基于结构化思维的单元整合教学

郑建锋 沈正会

【教材分析】

（一）编排结构

人教版小学数学教材中整数笔算除法的学习分三个阶段进行：从二下“有余数除法”（一层竖式）开始，到三下“除数是一位数的笔算除法”（两层、三层的分层竖式），最后到四下“除数是两位数的笔算除法”（两层、三层的分层竖式）。从知识之间的前后联系可以看出，在三下“除数是一位数的笔算除法”的教学中，学生将经历从一层竖式跨越到两层、三层分层竖式的过程，这是学习整数笔算除法的一个转折点和关键期。

“除数是一位数的笔算除法”内容丰富，包含了被除数是两位数和三位数以及有关0的除法，教材安排了5个课时进行新课教学（如图1）。

教材的编排结构非常清晰：先编排一般情况的除法，再编排特殊情况的除法。但细致分析后会发现，教材中前4个例题均指向“除哪商哪”（也就是“除到哪位就商在哪位”）的教学，在这3个课时学习中，学生只需要关注并掌握这一个法则。而后面2课时容量明显增加，如第4课时，既要学习“除0商0”（也就是被除数首位刚好被除尽而被除数中间有0要商0，或被除数前两位刚好被除尽，而被除数末尾有0要商0），又要学习“不够商1就商0”（也就是“除到哪位不够商1就商0”）。同一个课时中要掌握两个法则，对于学生而言极具挑战性。

（二）呈現方式

笔者从序、材两个方面，对“除数是一位数的笔算除法”的例题进行了梳理，在材料呈现上除关注是否编排情境外，还特别关注了是否有直观的、能够支撑算理解释的小棒图（如表1）。

从表1中可以看出，教材在笔算除法中分别安排了植树、相册、购书、购物等不同的情境，以有利于学生沟通数学与生活的联系。但教材只在“两位数除以一位数”学习时编排了小棒图辅助学生理解算理，掌握算法，而在更具挑战性的“三位数除以一位数”学习中，却仅仅提供情境，没有呈现有关算理支撑的信息。学生掌握“三位数除以一位数”远比“两位数除以一位数”困难，他们能基于前一节课的直观理解快速转换到“三位数除以一位数”的“就式论理”吗？这一点值得商榷。另外，教材中辅以理解的小棒图以“累加式”呈现（如图2），在分的每一步中，都会把前面分得的结果累加到下一次分的过程中。这样做的优点是能一下看出分得的最后结果，但对学生直观感知分了几次，每次分得多少却容易产生干扰。而除法是讲究一步一步除的，在除第二次的时候需要把第一次除掉的部分剥离出去，小棒图以“分离式”呈现（如图3）更有助于学生理解，即不同次分小棒的过程彼此分离，上一次分得的结果不再累加到下一次中。这样学生能更清楚地看到每次分小棒的情况，并将每次分小棒的情景对应到除法每层竖式的书写中，有利于学生对除法竖式意义的理解。

基于以上分析，笔者在教学时考虑了以下两点：（1）在更具挑战性的“三位数除以一位数”学习中，增加辅助直观的小棒图。（2）变小棒图的“累加式”呈现为“分离式”呈现。

【学生情况】

通过前、后测调查发现，学生在“除数是一位数的笔算除法”的学习过程中容易出现以下4个方面的典型情况。

（一）受负面经验迁移影响大

负面经验迁移的影响主要来自于：（1）将加、减、乘法的竖式书写经验迁移到除法竖式中。（2）在首位没余数的除法中受一层竖式的负面迁移。具体如表2所示。

（二）商0常会不简写

为了帮助学生理解商中间、商末尾有0的特殊除法竖式简便写法的原理，教材完整呈现了复杂竖式，并在竖式上用一层的空间详细表示了有关0的计算全过程。并在右侧呈现简单竖式，以对比的方式引导学生学习（如图4）。但在后测中发现，基于由复杂到简单的教学路径，学生明白了除法竖式在书写时省掉“计算0这一层”会更简单的道理之后，仍然会有一定比例（不同班级学生占比有所不同）的学生竖式书写时停留在了复杂的状态，常常会出现商0的除法竖式不简写的情况（如图5）。

（三）商0除法错误多

商有0的除法是学生特别容易出错、不易掌握的知识点。前测中学生的错误情况如图6所示。这部分内容比较复杂，如从0在商中所处的位置上看，有“商中间有0”“商末尾有0”“商中间和末尾同时有0”的不同情况;从计算方法上看，既有“除0商0”又有“不够商1就商0”两种情况。因此教材在这部分内容的例题安排上，将近一半数量的例题编排在了商0的除法中。

（四）首位不够定位难

首位不够除的除法难就难在商的定位上。首位够除的三位数除以一位数竖式计算中，被除数和商都是三位，不存在商的定位问题，所以前测答题中虽然竖式计算步骤有所错误（虚线框部分），但商的定位并没有什么问题。而首位不够除的三位数除法中，商定位出错的占比较大（如表3）。

【教学建议】

根据对教材编排及学生情况的分析，提出如下教学建议。

（一）局部调整建议

1.调序——减少负面迁移

教材例题编排的顺序是从“被除数是两位数，被除数首位能被除尽”的例题，到“被除数是两位数，被除数首位不能被除尽”的例题（如图7，情境图已略去）。

由于学生的原有经验就是一层竖式，面对首位没余数的两位数除法，学生能轻易获得计算结果，从而容易受弱需求和负迁移影响写成一层竖式，反而觉得写两层竖式麻烦。因此，教师不妨调整学习序列，先教学例2再教学例1，这样更能激发学生对列两层除法竖式的强需求，减少一层竖式的负迁移。

2.调径——化烦琐为简单

如前文所述，学生在商有0的除法竖式书写中，常会出现除法竖式不简写的情况。仔细阅读教材可以发现，教材在商0的章节中多处编排了如图8所示的从复杂到简单的教与学的路径，让学生充分经历复杂竖式书写的“烦琐”与“没必要”，从而更好地接受简便写法。如果借助小棒图从算理的角度学习，学生还需要这一“复杂”的过程吗？既然十位上一根小棒都没有，还要分吗？前测中，几乎没有学生会把单独的0搬下来除一次，然后再商0乘0减0。既然如此，教师不妨根据学生实际调整教学路径，避开这一“烦琐”的过程。当然，这并不是说完全抛弃复杂竖式，而是当学生结合小棒图从算理角度理解了简单竖式的写法之后，再从算法角度让学生理解简单竖式书写的道理，进行繁简竖式的沟通就可以了。

3.重组——集中突破重难点

商中间或商末尾有0的除法，学生出现的错误比较多。结合前文教材分析，建议重组学习内容，将法则应用相同的内容归为一类，即“除0商0”一节课，“不够商1就商0”一节课（如图9）。这样重组，可以集中突破重难点，更利于学生对法则的掌握。

4.整合——促进算理理解

教材编排中，首位不够除的除法是“三位数除以一位数”第二课时的教学内容。建议将这种情况理解成“首位商0”的除法，把它后移到商0的除法中（如图10）。这样学生更容易理解既然百位上商是0，商首位（非0）就要写在十位上的道理。考虑到例7（2）245÷8是首位和末尾同时商0的情况，因此可以将例7（2）改为只有末尾商0的情况，如542÷3，而将245÷8首位和末尾同时商0的情况作为练习再呈現。

（二）单元框架调整建议

综上内容，本单元教学的整体框架设计调整如下（图11）。

教学课时调整如下（表4）。

这样调整，教学内容以“法则”为主线，将相关联的内容进行整合教学，在结构上形成了“算理探讨、算法形成、算法技巧和灵活运用”这4个板块;在关联内容整合上进行“除哪商哪”“除0商0”和“不够商1就商0”的框架设计，并在整体遵循教材编排逻辑顺序的同时，将原来5节新课的教学内容整合成4节新课进行教学。空出的一个课时可以本单元课后的思考题为素材，进行一题一课拓展，安排一节算理算法的灵活运用课，拓展学生思维，进一步培养和提升学生的运算能力，从而实现“让教师更有结构地教，学生更有关联地学”的目标。

参考文献：

[1]朱国平.“除数是两位数的除法”单元整合教学设计与说明[J].小学数学教育，2020（1/2）.

[2]陈兵.小学数学“单元教学”的特征和路径：从“课时教学”的不足谈起[J].教育研究与评论（小学教育教学），2019（2）.

[2]陈芳，邵汉民.单元整体设计   完善学习序列：以“三位数乘两位数”的单元教学为例[J].教学月刊·小学版（数学），2019（3）.

（浙江省泰顺县育才小学   325500 浙江省泰顺县教师发展中心   325500）

（下期预告：大单元教学是2021年的重点研究内容之一。下期我们将继续推出有关单元整合的系列文章《创造 择优 规范——“多位数乘或除以一位数的笔算”单元整合教学实践》，从不同的视角介绍对北师大教材中这一内容的跨年段单元整合教学实践研究，与此文相互呼应。希望读者能从中受到启发。敬请期待！）