用光电门测物体加速度的两类偏差分析*

罗章

(湖南师范大学附属中学湖南 长沙410006)

研究物体的运动时，除了使用打点计时器计时外，还常用到数字计时器.数字计时器常与气垫导轨配合使用.计时系统的工作要借助于光源和光敏管(俗称光电门).光源与光敏管相对，它射出的光使光敏管感光.当滑块经过时，其上的遮光条把光遮住，与光敏管相连的电子电路自动记录遮光时间的长短，通过数码屏幕显示出来.根据遮光条的宽度和遮光时间，可以算出滑块经过时的速度[1,2].因为这样的计时系统可以测出0.001 s的时间，并且能直接以数字显示，所以又叫数字毫秒计.

测出物体经过光电门时的速度，进而可以测定物体的加速度.人教版高中物理实验教科书必修1第一章第5节问题与练习题4如下.

【例1】为测定气垫导轨上滑块的加速度，滑块上安装了宽度为3.0 cm的遮光板.滑块在牵引力作用下先后通过两个光电门，配套的数字毫秒计记录了遮光板通过第一个光电门的时间为Δt1=0.29 s，通过第二个光电门的时间为Δt2=0.11 s，遮光板从开始遮住第一个光电门到开始遮住第二个光电门的时间为Δt=3.57 s，求滑块的加速度.

解析：普通高中课程标准实验教科书物理必修1教师教学用书给出

滑块通过第一个光电门的平均速度为

通过第二个光电门的平均速度为

则滑块的加速度

评价：以上解法将滑块通过光电门的平均速度处理为瞬时速度，再利用加速度定义求出了加速度值.

1 由时间的不精确所带来的偏差

设滑块从瞬时速度为v1到瞬时速度为v2所经历的时间为Δt′

滑块的真实加速度为a′

得到的滑块真实加速度a′略大于a，形成偏差的原因是“将遮光板通过光电门的平均速度看作遮光板前缘通过光电门时的瞬时速度”.对于a′大于a，可以通过图1来理解.取遮光板开始遮住第一个光电门为t=0时刻，图中0～t2内遮光板通过第一个光电门，时间为Δt1；t3～t5内遮光板通过第二个光电门，时间为Δt2.t1是0～t2的时间中点，t4是t3～t5的时间中点.

图1 滑块运动“速度-时间”图像

滑块匀加速通过两个光电门，可知

Δt1>Δt2

而0～t3表示时间Δt，t1～t4表示时间Δt′,则

加速度真实值公式为

注意到a与a′相差不大，若为粗略计算，所求的滑块加速度a为4.76 cm/s2是完全可以的.但时间间隔Δt′和Δt差别较大，却忽视其差别，机械地套用Δt来计算，就会导致错误.

【例2】如图2所示，为了测定气垫导轨上滑块的加速度，滑块上安装了宽度d为3.0 cm的遮光板.滑块向右匀加速直线运动依次通过两个光电门A和B.光电门上的黑点处有极细的激光束，当遮光板挡住光束时开始计时，不遮挡光束时停止计时.现记录了遮光板通过第一个光电门所用的时间为Δt1=0.3 s，通过第二个光电门所用的时间为Δt2=0.10 s，光电门从第一次计时结束到第二次计时开始经历的时间为0.30 s，则滑块的加速度应为( )

图2 测定气垫导轨上滑块的加速度

A.0.67 m/s2B.0.14 m/s2

C.0.40 m/s2D.0.22 m/s2

错解：滑块通过第一个光电门的平均速度为

通过第二个光电门的平均速度为

则滑块的加速度

66.7 cm/s2=0.67 m/s2

选A.

解析：光电门从第一次计时结束到第二次计时开始经历的时间为Δt=0.30 s，滑块从瞬时速度为v1到瞬时速度为v2所经历的时间为

滑块的加速度

正确答案选C.

评价：因题给光电门从第一次计时结束到第二次计时开始经历的时间为0.30 s，若从第一个光电门开始计时到第二次计时开始，所经历的时间就为0.60 s，再按例1方式求解其加速度为

无论是错解中的0.67 m/s2还是0.33 m/s2均与真实加速度0.4 m/s2相差甚远.究其原因，两题中Δt1与Δt2相差无几，但例2中Δt值不满足远大于通过光电门时间.

2 由位移的不精确所带来的偏差

【例3】为测定气垫导轨上滑块的加速度，滑块上安装了宽度为d的遮光板.滑块在牵引力作用下做匀加速运动，先后通过两个固定在导轨上相距为L的光电门.配套数字毫秒计记录了遮光板通过第一个光电门的时间为Δt1，通过第二个光电门的时间为Δt2.将遮光板通过光电门的平均速度作为遮光板前沿通过光电门时的瞬时速度.请回答：

(1)加速度的表达式为a=________.

(2)如果操作方法正确无误，用上述方法测得的加速度的值________(选填“大于”“等于”或“小于”)加速度的真实值.

为便于分析，在图1中标出字母A,B,…,G，如图3所示.图3中梯形OABC与GDEF的面积均等于遮光板的宽度d；梯形OADG的面积等于两光电门间距离L.H和J两个时刻遮光板的瞬时速度分别等于v1和v2.若用S1和S2表示梯形OAIH与GDKJ的面积，则L1=L-S1+S2.

图3 滑块运动“速度-时间”图像

分别过I和K作横轴的平行线PQ和MN，如图4所示.由几何关系知，矩形OPQC与梯形OABC的面积相等，矩形GMNF与梯形GDEF的面积相等.它们均等于遮光板的宽度d.用ΔS1和ΔS2分别表示三角形API和DMK的面积，则

图4 滑块运动“速度-时间”图像中的矩形和梯形

代入L1=L-S1+S2得

L1=L+(ΔS1-ΔS2)

由于ΔS1和ΔS2也分别表示三角形IQB和KNE的面积.因为遮光板做加速运动，三角形KNE的面积小于IQB的面积，则在图4中ΔS2<ΔS1,所以L1=L+(ΔS1-ΔS2)>L，进而

即a>a真，则第(2)小题答案为“大于”.

3 属于哪一类偏差问题的鉴别

在解决具体问题时，需要鉴别属于哪一类偏差.

【例4】图5为测量物块与水平桌面之间动摩擦因数的实验装置示意图，细线平行于桌面，物块和遮光板的总质量为M，重物的质量为m，遮光板的宽度为d.让物块从光电门A的左侧由静止释放.配套数字毫秒计记录了遮光板通过光电门A和B所用的时间分别为t1和t2，遮光板从开始遮住第一个光电门到开始遮住第二个光电门的时间为Δt.求物块与水平桌面之间的动摩擦因数.

图5 测量动摩擦因数实验装置示意图

解析：滑块运动的加速度为

设细线的拉力为T，物块与水平桌面之间的动摩擦因数为μ，分别以物块(包括遮光板)和重物为研究对象，根据牛顿第二定律有

T-μMg=Mamg-T=ma

联立得

评价：不考虑由时间不精确带来的偏差所得加速度应为

由前述知a′

图6 测量重力加速度实验装置

总之，光电门及与其配合使用的小球或遮光板都有一定的宽度，此时不能视为质点.最能代表光电门精确位置的是光电门的发光孔所在的位置，最能代表小球或遮光板位置的是小球球心或遮光板的前缘.这两类位置间的差异可能造成由时间的不精确或位移的不精确带来的偏差.解决这类有关问题的偏差时，需要认真鉴别，再作出准确判断.