计算数学方向课程教学的思考

郭培昌

【摘要】对于数学类专业本科学生，计算数学方向课程是必不可少的一个模块.该模块课程涉及数学理论和计算机科学知识，覆盖知识面广，对学生的综合能力要求高.本文以数值分析和微分方程数值解两门课程为例，针对计算数学学科的特点，介绍教学改革的心得.笔者主要采取引入应用案例、加强编程练习、分组合作、线上线下并重等方式，取得了不错的教学效果.

【关键词】应用案例;小组合作;线上教学;数值分析

计算数学作为数学的一个学科分支，是研究分析用计算机求解数学问题的数值计算方法及其理论的学科.该方向的课程，既有纯粹数学的高度抽象性和严密科学性，又有具体应用的广泛性和实际实验的技术性.计算数学模块课程不同于其他模块的数学课程，它有其自身学科特点，很有必要对该模块课程的本科教学进行研究和探索.

在信息科学与计算机技术飞速发展的今天，随着大数据和人工智能技术的飞速发展，现代科学的研究内容和方式发生了深刻的变化，数值计算方法内容越来越重要.算法设计及算法理论分析，正在向各行业各学科渗透交叉，涌现了众多新兴学科方向，如，计算物理、计算化学、金融科技、生物信息，甚至出现在人文社会科学领域，如，计算语言学、计算法学等.培养大学生的算法思维已成为高等教育的一个重要任务，在这样的大背景下，计算数学方向课程的学习，对于数学类专业的本科生，显得极其重要.

笔者认为，在计算数学模块课程的教学中，教师需要注意它的两个特点.第一，计算数学课程知识是“有用”的，它在各种实际问题中有广泛的应用.北京大学副校长张平文院士讲：“计算无边界，现在什么都可以做计算，而你不知不觉中就在做计算.”第二，计算数学方向课程知识有“交叉”和“跨领域”的特点.该模块课程涉及数学理论知识、计算机科学知识和实际应用问题的建模背景知识，覆盖知识面广.

对所有数学类专业本科学生，计算数学模块的课程都是必修的课程模块，其中包括数值分析和微分方程数值解等课程.本文将基于中国地质大学（北京）的本科教学实践，以数值分析和微分方程数值解两门课程为例，来介绍我们的教学改革探索实践和思考.

数值分析以数字计算机求解数学问题的理论和方法为研究对象.微分方程数值解通过数值计算方法，在计算机上对各种微分方程进行近似求解.众所周知，科学和工程中的大多数实际问题都归结为微分方程的定解问题，由于很难求得这些定解问题的解析解（在经典意义下甚至没有解），人们转向求解它们的数值近似解.我们通常先对问题的求解区域进行网格剖分，然后基于有限元法、有限差分法和有限体积法等数值方法，对原定解问题或其等价形式离散，并归结为一个线性代数方程组，最终在计算机上求得精确解在离散网格点上的近似值.求解过程涉及数值方法及其理论分析（稳定性、收敛性、误差估计）、计算机上的实现等一系列问题.同样是因为这些特点，在教学过程中，往往要求学生基础知识扎实，综合运用所学知识的能力較强，同时对教师的要求也相应提高.如何在有限的课时内尽可能地让学生对这两门学科产生学习兴趣，有比较全面基础的认识，甚至可以利用学科知识解决实际问题，是教学中的重点难点.经过实践，我们总结出以下几种方式：

一、重视应用案例的介绍

作为计算数学方向课程，数值分析和微分方程数值解在实际生产生活中有着广泛的应用.重视相关应用问题的背景知识介绍，适当渗透对科技前沿应用领域的介绍，加强与数学建模课程的联系，会事半功倍地提升学生的主观能动性.用数值计算方法能够解决的实际问题是海量的，那么如何从海量的实际应用问题中选择教学案例？课题组通过讨论思考，确定了案例选取的几个原则：趣味性、与课程内容联系的紧密性、知识的前沿性.

比如，在讲解最小二乘法时，教师给学生布置作业来预测大城市房价;在教学微分方程数值解课程时，教师可以介绍波音公司利用微分方程建模，采用数值模拟来进行风洞试验，有效降低研发成本及缩减研发周期.在金融方面，金融领域的相关数据计算，需要用到数值分析中的大量知识.

我们通过给学生介绍这些应用案例取得了实实在在的教学效果.一方面，学生看到了枯燥的理论定理、推导演算背后蕴含的有趣的应用，增加了知识的广度，学习热情空前高涨.另一方面，在介绍应用案例时，教师可以引导学生对学术研究深入思考，通过介绍一些前沿的论文，激发学生的学术热情，加强学生学习知识的深度.教学相长，教师也可以从学生年轻活跃的思维中获得看问题的另一种角度.教师通过鼓励同学上台分享自己对前沿学术或者涉及相关知识的论文的见解，可以培养学生学习的主观能动性，活跃课堂气氛.

二、布置相应的上机作业、增加上机操作练习时间

数值分析和微分方程数值解这两门课程，与计算机联系紧密.针对这一特点，增加上机操作这样的实践经历，可以让学生加深对知识的理解，切实体会书中各个方法的优缺点，培养学生的动手编程能力，同时提高学生的学习兴趣.数值实验的直观结果也可以大大增加学生学习的趣味性.比如，教学数值分析课程中非线性方程求根时，教师通过编程描点画图，可以在屏幕上观察到每一步迭代解与真实解的距离.此外，在上机操作课上，教师通过示范编程，并近距离观察指导学生，可以及时发现学生学习中的问题，督促学生改正.

以上方式不仅提高了学生的动手编程水平，更增加了学生利用课程知识、编程解决实际问题的信心和勇气.学生反馈说：“当我发现自己可以完全独立完成平时的编程作业后，我逐渐有了编程的自信心，敢于尝试完成大型的编程项目，比如完成数学建模竞赛题目的编程.”有时候，信心比黄金重要，看到学生反馈说自己更自信了，作为任课教师我感到非常的开心.另一方面，学生在编程时可以对算法的本身进行更充分透彻的了解.学生反馈说：“在程序反复报错与对错误的修正中，我加深了对算法相关数学原理的理解，明白了算法设计的精妙之处.”在调试程序的过程中，学生还养成了耐心和细心等良好品质.

三、以小组为单位，加强合作交流，鼓励共同进步

教师要布置一些以小组为单位完成的上机作业和习题作业，以小组为单位共同完成，让学生在课后有更多的交流讨论的机会.课下时间相较课上时间充裕且轻松，很多学生课上没完全搞懂的知识，通过同学们之间的相互学习、相互帮助，会茅塞顿开，疑惑全无.

分组学习并完成小组作业带来的好处是显而易见的.首先，一个人可能会有惰性，不愿意投入时间主动学习，不能够长期保持勤奋用功的状态，但是小组讨论能起到一个督促鞭策的作用.更重要的是，在解决具体题目搞懂具体知识方面，学生通过小组合作，能切实体验到合作共赢的好处.特别是计算数学课程的学习，涉及大量的计算机操作方面的系统结构和编程语法知识.计算机相关的编程语法知识是实践性获得的知识，就是说，知识本身并没有难度，但是需要你知道有这个知识.以小组为单位进行协作、交流，可以让学生学到更多知识，“三个臭皮匠，顶个诸葛亮”，小组合作能轻松解决之前个人单打独斗遇到的问题.更重要的是学生学习了如何与他人合作.

另外，分组学习帮助学生培养建立了团队合作精神.在分组学习中，学生可以有更多的机会沟通交流，在与人相处、人际交往方面有更多的进步.在和人交流的过程中，学生也锻炼了自己的语言总结和概况表达能力.这对于学生将来毕业后的职业生涯以及人生是大有裨益的.在走上工作岗位后的实际工程计算问题中，编程通常是一个较大的团队分工协作完成的.例如，百度的无人驾驶软件平台，涉及上千人协同编程.因此，建立良好的团队合作精神，掌握相应的原则技巧是很重要的.

四、提供线上资源，做好课下学习.

在课堂教学的同时，我们可以向学生推荐一些优质的、和本校教学任务相近或一致的课程教学视频，供学生在课下时间学习.结合我校学生实际，在我们的教学实践中，主要是充分利用“中国大学慕课”和“爱课程”等平台的优质课程资源，例如，慕课网站上东北大学的数值分析课程，“超星”平台上大连理工大学的偏微分方程数值解课程.

教师要注意挑选优质视频课.教师在挑选视频课程时，要考察摄制方面的一些技术指标.比如，视频中的音频和教师的课件板书需要足够清晰.笔者观察到，很多视频课不符合上述要求.还有很重要的一点，摄像机在课件和板书上面停留的时间最好占整个视频课的70%以上.这是由数学类课程的特点所决定的.例如，微分方程数值解的课程涉及很多的方程式推导演算，部分视频课的授课教师所录视频课程，摄像机一直对着教师而不是课件，学生在听教师讲方程式的时候，屏幕上出现的是教师而不是方程式.这样的视频课效果是不好的.所以，我们在筛选视频的时候要注意这一点，在录制技术方面要过关.

此外，授人以鱼不如授人以渔，打鱼的技术比鱼本身更重要.笔者的感悟是，将学生指引到鱼群数量多的区域，也是重要的.不论渔夫的打鱼水平高低，如果在鱼群数量多的区域，随便一网撒下去，就能捕获到很多鱼.同样的道理适用于学生学习.在提供给学生足量优质的学习资源后，学生收获更多知识的可能性会大大增加.因此，在利用优质慕课资源进行线上线下混合教学时，任课教师要注意给学生提供足够的优质课程资料，包括慕课资源，从而获得更好的教学质量.

综上所述，教学改革是一项长期工作，需要不断持续探索实践和思考.路漫漫其修远兮，吾將上下而求索.在今后，我们将继续探索计算数学方向课程的教学方式，使算法理论更好地融入实际应用，进一步增加学生的学习兴趣，提升学生学习的主观能动性.

未来我们将深入探索如何培养优秀学生.在拔尖人才培养方面，我们将借鉴兄弟院校优秀经验，同时结合我校自身特点，计划开展分层培养，针对学优生，实施拔尖学生培养计划.具体措施包括：为每个入选拔尖计划的学优生配备课程相关的学业导师，将学优生引入科研前沿领域;给学优生提供更充足的参考书、教学讲义、计算机实验设备等资源;积极筹措项目经费，力争让每一个在读本科生有至少一次参加学术会议的机会等.

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