数学建模在经济活动中的应用分析

李璇　刘学智

摘 要：数学建模是近几年发展起来的新学科，其在经济活动中应用广泛。它将数学理论与实际的经济问题相结合，把现实问题归结为相应的数学问题，并利用数学的方法建模求解。数学建模为经济学研究提供了一种很强的分析工具，也从根本上改变了决策者看待问题和解决问题的理念与视角。通过经济学中几个典型案例说明数学建模在经济活动中的应用，阐述数学建模在经济领域中的重要作用，以期通过应用分析，可以对解决经济问题过程中数学模型的合理应用，以及数学的应用和创新有所帮助。

关键词：数学建模;经济问题;应用;案例

中图分类号：F224        文献标志码：A      文章编号：1673-291X（2021）33-0122-03

引言

随着经济的发展，数学以空前的廣度和深度向一切领域渗透，作为数学的应用，数学建模越来越受到人们的重视，它在国民经济和科学技术的各个领域都有着广泛的应用，特别是在企业经营管理、产品营销、资源分配、财政金融、优化服务等方面产生了巨大的经济效益。数学建模的过程中将错综复杂的实际问题简化，通过研究实际对象的固有特征和内在规律，建立反映实际问题的数量关系，然后利用数学的理论和方法来解决问题。

数学作为一门基础学科有其实用性和实践性，在经济活动中问题的研究和决策都离不开数学的支持。数学模型的建立、数学方法的应用、数学软件的引入都使原本复杂的经济学问题变得简单抽象化，但同时数学和经济学又有所不同，在应用数学方法解决经济学问题时应考虑到经济问题的多变性，因此寻找合适的数学方法、构建符合需求的数学模型至关重要。数学方法有许多，针对不同的经济学问题选择合适的数学方法，建立行之有效的数学模型才能有效地解决经济问题。本文通过经济学中几个典型案例说明数学建模在经济活动中的应用，阐述数学建模在经济领域的重要作用。

一、数学建模应用在经济活动中的意义

（一）数学建模使经济领域中的问题变得简单化和直观化

许多经济领域中出现实际问题的描述都十分复杂且抽象难懂，而且有些经济领域中的实际问题还需要做大量的数据处理。通过数学建模的方法可以将经济领域中实际问题的数据进行可视化处理，从而将较复杂的经济问题转化为数学问题来求解，一定程度上降低了解题的难度。

（二）数学建模使经济领域中的问题解决变得更有说服力

通过数学建模的方法，首先运用数学逻辑思维对经济问题进行分析，然后通过给出的相关变量之间的具体关系列出数学表达式，并应用数学软件进行求解，最终得到可靠的数据分析结果。这种严谨的方法可以使决策者更好地分析经济变化趋势，为决策者提供更科学的依据，这也正是数学建模在经济问题中得以应用的最直接体现。

二、数学建模在经济活动中的应用举例

（一）公司人员最优安排策略问题

一家保姆服务公司专门向雇主提供保姆服务。根据统计，下一年的需求是：春季6 000人/日，夏季7 500人/日，秋季6 500人/日，冬季9 000人/日。公司新招的保姆必须经过5天的培训才能上岗，每个保姆每季度工作（新保姆包括培训）65天，保姆从公司得到报酬，每人每月工资8 000元。春季开始时公司拥有120名保姆，在每个季度结束后15%的保姆自动离职。如果公司不允许解聘保姆，请为公司制订下一年的招聘计划，哪些季度的需求增加不会影响招聘的计划，可增加多少？

问题分析：对公司而言，每季度开始时拥有保姆数之和最少时，本年度的总支出是最小的，盈利最大。

模型建立与求解 设每季度开始时招聘的保姆数分别为x1，x2，x3，x4，每季度开始时拥有的保姆数为y1，y2，y3，y4，根据题意可建立描述问题的线性规划模型决策目标为miny1+y2+y3+y4，约束条件为65y1≥6 000+5x1，65y2≥7 500+5x2，65y3≥5 500+5x3，65y4≥9 000+5x4，y1=120+x1，y2=0.85y1+x2，y3=0.85y2+x3，y4=0.85y3+x4。

借助数学软件LINGO求解得到4个季度开始时公司招聘的保姆人数分别为0人、15人、0人、59人，夏季和秋季的需求的增加不会影响招聘的计划，可以分别增加1 800 936人。线性规划理论广泛应用于经济问题中，借助线性规划方法可以解决人员安排问题，根据已知条件建立数学模型，写出目标函数和约束条件，在现有的条件下使得安排的人力最少，达到节约成本的目的，最终获取企业生产的最优化。同时，数学软件如Matlab与LINGO等为问题的求解提供了极大的便利。

此外，在实际经济活动中，很多问题都可以转化为求问题的最大、最小值问题，这也就是数学建模中常见的优化模型。这种模型的建立一般都是根据实际问题中所蕴含的目标和约束条件列出相对应的不等式进行求解，其中约束条件可以是线性规划也可以是非线性规划。

（二）人员流动问题

某工厂生产线每年的年初进行熟练工和非熟练工人数统计，之后由■的熟练工支援其他的生产部门，缺额由招收新的非熟练工来补齐。新熟练工和老熟练工经培训和实践到年终考核时有■成为熟练工。假设第一年1月份统计的熟练工和非熟练工各占一半，则以后每一年1月份统计的熟练工与非熟练工的比例是多少？

问题分析：假设第n年一月份统计的熟练工与非熟练工所占比例为xn和yn，由已知条件可知1月份统计的熟练工和非熟练工各占一半，要求以后每一年1月份统计的熟练工与非熟练工的比例，需要先求出第n+1年1月份统计的熟练工与非熟练工所占比与n年1月份统计的熟练工与非熟练工所占比之间的关系。

矩阵是线性代数重要的组成部分，而特征值与特征向量又是矩阵理论的重要组成部分。用矩阵的知识建立线性模型可以解决生产中常见的人员流动的问题，建立符合实际条件的线性方程组，将线性方程组写成矩阵形式，利用矩阵中特征值与特征向量的内容将需要的矩阵对角化，最终解决问题。

（三）养老保险问题

养老保险是一种重要的保险险种，保险公司会为客户提供不同的保险方案并分析保险品种实际的投资价值。假设每月交费200元，60岁开始领取养老金。某男子25岁起投保，届时养老金每月2 282元，若是35岁起投保，届时养老金每月1 056元，保险公司为了兑现保险责任，每月至少应有多少投资收益率？

问题分析：由于交费是按月的，那么整个投资过程可以按月进行划分，假设投保人到第n个月交的费用和收益的总额为Fn，每月的收益率为r，假设第N月停交保险费，第M月停领养老金。60岁以前每月的交费数和领取数设为p，60岁以后每月的交费数和领取数设为q。

模型建立与求解：根据题意应建立一个过程分析模型，男子25岁起开始投保，假设男子的平均寿命是75岁，由题意知p=200，q=2 282，F0=0，Fn的变化满足

上式中令FM=0并借助数学软件可求得方程的解为r=0.00485，其中M=600，N=420。同样地，可以求出若35岁投保则月利率为r=0.00461。

事实上，引入Fn，能够很好地描述整个过程中资金的变化情况。Fn表示从保险人交保险费之后，保险人账户上的资金数额。如果第M个月时，FM<0，表明保险公司出现亏损;如果第M个月时，FM=0，表明保险公司最终一无所有;如果第M个月时，FM>0，表明保险公司获得收益。

（四）投资问题

某公司计划在今后五年内对以下項目进行投资，已知项目A：第一年至第四年每年的年初需要投资，次年的年末可回收本利115%，并要求第一年投资金额最低4万元，二、三、四年投资额不限。项目B：第三年的年初需要投资，第五年的年末可回收本利128%，规定投资金额最低3万元，最高为5万元。项目 C：第二年的年初需要投资，第五年的年末可回收本利140%，规定投资额为2万元或4万元或6万元或8万元。项目 D：五年内每年的年初可购买公债，并于当年末归还，加利息6%，本项投资金额不限。现本部门有资金10万元，问应如何确定给这些项目的每年投资额，使到第五年的年末本部门所拥有的资金本利总额最大。

1.问题分析。这是一个连续投资问题，根据每年资金的使用情况可建立数学规划模型，由于在约束条件中有对决策变量是整数的要求，应建立整数线性规划模型。

2.模型建立与求解。设决策变量xiA，xiB，xiC，xiD（i=1，2，3，4，5）分别表示第i年的年初对项目A，B，C，D的投资金额。设yiA，yiB是0—1变量，规定取1时表示第i年对项目A、B投资，否则取0。设yiC是非负整数变量，规定第2年投资C项目8万元时，取值为4;第2年投资C项目6万元时，取值3;第2年投资C项目4万元时，取值2;第2年投资C项目2万元时，取值1;第2年不投资C时，取值0。根据题意建立整数规划的数学模型，目标函数为maxz=1.15x4A+1.4x2C+1.28x3B+1.06x5D，每年分别需要满足的约束条件为：第一年，x1A+x1D=10 000;第二年，x2A+x2C+x2D=1.06x1D;第三年，x3A+x3B+x3D=1.15x1A+1.06x2D;第四年，x4A+x4D=1.15x2A+1.06x3D;第五年，x5D=1.15x3A+1.06x4D。此外，40 000y1A≤x1A≤200000y1A，30 000y3B≤x3B≤50 000y1A，x2C=20 000y2c。

应用“管理运筹学”软件，可求得最优值为147 879.234。

整数线性规划模型是线性规划模型的一种，其要求建模过程中决策变量取整数，在实际生活中应用广泛，如生产中固定成本问题、分布系统设计、指派问题等都可建立合适的整数规划的数学模型。上述投资问题也是整数规划的重要应用的体现，在建模过程中尤其注意决策变量的设法，其余的约束条件和非整数的线性规划相同，最后将建立的数学模型整理放到计算机软件中可得到问题的最终结论。

结语

数学建模是近些年发展起来的新学科，它在经济领域中也有广泛的应用，本文通过几个具体的案例说明数学建模的重要性，通过建立线性规划的数学模型可以解决人力资源的安排问题，得到最优的安排策略;通过利用线性代数中的矩阵理论建立线性模型可以解决生产中常见的人员流动问题，为决策者提供实际的指导;通过建立过程分析的数学模型可以解决生活中常见的养老保险问题，为保险公司给出能够盈利的收益率;通过建立整数线性规划模型可以解决投资问题，为投资者提供合理的建议。为了方便读者更容易地了解和体会数学建模在经济领域中的实际意义和作用，本文所给出的数学建模在经济活动中的应用案例都较为简单。事实上，在经济领域中的数学模型还有许多，本文未逐一列出。数学建模方法在经济领域的应用能更好地揭示微观变量之间的相互性质，为经济领域中问题的解决提供了新的思路。总之，数学建模是一个在经济领域中实用性很强的工具，我们应树立应用数学建模的观念和意识，努力培养科学探索的精神。

参考文献：

[1]  李志林，欧宜贵.数学建模及典型案例分析[M].北京：化学工业出版社，2007.

[2]  孟艳双，曲庆国.应用型人才培养模式下数学建模活动的理论与实践研究[M].北京：中国水利水电出版社，2018.

[3]  龚晓岚.数学建模[M].哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2012.

[4]  韩柏棠.管理运筹学[M].北京：高等教育出版社，2012.

[5]  李璇.概率论知识在经济中的应用研究[J].经济研究导刊，2016，（1）：4-5.

[6]  范晓志，宋宪萍.概率论在经济生活中的多维应用[J].统计与决策，2005，（4）：139-140.

[7]  王文华.经济学研究中数学模型的应用[J].中州学刊，2007，（4）：39-40.

[8]  李凤.大学数学教学中数学实验的开展与教学指导策略分析[J].科教论坛，2017，（28）：216.

[9]  吴文静.应用型本科经管类专业高等数学课程模块化体系的构建[J].吉林省教育学院学报，2014，（12）：44-45.

[10]  刘娟.概率论与数理统计案例教学探讨[J].当代教育理论与践，2014，（6）：36-37.

[11]  赵增逊.数学模型在经济领域中的应用[J].经济研究导刊，2017，（28）：5-6.

[12]  闵欣.概率论在几个经济生活问题中的应用[J].经济研究导刊，2013，（24）：4-5.

[13]  靳旭东，方秀男.浅谈数学建模在经济领域的应用[J].经济师，2020，（7）：196-198.

[责任编辑 晓 群]