导数压轴题中隐零点问题探究

谢振宗

(河北师范大学附属中学 050011)

导数压轴题集数学知识、能力和方法于一身，是考查学生的关键能力和数学素养的综合性试题.其中导数中的隐零点问题更是集应用性与创新性于一体，是高考中较难的问题.下面对一道试题的不同解法进行分析，从中提出新问题、探求新规律、归纳新结论，并将其中周密论证、积极探索的过程与大家共赏.

一、试题及解答再现.

题目已知函数f(x)=x(ex+1-a) .

(1)若a=2，求f(x)在区间[0，+∞)上的最小值；

(2)若f(x)-lnx≥1，求实数a的取值范围.

解析(1)若a=2，则f(x)=xex-x.

所以f′(x)=(x+1)ex-1.

当x≥0时，x+1≥1,ex≥1 ，故(x+1)ex≥1，

即f′(x)=(x+1)ex-1≥0.

故f(x)在区间[0，+∞)内单调递增.

故f(x)min=f(0)=0.

(2)由题意可知f(x)-lnx-1≥0，

即xex+(1-a)x-lnx-1≥0在区间(0，+∞)内恒成立.

令h(x)=ex-x-1，则h′(x)=ex-1.

当x∈(-∞,0) 时，h′(x)<0 ，h(x) 单调递减；

当x∈(0，+∞) 时，h′(x)>0 ，h(x) 单调递增,

所以h(x)≥h(0)=0 ，即ex≥x+1 .

又xex=elnx+x，所以xex≥lnx+x+1.

当φ(x)=lnx+x=0 时等号成立.

所以a≤2，即实数a的取值范围为(-∞,2].

二、第(2)问解法再探究，采用分离参数法

当x∈(1,+∞)时，g′(x)>0 ，g(x) 在(1，+∞)上单调递增；

①

综上可知,当x∈(0,x0)时，g′(x)<0；

当x∈(x0，+∞)时，g′(x)>0.

故当x=x0时，

②

由上面解法可知,若能推出g(x0)=2问题迎刃而解.

三、提出问题，借助信息技术验证真假.

图1

问题转化为：

③

本人对于③的推导难以进行下去，百思不得其解，甚至怀疑自己的运算能力是否有误，进而用几何画板作出g(x)图象进行观察取证以辨真伪,如图1.

从图象观察，g(x)的最小值的确存在且为2，但是为什么求不出来呢？

四、拨开迷雾，隐零点问题得以解决

1.采用分析法

不妨从另一个角度观察③式，在两个等式成立的条件下将等式进行变形，以便寻求其证明方法.

问题终于得到解决.真是山穷水复疑无路，柳暗花明又一村.

图2

从它们的图象也可以得到结论的正确性，如图2.

2.采用直接法

五、隐零点问题涉及常用结论

图3

图中A，B，C三点的横坐标x0是一样的，分别对应下面三个等式：

从上面的推证我们再次体会数学之美，代数美是一种简洁之美，图象美是一种直观之美，而数形结合的美又是一种和谐之美.这些数学之美在我们研究、发现的过程中更是一种心灵的升华之美.