重构数学深度学习的“三度空间”

陈旭

[摘 要]发展学生的核心素养，让深度学习真正发生。这种“以生为本”的现代教育观备受关注。在课堂上给学生提供观察、操作、表达、思考、交流、展示的机会实施深度学习，能有效培养学生的核心素养。然而深度学习并不是自然发生的，也不是简单的学生自学，需要有教师积极的引导，也就是需要一定的促发条件和教学策略。

[关键词]深度学习;深度;高度;厚度

[中图分类号] G623.5[文献标识码] A[文章编号] 1007-9068（2021）11-0044-03

深度学习主要是针对课堂教学中学生的知识学习存在表层化的浅层理解，对知识理解不透彻、体验感悟不深刻、思考研究不深入等现象而提出的。深度学习的实质是能抓住学科本质，超越对知识的表层理解，进入知识内在的逻辑形式和意义领域，挖掘其中的数学思想和经验，彻底摆脱机械模仿、枯燥训练和强化记忆，指向思维的发展。那么，如何促进学生进行数学深度学习呢？下面从借助核心问题的研究、数形结合思想的渗透、习题资源的挖掘三个方面谈谈如何促进学生数学深度学习。

一、聚焦核心问题研究，挖掘深度学习的“深度”

“学起于思，思源于疑。” 思维是从问题开始的，深度学习应该是基于问题的学习。问题是课堂教学中对话策略的重要组成部分，有效的问题对于学生明确自己的想法，提高学生思维的敏捷性和深刻性，促进学生构建完整的知识体系具有独特的价值。

笔者有幸聆听了周卫东老师的一节“认识分数”课，有高度的教学设计把学生带入了深度探索分数意义的学习中。下面将逐层分析周老师是如何一步一步地引导学生深度学习，把学生的思维认知带到一定的高度的。

在教学完例题“对[12]的初步认识”后，周老师设计了一个开放式的研究性学习环节，让学生继续深入探讨几分之一的意义。这一环节是通过开放式的研究性学习和教学研究内容的选择非常典型这两点一步一步地把学生的思维引入深处。

首先，在师生的谈话互动中，学生知道了还有许多的几分之一的分数，并选取了其中三个分数作为代表重点研究，有[12]、[14]和[18]。看似简单的选数，却蕴含着一定的规律和认知技巧，为学生的深入探究打下基础。在后面的教学中能够发现选取这三个分数的目的，可谓教学设计的用心与精细。

其次，周老师让每个学生选取其中的一个分数进行研究，体现了自主开放式的课堂。探究方法也是开放的。周老师给学生提供三种不同形状（分别有正方形、长方形和圆）的纸片作为研究工具，让学生任选一种纸片来研究其中的一个分数。学生在展示研究成果的過程中，通过观察、对比、思考吸取到了更多的知识。

最后，班内交流、汇报，充分展现学生的深度学习成果。

基于以上的开放式学习研究，学生的研究成果及形式非常丰富。学生体会到每一个分数可用不同的折法和涂法来表示，在动手操作中直观、深入地明白了“平均分”的含义和分数表示的意义。更精彩的是，对于每个分数、每种纸的折法，周老师先是随机选择一种进行展示（如下图）。

再设计两个问题，继续引导学生观察图形，对分数进行更深入的探究。

问题 1 ：[12]、[14]、[18]分别是怎样表示的？你发现了什么？有什么想说的？

生1：[12]是把一个图形平均分成 2 份，取其中的一份;[14]是把一个图形平均分成 4 份，取其中的 1 份;[18]是把一个图形平均分成 8 份，取其中的 1 份。

生2：需要把纸对折 1 次，需要把纸对折 2 次，需要把纸对折 3 次。

生3 ：涂 2 个[14]就是[12]， 4个[18]也是[12]， 2 个[18]是[14] ……

此环节不仅加深了学生对分数意义的认识，还深层次地拓宽了[12]、[14]、[18]这三个分数在意义上的联系，展现了深度学习的精彩过程。

问题 2 ：竖着看，同一个分数可以用正方形的纸表示，怎么还能用长方形和圆表示呢？它们的形状可不一样啊？

在比较交流中，学生深刻理解了分数表示的意义和图形的形状无关，与平均分的份数有关，平均分成几份，其中的一份就表示几分之一。看似简单的两个问题，把学生对分数意义的理解带到了思维的高度：理解了平均分的含义、平均分的方法、“一个物体”的含义……

有思维高度的问题设计带来了精彩的深度学习！可见，在设计教学问题时，教师只有站在一定的高度上思考，才能把学生的学习带到一定的高度。

二、 渗透数形结合思想，提升深度学习的“高度”

“数形结合百般好，割裂分家万事休。”利用“形”的直观可阐明抽象的“数”中的复杂关系，即“以形助数”。数形结合实践学习中，教师要督促学生不断地思考，不断地探究，厘清题意，通过数形结合的方式将题目中的梗概明朗化，用直观的图形表示复杂的数据，实现数据的简单化，让学生一目了然地掌握数据之间的联系，实现问题的解决，从而达到深度学习。

如何借助形象的图形理解抽象的算理？需要给学生一个思维的支撑点，使复杂的算理变得深刻、简明。因此可使用图形语言解释数学算式，外化算理的含义，使算理变得形象化、可视化。

师：你们还记得计算“同头尾合十”两位数乘两位数的简便方法吗？请算一下“63×67=？”。

步骤1：十位上的数字乘比它大1的数，即6×（6+1）=42。

步骤2：个位上的数字相乘，即3×7=21。

步骤3：将步骤2的得数直接写在步骤1的得数后面，即4221。

板书如下：

[6   3      ×      6   7   =     4   2     2   1][② 3×7=21][① 6×（6+1）=42][③ 将21直接写在这里]

师：想知道为什么可以这样算吗？我们刚刚学过长方形的面积计算，现在就以63×67为例来探寻一下。（课件动态演示）画一个长67、宽63的长方形（不用考虑单位名称是什么，只要长度比例正确即可），沿长方形的两边截取一个边长为60的正方形。当我们把从宽边截取下来的长方形移拼到弯箭头所指的长边后，整个图形变成了哪两部分？（长70、宽60的大长方形和长7、宽3的小长方形）

师：图形的形状虽然变了，但图形的面积变了吗？怎样计算新图形的面积？（只需将这一大一小两个长方形的面积相加）

师：大长方形的长是多少？（60+7+3=70）大长方形的面积怎么求？（大长方形的面积：60×70=4200）这一步相当于步骤几？（相当于计算规律中的第一步6×7=42，写在前面）

师：小长方形的面积呢？相当于步骤几？（小长方形的面积：3×7=21;相当于计算规律中的第二步3×7=21，写在后面）

师：最后将这两部分相加，也就求出了新图形的面积：4200+21=4221。这一步相当于步骤几？（相当于计算规律中的最后一步）

此时，学生露出了惊喜的眼神，发出赞叹声：“啊，原来是这样呀！”“真好玩！”

课上学生产生困惑“为什么可以这样算？”，说明他们有积极思考，真正成为学习的主人，而后才有了“有趣的乘法计算”再教学，这样既满足了学生的知识需求，又能让规律的探索有始有终。

借助平面图形分析数学简算法的方式意义非凡，能让学生感受到数形结合的妙处。把计算63×67的积转化成求长方形的面积，“以形助数”让学生一目了然。

通过渗透数形结合思想，让学生在探究中知其然且知其所以然，了解知识背后的本质，提升了深度学习的高度。

三、充分利用习题资源，夯实深度学习的“厚度”

有效的练习，能够触及知识的本质，具有层次性、发展性、开放性和思考性。不仅能促进学生知识的掌握，还有利于夯实学生深入学习的“厚度”。教学中，教师要潜心研究教材，把握知识结构，围绕教学目标精心设计练习，特别是题组和变式题的训练。

例如，在“认识三角形”一课中，画高是教学重难点。通过学前检测发现：（1）底在水平位置上时，部分学生知道应该把高画在什么位置，但对高的认识仅是垂直方向上的一条线段;（2）部分学生对高的认识是最高点与最低点之间的一段距离;（3）对于直角三角形而言，学生不确定当高和直角边重合时该怎么画;（4）部分学生画的高没有标垂直符号。对此，笔者设计了以下画高练习。

练习应该基于学情进行设计，可将学生的易错点进行重点剖析、公开诊断、提前预防。基于以上学情分析，充分挖掘练习的价值，设计了多层次练习。第一层次，判断三角形的高，学生出现了分歧，对于第（1）题，有的学生认为是三角形的高，有的学生认为看着像是高但并不垂直，此时大家一致认为需要借助三角尺来验证，那么三角尺怎么摆呢？第二层次，引导學生思考、研究三角尺的摆法。先让学生自主思考摆法，然后选出一位小裁判上台验证，其他学生监督、补充。第三层次，巩固认识什么是高。第四层次，请判断错误的学生谈谈为什么错了，做题时该注意什么。在纠错的过程中，学生习得的不仅是知识本身，还有一些做题的方法和经验。

生活中学生接触到的关于事物的高，大多是竖直方向，例如“这张课桌多高？”“这个人多高？”等。生活经验带给学生“高是竖直的”的思维惯性，导致学生认识的高往往是竖直方向的。很多学生遇到底不在水平位置时习惯先转动作业本的方向再画高。有了第（1）题的经验，对于第（2）题，学生第一反应是需要验证，这种情况下的三角尺的摆放是难点，也是画高的重要突破口，学生在操作中尝试、在尝试中领悟、在体验中思考、在思考中认识高，为后面画高做好准备。第（3）题是给直角三角形画高，很多学生会疑惑：被直角边“挡”住了，高没地方画了，所以不自觉地会把高往内移，摆三角尺验证以后发现高就是这条直角边。

以上习题还承载更多的学习功能，通过不同形状的三角形画高，为将来学习的给梯形画高降低了难度，夯实了深度学习的厚度。

做习题是学生对新知识再认识、再加工的过程，枯燥、单一的习题讲解会降低学生学习的兴趣和积极性，把习题用活、用足、用好，以促进学生思维的灵活性，促使学习不断深化，使得数学课堂更加灵动。

“深度”课堂绝对不是“难度”课堂，应该是在教师读懂教材、读懂学生的基础上，用心经营的有内涵、有实效、有诗意的课堂。只有引导深度学习发生，才能真正实现教学无痕、润物无声的美好教育愿景。

[ 参 考 文 献 ]

[1] 《数学教师教学用书》编写组.数学教师教学用书[M] .南京：江苏教育出版社，2014.

[2] 王荣香.基于新课标的数学教本解读探赜[J].成才之路，2018（17）.

[3] 徐海娟.小学数学课堂追问的技巧[J].启迪与智慧（教育），2015（12）.

[4] 罗雪琴.数学课堂的有效思考[J].都市家教（下半月），2012（6）：162.

（责编 黄春香）