在操作延展性练习中提升学生的学习力

顾丽英

[摘 要]在“数学现象—数学心象—数学抽象—操作阶段”模式（简称为“三象一作”）的基础上，着重讨论了在操作阶段的形象思维与逻辑思维交互作用的延展性练习教学，以提升学生的合情推理能力与逻辑推理能力交融的综合思维能力，由此提升学生的学习力。

[关键词]操作;延展性练习;学习力

[中图分类号] G623.5[文献标识码] A[文章编号] 1007-9068（2021）11-0078-02

《论一种缘自认知心理学及教育学研究的数学认知过程》一文中提出了一种全新的教学认知过程：“三象一作”模式，即数学现象、数学心象、数学抽象、操作阶段。这个模式指出：人们想获得高度总结性的科学知识，一般来说总是要经历数学现象→数学心象→数学抽象这样的认知过程，但认知过程中还包含一个重要的阶段，即操作阶段。我借鉴延展性教学的有关理论与实践，进行了操作延展性练习教学的研究活动，着重在“三象一作”的“一作”中展开，使形象思维与逻辑思维交互应用发展数学新知识。把语言传递、直接感知、实际训练、引导探究、活动欣赏等几种常用的教学方法融为一体，提升学生的学习力。

一、形象思维与逻辑思维交互作用发展数学新知识的延展性练习教学

所谓延展性数学教学，就是指在数学教学过程中进行延伸与拓展的教学。推广、扩充或迁移数学知识，培养和发展学生的创造性思维，提升学生的学习力，让学生获得广阔的思维空间，找到新的方法与观点，更好地解决数学问题，发展数学新知识，提升学习力。

在操作阶段中，聚焦学生在推理中发展新数学知识的抽象能力、内涵品质提升的延展性练习教学，其特点主要有三个：一是有基础点;二是有触发点;三是有延展点。这里所说的延展性练习是通过两种推理互补应用的延展性练习教学。

二、教例及剖析

1.操作数轴的延展性练习，让学生在两种推理互补应用中获得对小数概念的新认识，提升学习力。

在“认识小数”一课新授环节中，我将数轴作为教学小数的重要工具，数轴的出现不仅可以让学生对小数意义的认识更加深刻，而且可以使学生逐步感悟小数的特征，从而领略小数知识的内涵与外延。教学时可以先让学生运用已知的小数概念在数轴上细分，对具体的小数的形成深刻理解，再通过三个递进层次的推理想象让学生感受小数的无穷性，以及去体会最小或最大的小数渐变并接近某一个极限的知识。

首先选择一个特定的区间，也是最简单的一个区间[0，1]。学生对小数知识有了基础认识，就可以根据小数的概念在数轴上把0和1之间的线段平均分成10份，找到0.1的位置;再把0和0.1之间的线段平均分成10份，找到0.01的位置。以此类推，通过不同小数位置的对比，让学生清晰地看到0.1、0.01、0.001、0.0001中最接近0的小数是0.0001;如果把0与0.0001之间的线段再平均分成10份，还可以找出比0.0001更小的小数——0.00001;在0和0.00001之间，还有比0.00001更小的小数……每次找到的小数会更接近0。

之后是类比联想，学生很容易就可以推想出既然在0与1之间可以按这样的方法找到无数个小数，那么在1和2之间、2和3之间……也能找到无限个小数。这样，通过观察、想象和推理，学生可以知道在每两个整数之间都存在着无数个小数，并且有“这些小数中越来越接近某一个数”的新发现。

再把知识向下一个层次发展。将数轴的箭头向右继续延伸，从0到1、到2、到3，进而自然地引出π的近似值：3.1，3.14， 3.141，3.1415……然后提问：“观察这组小数，你发现这些数都在哪两个小数之间？”由刚才的推想，学生非常顺利地推出3.1415926后面还可以有无限多位小数，也就是说，在3.14和3.15之间也有无数个小数，而且这些渐渐变大的小数将比前一个数更接近3.15。这时，教师还可以引导学生继续推想其他任意两个小数之间也都会有无数个小数，也会接近某一个数。通过这一层次的推理、想象，学生对小数又有了新的认识。

进一步往深层次发展。数轴不断向右延伸，学生在數轴上依次找到15.8，25.7，100.9，358.9，8844.47……在数轴向右无限延伸的动态过程中，学生不仅发现了小数变得非常非常大，从而明白小数其实并不小，而且再加上合理地推想，就可以感受到小数也具有无穷大的特征，这一新的发现就是对小数概念的延伸。

通过这样逐步深入的延展性练习教学，让学生在运用小数概念去理解具体的小数意义的基础上，再为他们提供一连串的材料和情境，引导他们合情推理，感受无限、体会极限，并明白数轴上紧密排列着的每一个点都可以用不同形式的数来表示，这样就能有效拓展小数的内涵与外延，为学生的后续学习奠定基础。这就是“三象一作”概念中的“在对知识不断运用和不断认知中再提升”的阶段，在这样的过程很好地提升了学生的学习力。

2.操作跳格游戏的延展性练习，让学生在两种推理互补应用中加深对列举法的认识，提升学习力。

在构造练习的延展性教学中，情境设计非常重要。寓知识发展于情境之中， 让学生在情境中感悟数学知识萌芽、生长和变化的动态过程，有效构建知识体系， 提升数学能力。

例如，“列举策略”的内容中，学生通过解决球赛中的场次等实际问题，建立了列举策略的模型。为了让学生对列举策略有进一步的认识，教师可以设计这样的延展性练习：小白兔玩跳格游戏，先从外面跳到第1格，然后每次可以向前跳1格或2格，那么从格子外跳到第3格有几种方法？如果要跳到第4、10、20甚至100格呢？

从外面跳到1和2，只有1种方法;跳到3可以一格一格跳，还可以从1跳2格直接跳到3，因此有2种方法。上述列举的结果是学生在合情推理的基础上运用演绎推理的成果，继续有序地往下边想边推，还可以找到格子数是5、6、7……的所有跳法。

那么，到底有没有一个公式来计算有多少种方法呢？这个问题可以放到课后让学生去探索与思考。通过这套延展性练习，有效提升了学生对列举法的认识，提升了他们的学习力。

3.确定基本形的延展性练习，让学生在两种推理互补应用中实现5种直线图形面积公式的综合建构，提升学习力。

小学五年级的学生已经学习了长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形等图形的面积计算方法的推导及应用。在单元知识整理课上，教师设计了以基本形为基础，沟通5种直线图形面积公式内在联系的延展性练习。

复习整理5种图形面积公式推导过程是把分散在各节课中的相关直线平面图形的面积知识按照一定的逻辑关系进行串联。这里的单元格是基本形。

运用已有的知识经验把平行四边形作为基本形，从它出发，引导学生按一定的逻辑关系把5种直线图形的面积公式进行沟通、构建体系。

很显然，这是学生在掌握原有知识与方法的基础上借助图形变换来进行合情推理，此时他们已经获得了沟通平面图形面积之间联系的一种新的结果。

教师再创设条件与情境，以梯形作为基本形，引导学生归纳平面图形面积公式的共性。将一个梯形变成三角形，再变成平行四边形。同样地，再让学生根据图形的动态变化，将梯形演变成长方形和正方形，再用梯形面积公式推出长方形和正方形的面积公式。

在这样的延展性练习教学中，教师通过演示，引导学生想象，不仅能让学生发现5种直线平面图形之间的联系，而且可以让学生发现平面图形面积公式之间也有联系，这里可用梯形面积公式来统整。这样的操作把知识串线连片，结成了网络，从而让学生获得平面图形面积计算内在逻辑的全新知识，同时提升了学习力。

三、关于数学教学终极目标的一点思考

数学思维到了一定境界，解决问题往往不是用公式和数字来运算，而是用思想来运算。这就是所谓的“用数学的思维想问题”。正如刘万海在《真正教学的意味——基于赫尔巴特“教育性教学”思想的延展性思考》中所指出的那样，在赫尔巴特那里，教学总是使两方面日臻完善：“人的智力与道德。”它是数学教学的终极目标。本质上，这样的能力不是教师在短时间内教出来的，而是學生在长期积累经验、在一系列的学习过程中慢慢形成的。教师备课不应局限于某一堂课，而应该把相对成逻辑体系的知识整合在一起，思考怎样通过这些课程培养学生自如地运用合情推理与逻辑推理思考数学问题的能力，并落实到常态的教学中。只有这样，让学生养成了用数学的思维去想问题的习惯，才算是把开启数学知识大门的钥匙真正交给了学生。

[ 参 考 文 献 ]

[1] 王名扬，徐沥泉，徐利治.论一种缘自认知心理学及教育研究的数学认知过程[J].数学教育学报，Vol.22，No.1，2013，2.

[2] 章汉平.延展性数学情境设计与思考[J].好家长·新教育，2007-08.

[3] 刘万海，真正教学的意味——基于赫尔巴特“教育性教学”思想的延展性思考，全球教育展望，Vol. 40，No. 9，2011.

（责编 黄 露）