关于建立小学数学应用题解题模型的探究

田燕芬

[摘 要]小学生的认知水平和学习能力都处于初级阶段，小学数学内容主要是加减乘除以及一些简单的方程求解问题，教师只有帮助学生打好具体运算的基础，才能为初中和高中的形式运算做好准备。为此，建立各类型应用题的数学模型及解题模型，有助于学生在遇到相似的题目时，能够举一反三、灵活应用。

[关键词]小学数学;应用题;解题模型

[中图分类号] G623.5[文献标识码] A[文章编号] 1007-9068（2021）11-0060-02

小学数学应用题的类型相对较少，大多都是对一类题目进行灵活变换得出一系列的题目，小学生往往只会计算课本上列举的简单题目，对于灵活变换后的一些难度比较大的题目会感到比较困难。因此，教师在讲解应用题时应帮助学生将不同类型的应用题进行分类，并且在教学的过程中灌输建模的数学思想，再通过生活中的案例建立数学模型，便于学生在以后碰到类似题目的时候，能够举一反三、灵活应用。建立数学模型能够帮助学生快速找到对应的解题方法和思路，大大提高学生的学习效率。

一、建立关于总数量、总份数以及平均数的数学模型

在解平均数的应用题的过程中，最重要的是处理好总数量、总份数以及平均数三者之间的数量关系。小学生的认知水平和学习能力都处于相对较低的阶段，在解决此类问题的时候，往往容易混淆总数量、总份数以及平均数三者之间的数量关系，无法在审题的过程中准确地找到题目中暗含的数量关系，从而无法快速找到已知条件和未知条件的数量关系，也就无法列出等式。教师在讲解这部分知识的过程中，应贯彻数学建模思想，帮助学生分析总数量、总份数以及平均数三者之间的数量关系，并建立如下数学模型。

总数量÷总份数=平均数

平均数×总份数=总数量

总数量÷平均数=总份数

建立关于总数量、总份数以及平均数三者之间的数量关系的数学模型，有助于学生在解决此类应用题时，能够根据建立的数学模型和题目中的已知条件和未知条件，迅速列出关系等式，解决此类应用问题。

【例1】已知某超市有两种类型的糖果，第一种类型的糖果每千克的售价是30元，第二种类型的糖果每千克的售价是24元。如果将第一种类型的糖果13千克和第二种类型的糖果7千克混合之后进行售卖，每千克混合糖果的售价应是多少元？

分析：在解决此类关于总数量、总份数以及平均数三者之间的数量关系的应用题时，学生首先要做的是通过认真审题，求出题目中的总数量、总份数以及平均数。本题是关于金钱的总数量、总份数以及平均数三者之间的数量关系的计算。要求每千克混合糖果的售价是多少元，首先要求得两种类型的糖果的总价钱和两种类型糖果的总千克数。

方法1：

总价钱：30×13+24×7=558（元）

总千克：13+7=20（千克）

售价：582÷20=27.9（元）

通过分析上列关系式，还可以建立如下总算式。

方法2：

（30×13+24×7）÷（13+7）=27.9（元）

二、建立关于速度、时间以及路程的数学模型

求解速度、时间以及路程的应用题也是小学数学中的常见应用题类型，教师在讲解此类应用题时，可以先创设关于路程、速度与时间问题的具体情境，结合生活中的实际例子，帮助学生建立关于速度、时间、路程的公式，进而顺利解决此类问题，这就是数学建模思想在数学学习过程中的重要应用。

建立关于速度、时间以及路程问题的数学模型如下：

路程=速度×时间

速度=路程÷时间

时间=路程÷速度

在知道速度、时间和路程问题的公式后，求解此类问题的过程就相当于数学建模的过程。

【例2】有一条长为1000米的隧道需要施工，现在有两个施工队伍，其中甲队伍有5个人，每天能够施工50米，乙队伍有10个人，每天能够施工100米。甲、乙两个队伍从隧道的东西两端同时进行施工，共同做了5天后，乙队伍因为接到新的工作必须离开，剩余的隧道需要甲队伍独立完成。甲队伍还需要多少天才能完成工作？

分析：已知甲乙两个队伍每天的工作量和同时工作的天数，此时，可以求出甲乙两个队伍共同施工的隧道长度，进而求出隧道剩余的还没施工的长度，进一步求出甲队伍还需要几天可以完成隧道施工工作。

解答：

甲：50×5=250（米）

乙：100×5=500（米）

总工作量：500+250=750（米）

剩余工作量：1000-750=250（米）

剩余天数：250÷50=5（天）

三、建立植树问题的数学模型

植树问题也是数学应用题中的常见题型，学生在解决此类题目时常常混淆不同植树线路的求解公式而导致求解错误。教师在讲解此类型题时应帮助学生建立在不同地形（如线形、环形、三角形、方形等）进行植树的数学模型。在建立关于等距离植树问题的数学模型时，主要处理好植树距离、每两棵树之间的间距以及棵数之间的数量关系，具体如下所示：

线形线路植树棵数=距离÷间距+1

环形线路植树棵数=距离÷间距

方形线路植树棵数=距离÷间距-4

三角形线路植树棵数=距离÷间距-3

面积植树棵数=面积÷（棵距×行距）

【例3】某学校有一个边长为220米的正方形篮球场，现在打算在正方形篮球场的四周等距离安装路灯，要求每两盏路灯之间的距离相等，并且为8米。学校一共需要安装多少盏路灯？

分析：在形状为正方形的篮球场安装路灯的问题等同于在方形线路上进行植树的问题，学生可以根据方形线路上植树问题的数学模型进行求解。

解答：220×4÷8-4=110-4=106（盏）

四、建立关于年龄问题的数学模型

关于年龄问题的应用题主要分为以下两种类型：

第一种类型：已知两个人的年龄，求两个人年龄之间的数量关系;

第二种类型：已知两个人年龄之间的数量关系，求两个人的年龄。

在求解关于年龄的问题时，需要学生始终记住一点：在求解的过程中，无论时间和年龄之间的倍数如何变化，两个人之间的年龄差值永远是一个定值。

【例4】小明今年的年龄是11岁，小明的爸爸今年43岁，求：过几年之后小明爸爸的年龄是小明年龄的3倍？

分析：由于小明的年龄与爸爸的年龄的差值是43-11=32（岁），保持不变。假设几年后小明的年龄为1份的数，由题意可知：小明爸爸的年龄是小明年龄的3倍，则爸爸的年龄就是3份的数。根据差与倍数的关系，可以求出小明几年后的年龄，进而得出答案。

解答：（43-11）÷（3-1）=16（岁）

16-11=5（年）

本文主要列舉了一些小学数学应用题中常见的题型，并通过建模的数学思想将小学阶段常见的数学应用题进行分类总结，以提高学生正确求解应用题的能力。在这一过程中有一个重要的思想，即建模思想，教师要向学生灌输这种思想，以帮助学生在以后的学习中学会运用这种思想进行解题。

[ 参 考 文 献 ]

[1] 王井华. 小学数学应用题的教学研究[D].苏州：苏州大学，2016.

[2] 张春新. 小学数学应用题建模教学研究[D].南京：南京师范大学，2013.

（责编 罗 艳）