向心加速度公式的教具制作及其教学研究*——基于Tracker和Phyphox软件的定量探究

王盼伊 顾思漪 张璟 刘嘉丽 袁婧

(上海师范大学数理学院 上海 200234)

方伟

(上海师范大学数理学院 上海 200234；上海市星系和宇宙学半解析研究重点实验室 上海 200234)

向心力和向心加速度是高中物理教学的一大重点与难点，学生对于向心力概念一直很难理解，在对物体进行受力分析时，往往还外加一个向心力[1].该知识点前承牛顿第二定律，后引圆周运动的相关应用，并为万有引力这一概念做铺垫.但这一知识点在高中课本上仅做了简单的分析及公式推导.在教学实验中，教师往往无法做课堂演示实验，DIS实验尽管能做相关工作，但其普及性不高，集成性却过高，使得学生的参与感不强，因而大大降低了学生参与向心加速度实验的积极性，且不利于学生对向心加速度这一概念的充分理解.另一方面，随着科技和我国经济的发展，智能手机已越来越普及，且其集成了各种微型传感器，精确度和灵敏度都很高，若教师能带领学生开发自制教具，利用集成了各种传感器的智能手机，并辅以Tracker和Phyphox等软件[2]，将可实现对向心加速度的定量探究和验证，其教育意义将不可小觑.伟大的物理学家麦克斯韦也曾说过：“实验的教育价值，往往与仪器的复杂性成反比.学生用自制仪器，虽然经常出毛病，但他们却会比用仔细调整好的仪器，学到更多的东西”[3].

在本文的第一部分，阐述了本教具的实验构想和实验原理的理论推导，并在第二部分详细讲解了教具的制作过程.在第三部分，我们利用自制教具进行了基于控制变量的定量探究实验，研究了向心加速度ac与圆周运动半径r和角速度ω(周期T)的关系，并在第四部分进行了实验的误差分析.最后指出该实验通过适当的教学设计，可以作为高中学生的探究性或验证性实验及课外科创活动，还提供了测量当地重力加速度的一种新方法.整个自制教具的制作和实验探究过程具有较强的教育启示意义.

1 教具构想和实验原理

本文的教具构想和实验原理为：利用可调速电动机制作教具，让智能手机作为质点绕杆做摆长为L的匀速圆锥摆运动(图1)，此时手机在水平面内即做匀速圆周运动.由图1受力分析易得手机所受合力F合=mgtanθ，此力在水平面内，即是提供手机在水平面内做匀速圆周运动的向心力，因而向心加速度大小为

ac=gtanθ

(1)

另一方面，质点做匀速圆周运动的向心力公式为F向=mω2r，因而有

ac=ω2r

(2)

式(1)和式(2)在理论上应该相等.利用本文所述自制教具(见后述图2)，手机上装载的Phyphox软件可直接测得手机做圆周运动的角速度ω和向心加速度ac，而Tracker软件可测到手机绕杆做圆锥摆运动时悬线与竖直方向的夹角θ，以及手机在水平面内做圆周运动的半径r.有了ac,θ,ω,r的实测数据，即可在误差允许范围之内，验证或者探究向心加速度表达式.

图1 圆锥摆运动的受力分析

2 向心力实验的教具制作

图2所示为可用Tracker软件和智能手机软件Phyphox验证向心加速度公式的教具实物图.

图2 教具实物图

教具主要是由一个可调速的电动机、智能手机、多股细铜丝、钢管支架和不锈钢底座(购于五金店)组成，其中可调速的电动机是由一个低速旋转电动机(200 r/min、24 V电压、36.5 mm直径、单电机)，一个直流电机调速器(CCM5D数显PWM微型直流减速电动机调速控制器)和一个直流开关电源所组成，将电动机嵌入一个内径与电动机直径相同的钢管中，并将钢管和一个不锈钢底座进行焊接，钢管的长度尽量长，多股细铜丝要足够长，以避免手机自身长度带来的误差.此外，由于原电动机自带的法兰螺母过于小，在手机旋转的时候会产生绕线的现象，故我们在法兰螺母的基础上焊接了多个法兰片(图3)，使整个转盘大于电动机的直径，解决了绕线问题.另外，悬挂手机的悬线L可用软硬适中的多股细铜丝替代棉质绳(图4)，这将有效解决手机在旋转过程中的自转问题.

图3 电动机转盘

图4 多股细铜丝

本实验装置设计合理，简单易做，成本较低，操作简便，方便携带.通过巧用智能手机软件，使向心加速度、角速度等物理量的测量变得便利，实验误差做到了最大化的控制.该教具可作为课堂演示教具，将理论概念可视化，为物理实验教学提供新思路.同时也激发了学生通过智能手机进行物理学习的兴趣，变沉溺手机的低头族为利用手机学习的阳光族.

3 向心加速度实验定量探究

现利用本文介绍的自制教具来验证向心加速度的公式，即定量探究向心加速度ac与圆周运动半径r和角速度ω两者之间的关系.在实验中我们利用控制变量法，即改变r和ω中的一个变量，保持另一个变量不变.利用手机Phyphox软件直接测量得出手机的角速度ω和向心加速度ac，利用视频分析软件Tracker测量出圆周运动半径r和悬线与竖直方向的夹角θ，通过多次实验，得出相关关系.以下是向心加速度实验的数据及结果分析.

(1)保持角速度ω不变，通过改变线长L从而改变圆周运动半径r，改变8次线长L，得出向心加速度ac与圆周运动半径r的关系(数据见表1，关系图见图5).

表1 保持角速度ω不变时改变线长L的测量数据

图5 向心加速度ac与圆周运动半径r的线性关系

(2)保持圆周运动半径r不变，通过改变电动机转速来改变角速度ω，改变5次角速度ω，得出向心加速度ac与角速度ω的关系(数据见表2，关系图见图6).

需要注意的是，本实验中的转速ω和圆周运动半径r,由于和调速电动机、悬挂物质量以及线长有关，在实验中无法做到严格的控制变量，只能做到近似不变，从表1和表2中数据即可看出.

表2 保持圆周运动半径r不变时改变角速度ω的测量数据

图6 向心加速度ac与角速度ω2的线性关系

说明：表1及表2中的ac1为Phyphox软件直接测量值，ac2为通过向心加速度公式(式2)ac2=ω2r由测量量ω,r计算出的值，ac3为物体所受合力根据牛顿第二定律(式1)ac3=gtanθ,由测量量θ计算出的值，误差1计算的是ac1与ac2之间的误差，误差2计算的是ac3与ac2之间的误差.

由图5、图6可知，向心加速度ac在ω一定时与圆周运动半径r成正比，当r一定时与角速度的平方ω2成正比.这与理论式ac=ω2r所呈现的关系非常好的吻合.需要指出的是，本实验在误差范围内分别验证了ac1=ac2和ac3=ac2，但其物理内涵并不一样.

(1)ac1=ac2：验证了向心加速度的表达式ac=ω2r，即向心加速度ac与r,ω2成正比.

(2)ac3=ac2：即验证了gtanθ=ω2r，将等式两边同乘质量m，即可得到结论：

手机在水平方向做匀速圆周运动的过程中，所受合力大小等于向心加速度大小与质量的积，即合力提供了向心力，从而说明向心力并不是如重力、电场力一样的某种性质的力，而只是一种效果力，从而厘清学生头脑中关于向心力的错误概念.

4 实验误差分析

由于本实验的各个测量量都可直接测得，所以我们的数据处理对比了向心加速度的直接测量值即ac1和利用向心加速度公式计算得出的ac2，平均误差控制在0.587%，即本装置作为定量验证向心加速度公式的演示实验，其实验效果会相当好.同时，我们也计算了ac3与ac2之间的误差，即由测量量θ计算出的向心加速度ac3和同样利用向心加速度公式计算得出的ac2之间的误差，平均误差控制在0.891%，也在合理范围之内，但后者误差稍大，分析其原因在于ac1为Phyphox直接测量值，而ac3是由视频分析软件Tracker测量的θ值而计算得到的.Tracker除了软件本身的系统误差外，还会引入视频录制过程中的人为误差.本实验的误差主要集中于以下几点：

(1)手机系统自带误差.本实验使用的是iPhone 8手机.由于手机版本不同，芯片制造商不同，最终的测量精确程度也会有所不同[4].利用手机Phyphox软件我们测量的量是向心加速度ac和角速度ω，通过陀螺仪测量角速度ω，并通过加速度计得到向心加速度ac.比如iPhone 8的陀螺仪标准偏差为0.003 3 rad/s，加速度计的标准偏差为0.009 8 m/s2，而华为P20的陀螺仪标准偏差为0.000 41 rad/s，加速度计的标准偏差为0.004 1m/s2，所以每一种型号的手机，由于芯片不同，所带来的误差也会有所不同.

(2)Tracker软件误差.利用Tracker软件测量圆周运动半径r和悬线与竖直方向的夹角θ时，测量的画面是人工选取的，且帧率最大可达80帧/秒，所以在选取画面的时候也会有一定的误差.此外，拍摄角度是否正向也会对r和θ的测量造成误差.

(3)调速器误差.直流电机调速器无法维持在一个固定值，会在一个区间内浮动，所以产生一定的误差.

(4)圆周运动半径误差.由于每个手机的陀螺仪等芯片的位置会有所不同，故我们将杆到手机中心的距离近似定义为圆周运动的半径.

以上为本实验的主要误差，由于在实验中较为细致，本实验的最大误差也只在2.1%左右，对于利用自制教具来进行的普通物理实验，已较为难得.

5 小结与教学启示

就在本文工作开展之际，笔者发现江伟欣等人基于定性探究实验的原理，设计并制作了一个定量的向心力演示装置[5]，通过电机带动钩码做匀速圆周运动，利用替代思想将压力传感器测得的压力代替拉力，从而探究影响匀速圆周运动中向心力的因素.该教具制作精美，原理简单，实验时很容易控制变量，能很好地帮助学生理解向心力概念.不过该教具制作工艺相对复杂，且用压力传感器测到的压力来替代拉力，不够直观.相比而言，本文介绍的教具制作简单，成本较低，且巧妙利用圆锥摆运动，通过简单受力分析即可直接得到向心力(向心加速度)大小，无需由压力来替代拉力，物理图像更为清晰、直观.不过由于式(1)和式(2)中的质量被约去，本教具仅可探究向心加速度ac与角速度ω和半径r之间存在的定量关系，不能探究Fc与质量m之间的定量关系.

高中课堂无法对向心加速度的理论部分有过多解释，DIS实验也只是对向心力公式做一个验证性的实验，而无法向学生们直观展示向心加速度这一物理量，且在做向心力实验时，DIS实验会由计算机直接计算给出向心力Fc的大小，缺乏让学生自主计算研究的过程.在本实验中，角速度ω和向心加速度ac可直观显示在智能手机软件Phyphox的测量界面上.通过转动调速器旋钮，学生可以明显观察到手机旋转速度的变化，结合手机界面数据的变化，可以让学生直接观察到向心加速度和角速度的实时变化过程.

除验证性实验外，本实验也可以设计成探究向心加速度ac与r和ω之间关系的探究性实验.在实验前，教师需先引导学生定性发现向心加速度可能与哪些物理量有关，待确定后，再利用控制变量法研究.与此同时，教师还可以假设向心加速度ac与圆周运动半径r和角速度ω的关系为

ac=ωαrβ

利用量纲分析法求出α=2，β=1，配合实验探究，与量纲分析结果比较，会极大地调动学生学习物理的积极性，提高学生探究实验的参与度，增强学生自我探索的兴趣.

在文本的数据处理和误差分析时，曾简单地取重力加速度g=9.8 m/s2，但当我们查阅上海当地的重力加速度数据并将g取为9.796 4 m/s2之后，发现整体误差均有了较大幅度的减少，这一事实启发我们，除验证或探究向心加速度公式外，本教具还可以提供测量当地重力加速度的新方法，可用在课外学生科技创新活动中.

最后，本实验装置的构造和组合搭建并不复杂，学生可在课下以小组形式自主完成，自行深入探究向心加速度公式，可锻炼学生的动手能力和协作能力，培养学生的科学素养.