浅谈从推理的视角思考小学计算教学

摘 要：“对算理的理解上升到推理的高度，才能达到事半功倍的效果。”小学计算教学中培养学生推理能力可以通过研读教材，分析教材中计算推理的足迹;根据教材编排，在计算教学中让学生经历推理过程;根据学习情况，在练习设计中渗透推理思想。

关键词：推理;计算教学;寻找;经历;渗透

王永春教授认为：“对算理的理解上升到推理的高度，这样才能达到事半功倍的效果。计算教学的价值不只是计算的正确与熟练，理解、体会计算中的原理、推理的思想，知识间的逻辑关系等才是更为重要的。”如何在小数计算教学中培养学生运用推理获得算理的理解与算法的掌握？笔者结合教学实践进行了新的思考。

一、 在教材中寻找推理的足迹

数的计算内容贯穿在小学计算学习的全过程，从知识结构角度分析，数的运算可分为整数的计算、小数的计算、分数的计算;从运算法则的角度分析，这三种数的运算又有着一定的联系（如小数的四则运算可从整数的四则运算法则中类比，推理）;从计算方法的视角看，各计算方法（如口算、笔算、简便计算，横式、竖式）间彼此相连。关于计算知识的编排，编者在多处渗透关联、类比，归纳的推理思想方法引导。

如，人教版四年级上册第六单元“整十、整百数除以两位数的口算”例1中的80÷20，教材通过：①实物表征（8捆小棒，每2捆分一份，一共分成4份）;②语言表征（  ）个20是80，80÷20=（  ）;③符号表征8÷2=4，80÷20=4进行编排，其用意很明显，就是要让学生先通过直观的小棒图，将“整十、整百数除以整十数的口算”转化成学过的“表内除法”知识，然后结合图，通过语言，符号表征，对8÷2=4，80÷20=4进行类比，明白计算80÷20想8÷2的道理，例2中编排一道与之相关的口算（几百几十数除以整十数），再次引导学生对例1，例2进行类比推理，通过归纳推理，抽象出“整十、整百数除以整十数的口算”的计算方法。三种方法都在引导学生将新知化成旧知，分析推理，重在引导学生用旧知分析、推理新知，理解算理，掌握算法。“表内除法”“整十、整百数除以整十数的口算”之间的联系，与类比、归纳的推理相呼应。

二、 在教学过程中培养学生的推理能力

（一）归纳推理能力的培养

归纳推理是合情推理中的一种，是一种从特殊到一般的推理方法，突出整体观察思考，比较异同，抽出共性。實际的教学中，学生通常先认识不同点，再以不同点为参照标准发现相同点，这样的思维有助于学生在思考辨析中找到共同点。

如加法交换律，人教版教材以“李叔叔准备骑车旅行为情境，根据上午骑车与下午骑车的路程，求今天一共行了多少千米？”引出两道算式“40+56=96”“56+40=96”，在此基础上引导学生通过观察算式的得数写出等式，而后引导学生观察等式左右两边的算式，照例写几个这样的算式，观察、比较、发现得出规律，这是教材中的编排。实际的教学中，可以借助李叔叔骑车情境，借助计数知识掌握其内在本质。具体教学如下：学生根据情境列出两道算式40+56=96，56+40=96后，引导学生思考：“为什么都等于96？”接着将题目改成“李叔叔上午骑25千米，下午骑71千米，求一共骑了多少千米？”学生列出算式25+71=96，71+25=96。在同一个情境中两个不同的活动，让学生初步体会到交换两个加数的位置，和不变。接着出示“40+56=56+40，25+71=71+25，40+56=25+71”三个算式，引导学生观察比较异同，识得加法交换律外在的形。而后借助数轴，从计数的角度思考，要从0数到96，可以怎么数，引导学生说数，先数到40，再往后数56;也可以先数到56，再往后数40。两种计数的顺序不同，但都是数了96个单位，从而理解了交换加数位置和不变的内在的本质。学生的归纳推理能力在教师的有意引导中得到了培养。

（二）类比推理能力的培养

类比推理是合情推理中的另一种推理方法，它是一种从特殊到特殊的推理方法。计算教学中，可将知识分模块进行类比教学，这样既可以让学生学会将新知转化为旧知，在新旧知识间建立勾联，自主建构知识网络;又很好地培养了学生的数学思想，类比推理的能力。

如，小学阶段的整数多位数乘法的笔算这一模块，涉及的内容有三年级上册的多位数乘一位数，三年级下册的两位数乘两位数及四年级上册的三位数乘两位数的学习。多位数乘法的笔算的本质是十进位值计数法的应用及乘法分配律的推广，涉及两种计算（口算和笔算），口算乘法是通过多项式将其转化成表内乘法计算，笔算乘法是根据十进位值计数法和乘法分配律将其转化成“多位数乘整十数”及“多位数乘一位数”。在三年级教学多位数乘一位数时，教师可以引导学生根据十进位值计数法及乘法的意义将其转化成表内乘法及整十、整百数乘法，如132×2表示2个132的和，即2个100+2个30+2个2，再以横式的形式出现帮助学生理解算理，132×2=100×2+30×2+2×2，此知识教学与口算乘法，整十、整百数乘法，乘法分配律，十进位值计数法，乘法的意义关联，很好地培养学生演绎推理的能力。到了三年级下册的两位数乘两位数及四年级上册的三位数乘两位数的学习时，则可以引导学生与多位数乘一位数进行类比，实现转化，进而抽象概括得出结论：不管是几位数乘几位数的整数乘法，都是根据位值计数思想及乘法分配律将其转化成表内乘法及整十、整百数乘法，其思想方法都是先分后合。至此，对多位数的笔算乘法实现了整体建构，知识，算法，算理在类比推理中实现统一。

（三）演绎推理能力的培养

在小学数学学习中，虽然不要求严格的演绎推理，但对于计算教学而言，学生理解算理，掌握算法的过程就是演绎推理的过程。

如，人教版五年级下册中关于“2，3，5”的倍数特征，在学生学习了这一知识后，安排了“你知道吗”这一内容。罗鸣亮老师所执教的这一课给了笔者深刻的启发。在实际教学中，对于2，5倍数特征的推理可以如下：判断2，5的倍数，将一个自然数根据十进位值计数法写成几个数相加的和，如，2的倍数特征可以如下引导，首先以36为例，36=30+6，因为30是2的倍数，6也是2的倍数，所以36是2的倍数，继续举几个是2的倍数的自然数，引导学生用推理36的方法进行再次推理，学生通过所举例子，观察，比较后发现2的倍数特点（只要看个位），即几十，几百……都是2的位数，如果一个自然数的个位上的数是2的倍数，那么这个数就是2的倍数。而对于5、3的倍数本质的推理，学生就能根据前面2的倍数进行类比，进而推理得出结论。在这个过程中，学生对于“2，3，5”倍数特征的认识不再浮于外在的形，而是自主关联十进位值制计数法的知识，倍数的特征等，在语言表征中进行演绎推理，有理有据。这样的教学对于培养学生的思维起到推波助澜的作用。

三、 在練习设计中渗透推理

从知识与技能层面看，练习能让学生对所学知识得以巩固;从能力发展角度思考，练习的设计更应注重对学生数学思想方法的指导。因此，练习设计要以学生的长远发展为目标，注重学生的数学思维、解决问题的能力等的培养与提升。

一方面，练习的设计既要注重培养学生的推理能力，同时也要注重学生思维的自主性，发散性的培养。如，学生在学习了小数乘法的知识后，可以让学生思考这样的题目：请独立写一道整数乘法算式，并尝试写几道与此算式相关的小数乘法算式。如，学生写出整数乘法算式23×2=46，根据题目要求写出2.3×2=4.6，0.23×2=0.46，2.3×0.2=0.46……在完成此道练习中，通过观察乘数中小数点的位置变化，结合积的变化规律或小数点位置移动变化规律、小数乘法中积小数位数的确定等知识分析，推理得到正确的积，此练习既培养了学生演绎推理的能力，又培养了学生思维发散性。

另一方面，小学数学数与代数各有特点，又彼此联系，如能借助二者的联系，将学生的思维从数的计算思维走向代数思维，注重体现思维发展的连贯性与整体性，有意沟通数与代数间的内在联系，在发展学生的计算推理能力的同时，对发展学生的代数思维，发展计算推理则有可能达到事半功倍之效。

如，人教版六年级下册的一道练习（图1），此题是培养学生关系推理的好时机。第一小题可以先引导学生将前两个算式相加，整理后得到△+○+2□=154，将第三个算式通过等量代换到△+○+2□=154，得到46+2□=154，最后根据等式的性质及解方程的知识得到□、△、○的值。到了第二小题则可以让学生用同样的思想方法推理计算。学生在教师的引导及自己的思考中完成了等量代换，关系推理，在培养学生的演绎推理的同时还培养了学生的代数思维。学生的能力再一次得到提升。

9. ○、□、△各代表一个数，根据下面的已知条件，求○、□、△的值。

四、 总结

总之，教材内容是教师培养学生计算推理的根本，在课堂教学中让学生经历计算推理过程，是理解算理、掌握算法的基础保障，练习中设计相关的计算推理是提高学生思维灵活性的必要条件。至此，学生对计算就有可能达到“知”法“明”理的水平，学生的核心素养才能真正落地生根。

注：文章系福建省三明市基础教育科学研究2019市级课题“基于‘深度学习的小学数学计算教学研究”成果（立项号：JYKT-19056）。

参考文献：

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[2]张奠宙，孔凡哲，黄建弘，黄荣良，唐采斌.小学数学研究[M].北京：高等教育出版社，2009：12-25.

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[4]曹培英.跨越断层，走出误区：“数学课程标准”核心词的解读与实践研究[M].上海：上海教育出版社，2017：123-147.

作者简介：王荣香，福建省三明市，大田县第二实验小学。