整体观视野下分数（百分数）解决问题的教学实践

潘海军 孙庆辉

摘 要：分数、百分数解决问题是小学数学解决问题的重要组成部分，也是学生学习的重点和难点内容。笔者基于整体观视野下对分数（百分数）解决问题的教学思考，提出教学策略：整体研读教材，读懂数学本质;整体把握教学，认知螺旋上升;整体设计练习，全面提升能力;整体渗透策略，促进潜力发挥。

关键词：整体观;分数;百分数;解决问题;数学教学

分数、百分数解决问题的数与量都比较抽象，数量关系复杂且变化多端，对学生的学习能力提出了更高的要求，导致学生解题时常常无从下手。具体表现有：找不准表示单位“1”的量;分辨不清乘除法;把握不准量率对应关系。笔者经过探索和思考，就分数（百分数）解决问题的教学谈一些想法。

一、整体研读教材，读懂数学本质

教材是教师实施教学的主要依据，因此在实施教学之前，教师必须对数学教材进行整体解读和把握，力图将原本孤立、分散的知识还原成完整的知识体系。

（一）通读教材，寻找内在联系

教师在通读教材的过程中，能够找寻到新知识的土壤，将新知识的学习建立在已有认知基础上开展学习，就能让知识自然生长。

如分数（百分数）问题和倍问题是相通的，都是两个数量的倍数比较，如果满“1倍”，就说一个数是另一个数的“几倍”，如果不满“1倍”，就说一个数是另一个数的“几分之几（百分之几）”。同一个问题情境，既可用“倍”描述，也可用“分数（百分数）”描述，关键是以哪个量为标准量描述另一个量。除了“倍”“分数（百分数）”之外，“比”也描述该情境，说成“□与△的比是1∶2”。因此，在小学范围内，“倍”“分数（百分数）”“比”都是研究两个量的倍数关系。

（二）研读教材，有序建构关系

通过通读教材，分数（百分数）问题与倍问题本质上是自成一体又相互交融，但是受教材编排的影响，这些知识被分散在各册中学习。因此，教师在研读教材时，要从整体结构出发，将各知识点放置在整体结构中思考，分析其所处的地位及作用，理清它们之间的关系，为学生后继知识的学习打好坚实的基础。

1. 倍：种子课

两个量的比较关系有“相差关系”和“倍数关系”两种。“相差关系”从一年级开始学习，它是基于量的比较，也就是“一个数比另一个数多（少）多少”。比较时将两个量的数量一一对应排列，没有对应的数量就是“相差数”，如下图中的“木头的数量比小猪的数量多1”，也可说“小猪的数量比木头的数量少1”，数学模型是“较大数-较小数=相差数”。

“倍数关系”从三年级开始学习，它是基于“率”的比较，也就是“一个量里包含几个另一个量”。比较时，先把2个胡萝卜确定为“标准量”，即为1份，红萝卜有3个“标准量”，即为3份，教材还特地用虚线将每份框起来。“3倍”的数学模型是“比较量÷标准量=倍数”。因此，“倍”的学习，一方面要让学生能正确辨析“相差关系”和“倍数关系”两种数学模型;另一方面，它对日后学习分数、百分数、比起着举足轻重的作用。

2. 分数：核心课

分数的重要性在于既继承倍的数学本质，又是学习百分数和比的基础。因此，分数可以说起到承上启下的作用，它的教学成败将直接影响学生能不能构建出“倍数关系”的整个知识系统结构。如上文所说，分数（百分数）是两个量的“非整数倍”，教学实践表明此类判断题的错误率居高不下，原因是有些學生会不自觉地将“率”误当成“量”来思考。因此，率的教学多安排“对比题组”让学生感悟，以此加深印象就显得尤为重要。

3. 百分数：综合课

百分数是分数的一种特殊表示形式，因此百分数的分率句可以转化成分数来思考。如“甲比乙多80%”可以理解成“甲比乙多[45]”，可大大减轻学生的理解难度。百分数的解决问题想比分数来说，更为复杂和综合，因为百分数问题与生活有着密切的联系，如求“百分率”，有命中率、合格率、成活率等，需要学生结合生活情境思考。

教学实践表明这类问题正确率整体不高，因此，在学习“分数乘除”单元时，对“比”字句的分率句适当渗透，可大大减轻该内容的认知难度。

（三）细读教材，梳理三大类型

分数（百分数）解决问题难，其中一个因素在于它的题型变化多端，而且数量关系复杂，其实认真细读教材，不管题型如何变化，总结起来就三个“基本类型”。①一个数是另一个数的几分之几（百分之几）。②求一个数的几分之几（百分之几）是多少。③已知一个数的几分之几（百分之几）是多少，求这个数。

在此基础上，拓展出“比”字句的三个“拓展类型”。①一个数比另一数多（少）几分之几（百分之几）。②求一个数比另一个数多（少）几分之几（百分之几）是多少。③已知一个数比比另一个数多（少）几分之几是多少，求这个数。

拓展出的三个类型都可转化回三个“基本类型”，因此，教学时要引导学生将“比”字句和“是”字句进行沟通和联系，以减少学生对题目类型的识记量。

二、整体把握教学，认知螺旋上升

不管是倍数问题，还是分数（百分数）问题，它们解决问题的思维模型都是相同的——都是对关键分率句展开分析，确定单位“1”和与单位“1”相比较的量;再画图分析，列出数量关系式;最后列式计算。

（一）构建统一分析框架

1. 找：分率句

根据分数（百分数）解决问题的结构特征，找到题目中的分率句并对其分析，引导学生弄清“谁和谁比”，最关键的是确定谁是单位“1”，与其比较的量称为比较量。找单位“1”，有经验的教师会引导学生用“位置法”来找，如“的”的前面，“是”“相当于”“比”字的后面。

但是“位置法”存在不足，不能对没有关键词的省略句起作用，也不能对“的”和“相当于”同时出现的“分率句”起作用。因此，找单位“1”的最佳做法是引导学生读懂“分率”在情境中的具体意义。对于没有关键词的省略句，可采用“扩句”法，扩句后的“分率句”两个量的比较关系就更清晰。

2. 画：线段图

线段图是解分数（百分数）问题时，分析数量关系重要的辅助方法之一。它可以排除一些与数量关系无关的情节内容，使分数（百分数）解决问题中的数量关系具体化、明朗化。特别是一些复杂数量关系的问题情境，它的作用显得尤为重要。如：

学校器乐组有女生16人，比男生的2/3多4人，器乐组有男生多少人？

笔者在教学中经常发现学生会出现这两种错误：一种是“16÷2/3+4”，一种是“（16+4）÷2/3”。问题原因在于学生弄不清楚到底是先运算2/3还是4人。如果用线段图进行分析，一切就能迎刃而解。由线段图分析可以看出，2/3对应的量不是16人，也不是（16+4）人，而是（16-4）人，男生人数应该是“（16-4）÷2/3=18”人。

3. 统：乘除运算

分数（百分数）的乘法和除法运算，它们两者有着紧密的内在联系，即数量关系式相同，教材都是列成乘法数量关系式：单位“1”×分率=比较量，区别在于单位“1”是已知还是未知，这样就使分数（百分数）乘、除问题统一在统一思路上，便于学生理解和掌握。如：

（1）学校体育器材室里有16个排球，篮球的个数是排球个数的4/5，篮球有多少个？

（2）学校体育器材室里有40个篮球，篮球的个数是排球个数的4/5，排球有多少个？

以上两题分别对应分数乘、除问题，教师在分析时，引导学生先不要关注单位“1”已知还是未知，而是先将分率句列成“排球个数×[45]=篮球个数”的乘法数量关系式，基于数量关系式去找题目中的信息，哪个已知，哪个未知，分析完成后让学生说说它们分别用什么方法运算。这样的对比练习后，学生对分数乘（除）解决问题会有更深刻的认识。

（二）整体辨析量率关系

分数（百分数）解决问题之所以难，主要难在分数存在“量”和“率”，只有让学生充分理解，才能化难为易。

1. 量率辨析

在分数解决问题中，“量”与“率”是相对而言的。如2/5，在后面加上单位，表示的是一个具体数值的数量，量是确定不变。而没有单位的2/5，它则表示的是两个数量的分率，在分数、百分数和比例的解决问题情境中，它不像“量”能够独自存在，更多体现的是比较量与标准量进行比较后两者之间的比率。率表示两者的比率关系，但不能确定两个相互比较量的具体数值。

2. 量率对应

分数解决问题中的“量”和“率”是对应的，每一个具体“数量”都有对应的“率”。同样，每一个“率”也都有其对应的具体“数量”。也就是说在分数解决问题中任何一个“物”都有“量”和“率”的双重身份。明确理解“量”与“率”的对应，并能准确找出对应的“量”与“率”，是提高分数解决问题的关键能力。

3. 量率运算

“量”和“率”是同一物在不同范畴里的两个身份。在实际运算时，“量”与“量”或“率”与“率”只运行一级运算，也就是相加减;而“量”与“率”则运行二级运算，也就是相乘除。这里还需要学生注意的是，不管是“率”与“率”的一级运算，还是“量”与“率”的二级运算，都必须基于相同的标准量。

三、整体设计练习，全面提升能力

练习是数学课程的重要组成部分，是使学生將所学知识转化为技能，并使技能转为技巧的重要环节。在设计练习时，除紧扣教学目标之外，对于像分数（百分数）解决问题这类同数学本质的内容，特别要注意整体思考，力求各个练习相互联系，构成一个完整的练习结构。

（一）基础练习

1. 意义理解。分数既可以表示率，也可以表示量，学生在练习中经常会混淆，可以采取设计横向对比练习，加强沟通联系。

（1）一条长8米的绳子，平均截成4段，每段长（ ）米，每段长是全长的（ ）。

（2）一条长6米的绳子，平均截成4段，每段长（ ）米，每段长是全长的（ ）。

（3）一条长3米的绳子，平均截成4段，每段长（ ）米，每段长是全长的（ ）。

三道题的情境相同，绳子的米数不同，每段的长度就不同，平均分的段数相同，每段长与全长的关系就相同。

2. 找单位“1”。找单位“1”有“位置法”“意义法”“扩句法”等，教师可设计题组练习，让学生在变化的情境中熟练掌握找单位“1”的方法。

（1）鸡的只数是鸭的7/8。

（2）一袋面粉，吃了2/7。

（3）冰化成水，体积减小1/11。

（4）黑兔的3/5相当于白兔的数量。

（二）变式练习

变式练习指的是变换问题中的数学信息，强化学生数学思维能力的训练，实现对数学知识的理解，掌握数学的本质属性。

1. 条件变式。如：学校体育器材室里有40个篮球，_________，排球有多少个？

（1）篮球的个数是排球的4/5

（2）排球的个数是篮球的4/5

（3）排球的个数比篮球多4/5

（4）篮球的个数比排球少4/5

2. 问题变式。如：小华有50个练习本，小明有30个练习本，____________

（1）小华比小明多多少个练习本？

（2）小明的练习本是小华的几分之几？

（3）小明的练习本比小华少几分之几？

（4）小华的练习本比小明多几分之几？

变式训练有助于学生从不同角度理解分数解决问题的数量关系和题目结构。

（三）编题练习

1. 根据条件补问题。引导学生根据题中的数量关系，从不同角度提出问题，培养学会思维的灵活性。如：

甲仓库存粮120吨，比乙仓库存粮少1/3。

学生可能编出以下问题，如“乙仓库有存粮多少吨？”“甲仓库比乙仓库的存粮少多少吨？”“甲乙两仓库一共有多少吨存粮？”等。

2. 根据算式编题目。看式编题指的是根据给出的算式编出符合算式的题目。如：

甲数是20，乙数是15，根据“（20-15）÷20”算式编一道题目。

要想正确编题，学生就需要理解“（20-15）”“20”“（20-15）÷20”中“÷”表示什么意思。只有理解算式中每个量的具体意思，学生才能想到这道算式表达的是“甲数比乙数少几分之几”。像这类编题练习，需要学生的联想能力，需要学生能读懂算式表示的具体意思，才能正确编对题目。

四、整体渗透策略

《数学课程标准》在课程目标中明确指出：“数学教学要形成解决问题的一些基本策略，体验解决问题的多样性，发展实践能力和创新精神。”因此，学生除了掌握基本的思考方法之外，还要掌握一些特殊的思考方法，在某种程度上还能促进学生潜在能力的充分发挥。

1. 以静制动，抓不变量。有些题目中数量关系变化繁多，似乎难辨清其内在联系。如果我们仔细分析，变来变去，总有一个量是不变的。这就是我们所说的“不变量”，以静制动，问题便可迎刃而解。

2. 重建关系，统一单位“1”。有些题目中有多个分率句，但每个分率句的单位“1”都不相同，使各种数量之间的关系变得错综复杂，增加了解题难度。如果能统一单位“1”，可以使数量关系变得稳定。

3. 转换视角，多角度理解。分数、比、百分数问题本质上是倍数问题，它们都是研究数量之间的关系。因此，教学时，教师应引导学生用“变化”的视角来理解题意，帮助学生将零散的知识整合起来，形成完整的知识体系。

参考文献

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[2]陈日铭.怎样统一单位“1”[J].读写算（小学高年级版），2014（05）.

[3]刘笑.分数应用题常见错例剖析[J].读写算（小学高年级版），2017（06）.

[4]郝燕.如何让小学生掌握解答分数和百分数应用题的基本模式和方法[J].数学教学通讯，2016（34）.

（浙江省温岭市泽国镇第二小学，温岭317500）