁面消力池水跃区水头损失的研究成果还很少，远没有水跃跃后水深和水跃长度研究深入与透彻。笔者尝试根据沿程水头损失的定义，研究沿程水头损失与局部水头损失的变化规律，完善并丰富水跃理论体系。

图1 矩形明渠消力池水跃示意图Fig.1 Sketch of hydraulic jump in stilling pool ofrectangular open channel

2 沿程水头损失

图1为一矩形明渠消力池水跃示意图。图中h1和h2分别为水跃跃前、跃后断面水深；v1和v2分别为跃前、跃后断面的平均流速；Lj为水跃长度；F为整个水跃段渠底对水流的总摩擦阻力(后文简称渠底阻力)。

根据沿程水头损失的定义，水跃段沿程水头损失hf可表示为

(1)

式中：τ(x)为水跃区渠底任一点对水流施加的壁面切应力；ρ为水体密度；g为重力加速度；R(x)为水跃区任一断面处的水力半径；L1、L2分别为积分上下限，x轴正方向与水跃主流前进方向一致。

矩形明渠消力池水跃区任一过水断面的水力半径R(x)可表示为

(2)

式中：A(x)为水跃区任一过水断面面积；χ(x)为任一过水断面湿周；h(x)为任一过水断面处水深；b为消力池宽度。

将式(2)代入式(1)，则

(3)

式(3)可简化为

(4)

(5)

对式(4)进行变形，可得

(6)

渠底阻力F[14]可表示为

(7)

式中：Cf为床面阻力系数；γ为水体重度。

(8)

将共轭水深比η=h2/h1，跃首断面宽高比ξ=b/h1代入式(8)可得

(9)

由式(9)可知，矩形明渠水跃区沿程水头损失hf是跃前断面水深h1、床面阻力系数Cf、水跃共轭水深比η及跃首断面宽高比ξ的函数。hf随着h1和Cf的增大而增大，随着η和ξ的增大而减小。

(10)

式中Fr1为跃前断面弗劳德数。

由式(10)可得沿程水头损失系数λ为

(11)

在水力计算中，床面阻力系数Cf往往是未知的，倪汉根等[4]在研究一般矩形明渠水跃共轭水深时，给出了Cf与共轭水深比的理论关系，即

(12)

将式(12)代入式(11)可得

(13)

由式(13)可知，沿程水头损失系数λ是跃前断面弗劳德数Fr1、水跃共轭水深比η和跃首断面宽高比ξ的函数。

笔者根据Francesco等[15]和Hughes等[16]的矩形明渠水跃的试验工况对水跃区沿程水头损失系数进行分析。在数据整理时，笔者发现Francesco等[15]和Hughes等[16]的102组光滑壁面试验工况中，有44组实测的跃后水深值略大于Belanger公式计算值(忽略壁面阻力)。由于Cf是个小量，用式(12)计算的床面阻力系数对跃后水深的变动十分敏感，如果实测的跃后水深略微偏大，则Cf就会以负数的形式出现，这与实际并不相符(渠底阻力方向同水体主流方向相反)。故笔者在分析沿程水头损失系数λ时，只保留了58组正常试验工况，即实测的跃后水深值小于Belanger公式计算值的试验工况(Cf>0)。其中，Francesco等试验的跃前断面弗劳德数范围为1.99

图2 λ/Cf随着弗劳德数Fr1的变化规律Fig.2 Change law of λ/Cf with Froude number Fr1

λ/Cf与Fr1可用一个乘幂公式表示，即

(14)

由式(14)可知，λ随Cf的增大而增大，随着Fr1的增大而减小。

故在1.99

(15)

式(15)计算的平均相对误差为4.74%。

3 局部水头损失

假定跃前、跃后断面的动能修正系数均为1，则水跃区跃前和跃后断面的能量平衡方程为

(16)

式中hw为水跃区总水头损失。

根据总水头损失定义可知

hw=hf+hj。

(17)

式中hj为水跃区局部水头损失。

对于局部水头损失，可表示为

(18)

式中ζ为局部水头损失系数。

联立式(10)—式(11)、式(16)—式(18)的等式可得局部水头损失系数，即

(19)

式中q为单宽流量。

将式(13)代入式(17)，则

(20)

式(20)即为矩形明渠水跃区局部水头损失系数的计算式。由式(20)可知，ζ是Fr1、η、ξ、h1、h2和q的函数。

由于式(20)计算的局部水头损失系数较为复杂，笔者仍旧结合Francesco等[15]和Hughes等[16]的58组试验工况，重新分析了局部水头损失系数ζ的变化规律，结果如图3所示。

图3 局部水头损失系数ζ随着弗劳德数Fr1的变化规律Fig.3 Change law of local head loss coefficient ζ withFroude number Fr1

由图3可知，局部水头损失系数ζ随着跃前断面弗劳德数Fr1的增大而增大，ζ可用一个Fr1的对数关系式简单表示，即

ζ=0.396 5ln (Fr1)-0.117 2 。

(21)

式(21)适用范围为1.99

4 总水头损失

对于矩形明渠床面水跃区总水头损失hw，对式(16)变形可得

(22)

令总水头损失

(23)

式中ψ为总水头损失系数。

根据式(22)和式(23)，笔者结合文献[15]和文献[16]的58组试验工况，分析了水跃区总水头损失系数的变化规律，结果如图4所示。

图4 总水头损失系数ψ随着弗劳德数Fr1的变化规律Fig.4 Change law of total head loss coefficient ψ withFroude number Fr1

由图4可知，总水头损失系数ψ是跃前断面弗劳德数Fr1的函数，ψ随着Fr1的增大而增大，两者近似服从对数关系，即

ψ=0.373 5ln(Fr1)-0.058 6 。

(24)

式(24)平均误差为3.32%。式(24)的适用范围为1.99

5 水头损失占比

为了比较水跃段各水头损失的占比，笔者结合上述58组试验工况，对其进行了分析，结果见图5。

图5 水头损失占比随弗劳德数Fr1的变化Fig.5 Variation of ratio of head loss with Froudenumber Fr1

由图5可知，在58组试验工况中只有1组工况的沿程水头损失略大于局部水头损失(Fr1=2.1)，其余工况沿程水头损失均小于局部水头损失。可见，在水跃区水头损失总体上主要由局部水头损失组成。在1.99

需要说明的是，本文推导计算的沿程水头损失hf是跃首断面到跃尾断面间整段水跃的沿程损失，与文献[17]计算的沿程水头损失hf并不等价。文献[17]计算的hf起始断面为离跃首7h1处而非跃首断面，其值应该小于本文的计算值。

6 结 论

本文根据沿程水头损失的基本定义，推导了矩形明渠水跃段沿程水头损失hf与跃前断面水深h1、床面阻力系数Cf、水跃共轭水深比η及跃首断面宽高比ξ的本构关系以及局部水头损失系数的理论计算公式。结合文献[15]和文献[16]的试验工况，提出了沿程水头损失系数、局部水头损失系数和总水头损失系数的简单拟合公式。研究发现：

(1)沿程水头损失hf随着h1和Cf的增大而增大，随着η和ξ的增大而减小；沿程水头损失系数λ随Cf的增大而增大，随着Fr1的增大而减小。

(2)局部水头损失系数ζ是Fr1、η、ξ、h1、h2和q的函数；ζ随着Fr1的增大而增大。

(3)总水头损失系数ψ是Fr1的函数，ψ随着Fr1的增大而增大。

(4)在1.99