大学普通力学实验中单摆线弹性对重力加速度测量结果的影响*

朱旭鹏 李佳楠 廖峻 薛书文

(岭南师范学院物理科学与技术学院 广东 湛江 524048)

单摆实验通过伽利略发现和研究后，在历史长河中被不断地改进和应用.当下，在大学普通物理实验教学中，通过单摆来测量重力加速度的大小同样是既简单又可以极大引起学生探究兴趣的实验项目之一[1].当一个质点用一条长度不变、质量不计的线悬挂时，可以在重力的作用下沿着某一铅垂面做简谐振动.这一被称作为单摆的结构，其运动周期可以通过经典的单摆公式来计算，周期值与摆长和重力加速度有关系.反过来，通过测量单摆的周期可以间接测量出当地的重力加速度[2].但是，事实上用来悬挂质点的摆线是具有弹性的，那么整个单摆振动过程中，弹性对摆动周期如何影响，弹性对重力加速度的测量值如何影响，是大学学生的兴趣点之一，掌握摆线弹性对重力加速度测量值的影响是充分理解单摆实验教学的重要因素.

1 参数设置及材料选择

图1 单摆结构及不同的摆线

图2 摆线测量装置及在不同负载下的长度伸长率

2 结果与讨论

图3 不同线型在不同摆长下的周期平均值

图4 不同线型在不同摆长下的周期不确定度及周期差值

以上结果表明，不同线型单摆周期平均值的变化并没有和长度伸长率变化相一致，弹性系数最小的鱼线测得的周期在大多数摆长下测得的周期处于其他两条摆线所测的周期值之间.考虑到0.2 mm铜线由于材料本身在单摆固定点具有一定的切向力，能够对单摆周期造成一定的影响，因此，我们通过鱼线和尼龙线的比较来研究摆线的弹性对单摆周期值的影响，但鱼线和尼龙线做摆线时不大的周期平均值差值无法支持摆线的弹性系数越大时，单摆周期越长这一结论.再结合摆球的质量较小，同时摆角小于5°，单摆在平衡位置对摆线的张力不大，因此，摆线的弹性对单摆周期平均值的测量有影响，但影响较小，可以忽略，这符合单摆中摆线刚性不可伸长的理想假设.

图5给出了通过单摆周期经典公式

及误差传递方程

计算的重力加速度和重力加速度不确定度.

图5 重力加速度和重力加速度不确定度

从图5可知，铜摆线所测的重力加速度在9.800～9.820 m/s2之间，大于鱼线和尼龙线测得的9.740～9.780 m/s2之间的值，鱼线测得的重力加速度在大多数摆长下稍大于尼龙线测得的值.从不确定度与摆长的关系来看，随着摆长的增加，重力加速度值的不确定度不断减小，表明单摆摆线越长，测量重力加速度时受到的外界因素越小.我们对不同线型不同摆长下测得的重力加速度及不确定度求平均，其值如图6所示.

图6 不同线型不同摆长下重力加速度平均值及其不确定度

从以上结果来看，铜线测得的重力加速度值为(9.810±0.015) m/s2，其值大于地球各点重力加速度近似公式计算的值9.782 m/s2,其近似计算公式为

其中g0是地球标准重力加速度，9.806 65 m/s2；&和h分别是测量点的纬度和高度；R是地球的平均半径6 370 km.鱼线和尼龙线测得的重力加速度分别为(9.762±0.015) m/s2和(9.757±0.015) m/s2，其值小于地球各点重力加速度近似公式计算的值，主要误差来源可能来源于摆线质量和小球半径，另外空气浮力和阻力对测试结果也有一定的影响.因此,弹性系数较小的鱼线测得的重力加速度值和弹性系数较大的尼龙线测得的值稍大，但相应不确定度的覆盖程度进一步说明，摆球质量较轻，摆角很小的单摆受摆线弹性的影响极小，可以忽略.

3 结论

本文对比了3种不同弹性的摆线对单摆周期及重力加速度测量值的影响.弹性系数最大的铜线由于在单摆顶端的切向阻力导致单摆周期偏小，重力加速度值偏大.弹性系数较小的鱼线测得的重力加速度值略大于弹性系数较大的尼龙线做摆线时的值，考虑到不确定值的覆盖度，摆线的弹性对重力加速度测量的影响很小，符合单摆理想化过程中的摆线长度不变的假设.另外随着摆线长度的增加，重力加速度不确定度减小，单摆测量实验受其他次要因素的影响越小.本结果在明确摆线弹性在单摆测量重力加速度实验过程中的影响程度，提高教师在整个实验环节中对各个影响因素把控程度方面具有一定的参考价值.

现将笔者的实验数据分别列于表1和表2中,可供参考.其中表1为负载对不同线型摆线的影响,表2为不同摆线、不同摆长的单摆周期.

表1 负载对不同线型摆线的影响

表2 不同摆线、不同摆长的单摆周期