例说用特殊化方法探求定值

李润林

【摘要】在某些几何图形中，有些点或直线（射线、线段）的位置是不断变化的，在这个变化过程中，有一些位置关系（如两直线的平行或垂直）或数量关系（如线段的长度、角的大小、弧的大小、线段的比等）却始终保持不变，这就是几何中的定值问题.

【关键词】特殊化方法;探求定值

图1例1 已知：如图1所示，在△ABC中，AB=AC，P是BC上任意一点，PR⊥AB，PQ⊥AC，BD⊥AC，垂足分别为R，Q，D.求证：PQ+PR为定值.

分析 因为P是BC上任意一点（即P是动点），所以当P运动到B的位置时，R和Q也随之分别运动到B和D的位置，此时PR=0，PQ=BD，由此猜想BD就是所要求的定值.

下面我们来证明这个猜想在一般情况下也是正确的.

分析 因为P是△ABC内任意一点（即P是动点），所以当P运动到△ABC的重心位置时（图7），由“等腰三角形顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合”及“角平分线上的点到已知角两边的距离相等”知PD=PE=PF=1[]3AD，于是我们猜想PD+PE+PF=AD=3[]2m就是所要求的定值.

分析 当正方形A1B1C1O绕点O旋转到特殊位置（图10）时，容易证明重叠部分是一个边长为1[]2的小正方形，其面积为1[]4，由此我们猜想图9中重叠部分四边形OEBF的面积等于1[]4就是所要求的定值.

下面我们来证明这个猜想在一般情况下也是正确的.

分析 由于点P是BC边上的一个动点，所以当点P运动到BC的中点位置（如图13）时，由AB=AC、“等腰三角形顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合”及“垂径定理”的推论知AD是⊙O的直径，且∠APB=90°.连接BD，则易证△APB∽△ABD，于是AP[]AB=AB[]AD，從而猜想AP·AD=AB2就是所要求的定值.

下面我们来证明这个猜想在一般情况下也是正确的.

综上所述，在求解几何定值问题时，确定定值等于多少是解决问题的关键，其一般方法是：通过分析特殊位置情况下的图形先猜想出定值，然后在一般的位置情况下证明猜想成立.也就是说，解决定值问题一般有如下两个步骤：

（1）在特殊位置下探求定值;

（2）在一般情况下证明结论.