化归思想在小学数学中的体现与应用

丁芸婷

【摘要】化归思想方法是小学数学基本思想方法之一，在教学中渗透化归思想，有利于培养学生思维的深刻性、灵活性和独创性.本文首先总结概括了到目前为止数学家和学者对化归思想的研究以及所做出的贡献，明确自己的起点.其次，从苏教版小学数学的教材入手，具体分析了化归思想在小学数学中的体现.然后通过对例题的分析得出在解题中应用化归思想的策略，以帮助小学生更好地解题.最后，结合小学生在解题中常见的错误，提出几点需要特别注意的问题.

【关键词】化归思想;小学数学;解题策略

一、化归思想的理论概述

我国学术界关于数学化归思想的研究成果屡见不鲜，大致可分为如下几个方面：

（1）化归思想的基本含义.我国许多学者通过研究对化归思想给出了共同的定义，所谓化归，可以理解为转化和归类，就是指经过一系列的转化过程，把眼前尚未得到解决的问题归结到一类比较规范的或者以前解决过的问题中，以求得解决.我国徐利治提出的RMI原理，全称为“关系映射反演”方法，也从一定程度上体现了化归思想的本质.[1]

（2）化归思想在解题中的应用.仲东海于2013年在《化归和转化思想给我们教学和学习中的启示》中提供了应用化归思想解题的相关策略：正面转化为反面、问题已知和未知的转化、一般和特殊的转化、代数与几何的转化以及复杂与简单问题的转化等.除此之外，他还就实数的运算、解方程与方程组、求多边形的内角和等方面的内容，举例说明了初中数学教材中渗透的化归思想.[3]

（3）化归思想的应用原则、模式及主要方法.吴维峰、陈益民、张耀明等人主要探讨了化归的方法及其思维模式，指出化归对象、化归目标和化归途径是化归思想方法所包含的三个要素.结合不同的题型分析得出三种具体方法：特殊化法、分离基本图形法、变换法等，明确了化归时应遵循的基本原则及一般的思考方式.

二、小学数学化归思想在解题中的应用意义

（一）在解题中应用化归的目标

1.在解题中应用化归的目标是去情境

“问题和与之相对应的解才是数学最重要的组成部分.”美国著名数学家哈尔莫斯是这样认为的.[7]让小学生最头疼的便是具有迷惑性情境的各种类型的应用题了，题目的本质通常都会被我们熟悉的实际生活场景所包围，使小学生在解应用题时很难抓住解题的关键，因此，才要应用化归思想，将那些外在的糖衣炮弹去掉，使其露出内在的真实面貌，再将其转化为已经解决过的数学问题.

2.在解题中应用化归的目标是符号化

“符号意识”是2011年版《义务教育小学数学课程标准》中强调的十大核心概念之一.在小学数学的解题过程中，学生应用化归思想通常是为了将题目中一些复杂的数量关系转化为简单的符号表达式，例如，在列方程解应用题的时候，首先，最关键的就是将题目中的未知量看作已知量，其次，要找出它们之间的等量关系，最后，列出方程并解方程，求出未知数.

3.在解题中应用化归的目标是结构性

美国心理学家布鲁纳指出：了解学科内部的基本结构可以使学生更容易接受和理解学科知识，从中获得的基本概念、原理也会促使学生在以后遇到类似情境时能够灵活地迁移应用.[5]现行的小学数学不仅仅考查学生的计算能力，还要求学生做到融会贯通，把握各个知识点之间的内在逻辑关系，逐渐将自己头脑中的小學数学知识体系补充完整.

（二）在解题中应用化归的意义

1.有利于提高学生的学习效率

大量的练习会使学生失去对数学学习的兴趣和热情，同样也易使学生机械地形成思维定式，不懂得随机应变.相反地，在学生学会在解题中应用化归思想后，就能够将涉及同一个知识点的题目都转化为同一类别的题型，达到“做一道题目，会一类题目”的效果，这样一来可以大大提高学生的学习效率，减轻他们的学习负担，真正做到“会学，乐学”.

2.有利于锻炼学生的思维能力

数学思想和方法是发展学生思维能力的关键，数学思想是人们对数学知识和方法进行更深层次的归纳和提炼所得到的精华所在.[6]有的小学生没有掌握基本的数学思想方法，单纯地依靠死记硬背，考试时遇到基础题还能勉强应付，但遇到能力题和拓展题时就一筹莫展了.如果学生掌握了化归思想的实质，具备了独立思考问题的能力，那么在遇到难题时他们会尝试将其转化为已经学过的数学问题，最终问题就会迎刃而解了.

3.有利于加强新旧知识间的联系

学习迁移是指以前学习过的旧知识对新知识的学习所产生的影响，同时包括之后学习的内容对先前的学习产生影响.[2]数学化归思想的核心之一是“转化”，在未知和已知之间转化，在新知识和旧知识之间转化.这样熟练转化的前提是学生必须牢牢把握旧知识的本质特征，在新旧知识之间架起一座数学的桥梁，从而很好地应用数学化归思想.

三、小学数学化归思想在解题中的应用策略

在解题中应用化归思想的策略通常来讲有许多种类，例如，抽象转化为具体、新知转化为旧知、复杂转化为简单等，下面我就这几种策略，结合相关例题进行详细的阐述.

1.抽象转化为具体

小学生面对数学问题中的数量关系时，往往会分不清两者之间的相互关系，变得束手无策.此时，如果能将抽象的数量关系转化为直观的线段图或者示意图，就可以帮助学生很快地厘清题目中所给的条件，使其一目了然.

例题：小花的老师比她大18岁，3年后，老师的年龄是小花年龄的3倍，那么3年后小花是几岁？老师又是几岁呢？

解析：根据题目中“老师的年龄是小花年龄的3倍”这一已知条件，学生可以尝试画出线段图.

学生凭借自己的生活经验，能够理解不论老师和小花的年龄如何变化，他们的年龄差始终是不变的，也就是说，3年后老师仍然比小花大18岁.观察画出的线段图，学生不难发现，18岁对应的是小花年龄的两倍，从而分别求出小花和老师的年龄.

2.新知转化为旧知

小学生在解题过程中可能会遇到还未学过的知识，在这种情况下应用化归思想，将其转化为已经学过的知识，不仅可以建立新旧知之间的联系，形成完整的数学知识体系，还能够达到“把书越学越薄”的最佳效果.

3.复杂转化为简单

当面对比较复杂的问题时，学生往往会产生“畏难”心理，这非常不利于学生解题，学生应学会运用化归思想，先将问题转化成几个较为简单、自己力所能及的小问题，再逐个击破，最终攻克难题.

例题：甲、乙、丙是班上公认的“数学解题小能手”，现在只能推选一名同学代表他们班去参加数学竞赛，下面的表格是他们三名同学本学期五次正规考试的成绩：

甲、乙、丙三人都认为自己的成绩比其他两人优异.如果让你来做决定，你会选择他们中的哪一位？并说出你的理由.

解析：分别计算出他们三人成绩的平均数、中位数和众数，比较得出.

甲的平均分是89.4分（最高），乙的中位数是98分（最高），丙的众数是99分（最高）.说明：甲和丙的成绩在不断进步，而乙的成绩有比较大的波动.

这道题学生可以应用化归思想，将其转化为数学中的统计问题，并能够利用平均数、中位数、众数这三种统计概念来进行比较，判断出每名学生成绩的变化趋势，以此确定最终人选，这样才能真正做到有理有据.原本复杂、烦琐的数据分析工作，如果能够根据它们所代表的统计意义来进行比较，那么就变得简单了.

四、应用化归思想需要注意的问题

（一）注意明确化归对象

应用化归思想的第一步就是明确化归对象，人们常说“良好的开端是成功的一半”，只有找准了化归对象，才能正确地运用化归思想这把“利剑”，为自己的解题服务.

例题：小红她们班的18名同学相约一起去游乐园玩，最后临走时要拍照留念.小芳和小红是一对孪生姐妹，她们俩要站在一起，并且小芳站在小英的右边.那么这18名学生站成一排有多少种不同的站法呢？

解：18-2+1=17（种）

应用化归思想解决该问题，首先应明确题目中要求的是“这18名学生在同一排有多少种不同的站法”，这就是化归的对象，联系我们已经学过的“找规律”中相关的知识，将同一排不同的站法转化为不同和的个数，总结归纳得出：不同和的个数=总个数-每次框出的个数+1.

（二）注意探索正确的化归途径

小学生在应用化归思想的过程中，需要寻找正确的化归途径，并不是单纯地“依葫芦画瓢”，必须把握数学问题的本质，切记不能被表面的形式所迷惑，注意化归的等价性.

例题：计算 1.26+4.3=

错误解法： 正确解法：

小学生根据之前学习过的整数加减法进行小数的加减法时，理所当然地把小数的最末位对齐，进行计算.这种错误的出现正是因为小学生没有找到正确的化归途径，究其根本，在于没有明晰整数加减法的算理：将相同数位上的数字对齐，对应到小数加减法中，列竖式时应该把小数点对齐.

（三）注意化归的多样性

小学生在应用化归思想时，由于出發点不同，可能会产生多种化归方法，这与现在小学数学教学所提倡的“一题多解”不谋而合，鼓励学生的创造性思维.

应用化归思想解决问题，以上几种转化方法各有优劣，学生可以衡量之后选择最佳的方法，有利于更快速、更准确地解题.

【参考文献】

[1]仇辉.谈化归思想方法[J].数学之友，2013（12）.

[2]沈涛.化归思想及解题策略[J].四川教育学院学报，2013（8）：19.

[3]仲东海.化归和转化思想给我们教学和学习中的启示[J].科教文汇，2013（11）：142-143.

[4]陈益民.数学中化归问题的教学和实践[J].浙江树人大学学报，2001（7）：2.

[5]朱成杰.数学思想方法教学研究导论[M].上海：文汇出版社，2001（21）.

[6]潘勇.数学化归思想方法及其教学探研[D].南京：南京师范大学硕士学位论文，2004（11）.

[7]李滢.数学归纳思想在各学段的特点和教学启示[D].南昌：江西师范大学，2013（6）.