基于IQPSO的桥梁传感器优化布置

张安安 吴 翔

1(江西省科学院能源研究所 江西 南昌 330096)2(华东交通大学电气与自动化工程学院 江西 南昌 330013)

0 引 言

最近几年，桥梁建设取得了突飞猛进的发展，桥梁的结构得到了巨大的优化，功能也变得越来越完善。但是桥梁在受到外界因素影响时，容易发生桥梁结构损坏甚至坍塌等事故，在经济上造成巨大损失且危害人们的生命。因此，利用传感器监测桥梁结构并实时评估桥梁结构状态具有重要意义[1]。传感器系统能在桥梁各处收集信息，能够为反映桥梁结构健康状况奠定基础，传感器系统的优良程度决定了获取数据的真实性[2]。所以，实现传感器优化布置(Optimal Sensor Placement, OSP)是一个完整桥梁健康监测系统须解决的问题之一[3]。

综合考虑成本和系统运行状况等因素，在全桥各自由度安装传感器是不现实的。OSP通常被视为组合优化问题，其实现需要同时满足以下两个条件：

(1) 系统使用的传感器数量最少。

(2) 传感器布置的位置最优。

为了使系统中应用的传感器数量尽可能少，需要单个传感器测量的信息足够多。因此，采用三维传感器是最佳方案。本文将三维传感器三个自由度组合成一个独立单元，构建三维模态置信准则，以满足全面应用三维传感器、减少传感器数量的要求。

在构造优化准则之后，通常将优化布置的难题转化为最优化问题，并最终采用优化算法进行求解。传统方法中，最优传感器位置的计算经常是获得局部最优值而不是全局最优值的迭代过程[4-6]。鉴于传统方法的缺点，近年来已经有一些非传统的智能算法来确定最优传感器方案。非传统算法主要包含模拟退火算法(SA)、遗传算法(GA)[7-8]等智能算法。遗传算法在传感器布局的应用和研究中发挥着重要作用，弥补了传统优化算法的不足，具有鲁棒性和高并行效率的特点。然而，遗传算法的局部寻优能力较差, 容易过早收敛、随机漫游和退化，当需要配置更多的传感器时，计算时间会更长[9]。由于PSO[10]消除了GA复杂选择和变异操作等缺点，具有实现简单等优点。文献[11]将粒子群优化算法引入到桥梁传感器的最优布置中，提高了计算性能和效率。然而，PSO本身搜索机制的局限性，仍然存在早熟收敛和局部搜索能力差的缺陷。

针对PSO的不足，Sun等[12]创建了一种新的粒子群优化算法(QPSO)。波函数用于表示量子空间中的中等粒子的条件。粒子的位置方程可以通过薛定谔方程计算和蒙特卡罗随机模拟来计算。文献[13]指出QPSO可以实现全局收敛，且在时间复杂度和收敛速度方面均优于PSO。虽然QPSO在求解优化问题方面具有很大的优势，但是依然存在群体粒子快速相互接近、多样性丧失等缺陷。为此，将柯西变异因子和混沌搜索、Levy飞行策略引入到量子粒子群算法中，使算法的性能能够大大地增强。即提出一种改进的QPSO算法(IQPSO)。

本文提出的IQPSO算法进一步利用混沌初始化粒子群，改善初始粒子群的多样性和分布平衡；然后在QPSO中应用特殊的飞行策略，使粒子的搜索空间进一步增大并且提高了收敛速度；最后加入柯西变异因子，使得在算法的后期粒子有更多的种类。通过对具体的桥梁数值计算的例子进行比较，可以看出该算法能较好地解决桥梁传感器的布置问题。综上所述，本文首先研究了传感器的三维优化准则，从而为三维传感器的使用提供了条件，在一定程度上减少了系统中传感器的数量；然后建立一种以提高量子粒子群算法性能的方法，提高了优化算法的收敛效率，有效避免了局部最优，实现了传感器布置的位置最优。

1 传感器优化布置准则

1.1 模态置信准则

传感器最佳布局问题是典型的组合优化问题，其包含传感器数量和位置的优化。通过建立并分析桥梁的有限元模型，可以得到模型的前几种模态和模态形状矩阵Φ。Fisher信息矩阵(FIM)可以等效表示为推断参数的矩阵，并测量响应中信息量，其公式如下：

F=ΦTΦ

(1)

式中：F代表信息矩阵；ΦT代表振型矩阵的转置矩阵。F中的元素可以表示为：

(2)

式中：φ*,i代表矩阵Φ中的第i列；φ*,j代表矩阵Φ中的第j列。

根据结构动力学的基本理论，完整结构模态是由多个节点组成的模态矩阵构成的并且其向量在节点上相互正交。然而在实践中，由于测量精度和测点个数过少以及噪声的影响，模态正交性会出现各种失真，从而损失重要模态信息，导致测量误差较大。模态置信准则( MAC)矩阵能准确判断模态向量在节点上是否能够相互正交，直观地反映各模态振型空间的交角[14]。MAC矩阵常被用来对比实验模式与理论模式，该方法容易实现和不需要结构的质量、刚度矩阵，具有一定的优势。其表达式如下：

(3)

式中：MACij(i≠j)表示两种目标模式的空间交集余弦也可以表示为它的交角。当它接近1时，二阶模态的交叉角越小，越难以区分。当它接近零时，二阶模的交叉角更大，交叉角更正交。它具有良好的模态识别能力，能够最大限度地防止模态信息的缺失。

1.2 三维模态优化准则

文献[15]中，三维模态置信准则(Triaxial MAC，TMAC)根据其在结构节点上的标准可以作为三个自由度的单位使用，其表达式如下：

(4)

式中：Qi,j表示为Fisher矩阵Q中的元素。矩阵Q的表达式如下：

(5)

式中：φ3k,*为模态振型矩阵Φ中第k个节点的三个平动自由度所对应的模态向量组成的矩阵；nsp为未放置的传感器数量。要使传感器的布设能达到最佳，就要使TMAC矩阵不存在线性相关同时也要保证它的非对角元的值小。为了判别传感器布设是否达到最佳，计算中需要让有限元法得到的结构振型与动力测试中识别出的结构振型相匹配。因此，获得的结构各阶振型首先能够彼此独立，也即由传感器布设位置所定义的结构各阶振型必须线性独立。这就要求各振型向量间的夹角尽可能大，或者各传感器振型向量间的点积尽可能小。所以，计算中应逐步使TMAC矩阵的非对角元素在每次迭代中最小化。TMAC矩阵的非对角元素的值越小，每阶测试节点的振动模式独立性越好，则线性相关性越小，传感器的布局效果越好;相反，传感器布局效果越差。因此，可以将TMAC非对角元素值f的最小值作为三维传感器的优化目标，为了测量TMAC矩阵的非对角元素的最小值fmin，本文选择非对角元素的均方根作为优化目标函数，即：

(6)

式中：k是TMAC矩阵的维数。

适应度函数反映了TMAC矩阵外部元素的变化，适应度函数值越小越好。

2 基于IQPSO的桥梁传感器优化布置

2.1 量子粒子群算法

为了使粒子的搜索能力增强，Sun等[12]把量子进化算法引入到粒子群算法，使算法性能大大提高并在此基础上创立了QPSO算法。该算法认为粒子具有量子行为，并且不能同时准确地确定粒子的位置和速度，波函数可用于表示中等粒子的状态，粒子的位置方程可以通过薛定谔方程计算与蒙特卡罗方式计算出。在进化过程中，各粒子在最优位置中心的DELTA势阱中移动，通过跟踪个体极值和全局极值不断更新位置，能够以一定的概率分布于搜索空间任意位置。个体X的进化公式如下：

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

2.2 初始种群质量优化

混沌现象在非线性优化系统中较常见。它们可以在不重复的情况下通过特定区域所有状态，并具有良好的遍历性、随机性和规律性。在搜索时，可以使用混沌现象来避免陷入局部最优。Logistic映射用于将混沌与量子粒子群优化相结合，以优化初始种群的质量并提高算法的性能，即：

Zi+1=μZi(1-Zi)i=0,1,…

(12)

式中：Zi为第k次迭代时Z的取值，Zi∈(0,1)；参数μ∈(2,4]，当μ=4时将陷入混沌状态之中。本文中采用混沌系统来初始化粒子的位置，选取参数μ=4生成混沌序列，然后通过式(13)将混沌变量转化为决策变量。

Yi=Ymin+Zi(Ymax-Ymin)

(13)

式中：Ymax、Ymin分别为搜索空间的上下界，Yi即为优化后的初始种群。采用混沌思想既不改变随机性，又可以提高种群搜索的遍历性的同时在一定程度上也提高了种群的多样性[17]。

2.3 扩大粒子搜索空间

在QPSO中，因为粒子迭代次数的增加，相似的粒子在很大程度上使搜索空间减小，粒子会在小范围内达到最优状态，这样粒子会很难跳出种群。文献[18]首次把Levy分布引入PSO的个体最优化，大大增加了搜索效率。基于Levy飞行独特的随机游走的策略，QPSO的个体进化公式修改如下：

(14)

式中：L(λ)为Levy分布的程序近似公式[19]。

L(λ)=u/|v|1/β

(15)

式中：参数β取1.5；u、v为正态分布随机数。

(16)

式(15)中对应的标准差满足：

(17)

2.4 避免粒子多样性下降

在初始搜索阶段，因为粒子群要进行初始化，QPSO具有很高相对性，但是由于粒子的逐渐收敛，种群的多样性也会逐渐下降。柯西分布能在两翼将概率提高，很容易产生一个距原点很远的数同时也会存在更大的分布，所以利用柯西变异可以很快地跳出局部最优区域[20]。因此，将柯西突变引子加入到全局最优解上，公式如下：

Gk=Gk+cauchyRND( )

(18)

式中：cauchyRND( )为MATLAB中的函数，能够生成两个柯西随机数作为突变因子。柯西变异因子的引入，总能使全局最优解发生突变，保持粒子的活性，帮助粒子逃离局部最优位置，从而有效地避免过早收敛的产生。

3 工程算例

3.1 计算模型

桥梁荷载可沿桥的纵向主梁传递到地面支座上，次梁横向每隔0.914 4 m提供横向稳定性。基准模型梁截面都为工字型钢，而其型号为S3×5.7[21]。本文采用该模型验证所提出的传感器优化布置算法，首先使用SAP2000建模，然后将有限元模型的数据导入MATLAB中进行分析。模型中节点总数为177个和独立单元为182个， 3个自由度构成一个节点，分别对应x、y和z三个方向。通过模态分析可得到结构的前10阶模态振型矩阵Φ。

3.2 传感器优化配置

图1中模型的节点有177个，除去桥梁面板下无平动自由度的6个节点，因此结构应考虑的节点数n=171。算法流程如图2所示。

图1 基准桥梁模型的有限元模型

图2 基于IQPSO算法的传感器优化布置流程

3.3 选择传感器布设数目

如图3所示，MAC矩阵中最大的非对角元素在10到30个自由度之间迅速减小，其值在30到80的范围内相对稳定，并且自由度在80之后缓慢增加。当自由度为40时最大的非对角线元素是最小的，为0.029 5时，满足配置要求。由于本文使用三维传感器，每个传感器可以测量三个自由度的信息。因此，为了最小化MAC矩阵的最大非对角线元素，传感器的数量被选择为nsp=13。

图3 MAC矩阵的最大非对角线元变化曲线

3.4 结果对比

为了比较基于IQPSO、QPSO和PSO的优劣，三种算法的一些主要操作和参数应保持相同：(1) 使用相同的编码方法; (2) 选择相同的适应度函数; (3) 采用相同种群数量参数。为了保证算法的可靠性，三种方法在同一台计算机上连续计算10次。三种算法的平均最佳适应度值曲线如图4所示。表1给出了三种算法中传感器布置方案的最优结果。

图4 收敛曲线对比

表1 三种算法优化结果的比较

可以看出，这三种算法具有大致相同的收敛趋势，QPSO结果优于PSO，IQPSO则在其基础上实现了进一步优化。此外，由表1可知，相比PSO，IQPSO节省了一半以上的时间，在QPSO的基础上进一步提高了IQPSO的收敛速度，从而大大提高了优化效率。主要原因是本文提出的IQPSO进一步避免了PSO和QPSO算法的局部收敛，大大降低了优化算法的计算复杂度，提高了执行效率，节省了计算时间。

4 结 语

为了优化桥梁传感器的布局，系统需要用最少量的传感器测量最全面的结构信息。为了解决现有优化准则不适用于三维传感器的问题，将三维传感器的三个自由度组合成一个独立的单元，构建三维模态置信准则。本文提出一种基于改进量子粒子群优化算法的传感器布局优化方法，以解决现有优化算法容易在局部达到最优和效率低的问题。桥梁参考模型用作数值计算和验证实验的示例。结果表明，使用三维传感器可以大大减少传感器的数量;在解决桥梁传感器优化布局问题时，本文所提出的IQPSO比传统的PSO和QPSO具有更快的收敛性和更好的搜索能力。