数学教学不要过度形式化

吴玉华

[摘 要]数学教学中，让学生记住重要的结论是十分必要的，数学学科本身也具有形式化的特征，数学公式和定理是高度凝练的科学语言，应用这些公式可以对号入座迅速研判问题性质，作出最正确的决策。但是，过度形式化的教学会掩盖数学知识生成的深刻原理，危害深远。

[关键词]面积;矩形;成因;形式化;生成;经历

[中图分类号] G623.5[文献标识码] A[文章编号] 1007-9068（2021）08-0033-02

在一次数学期末统考中，人教版教材第六册考卷中出现这样一道填空题：有四个边长均为26cm的小正方形，若要将它们拼装成一个大一点的正方形，这个大一点的新正方形的周长是（ ）cm，面积是（ ）cm[2];若要把它们拼接成一个新长方形，这个新长方形的周长是（ ）cm，面积是（ ）cm[2]。

测试结果显示，前面三个空学生的正确率为80%以上，而最后一个空不同班级的正确率相差很大，有的班级正确率高达90%以上，有的班级正确率低于50%，有的甚至更低，只有30%。部分正确率偏低的班级的教师辩称：要想答出最后一空，需要计算出104[×]26，学生尚未学习三位数与两位数相乘三年级，题目明显“超纲”了。

一、问题和现象成因分析

学生缘何大面积出错？挖空设计真的“超纲”吗？

乍一看，把“四个边长都是26 cm的小正方形”拼接成一个新的长方形，拼接而成的新长方形的长为104 cm，宽为26 cm，学生用104[×]26来计算面积理所当然。但三位数与两位数相乘系四年级知识，题目确实超纲了，部分学生因不会计算而出错也情有可原。但如果认真作图，就会发现事情似有转圜的余地，学生完全可以另辟蹊径，先求出一个正方形的面积，再乘4就能求出拼接成的长方形的面积。如此一来，根本无须用到三位数与两位数相乘的知识，有两位数与两位数相乘以及多位数与一位数相乘的知识就足以应付这一空，“超纲”之说不攻自破。

再者，无论把“四个边长都是26 cm的小正方形”拼成正方形还是长方形，形状虽不同，面积却不会改变。许多学生尽管能够通过52[×]52=2704（cm[2]）成功算出大正方形的面积，却不会借用这个现成的结果，推及长方形的面积，可见其思维呆板僵化。

通过以上分析可发现，解决最后一空的思路和策略是丰富多样的。那为什么有些学生会死死纠缠在“104[×]26”的计算上，而不知变通呢？出现这种僵局，教师的教学理念和方法又该承担什么责任呢？

二、过度形式化的危害

经过调研，笔者认为造成这种僵局的“元凶”就是部分教师在教学时无视知识的生成性操作而执迷于数学知识的形式化。

所谓“数学形式”，就是用特定的数学语言，包括符号、图像和文字等，揭示某种现象中蕴含的几何形态和数量关系。因此，“数学形式化”就是一种用数学符号进行的数学表达。这种表达方式需要将客观现象进行概括、编码、加工和转译，其本质只是记录数学理论信息的一种符号化载体。数学知识一旦形式化，其内容具有牢固性、结果具有归纳性、格式具有简练性、运用具有广阔性、转化模式具有实验性。

形式化是数学的本质特征之一，这一点很多教师都有深刻认识，也没有任何质疑。但不少教师却在教学中深陷于形式化的泥潭，过度追求和依赖这种形式化，反受其害，给学生的发展造成不良后果，其主要表现为以下三点：

1.唯教材是从

部分教师在备课时常常照本宣科，奉教材为圭臬，亦步亦趋地按照教材的组织结构来编排知识呈现顺序，新旧知识的连接点和生长点全部按照教材的逻辑来设定，乃至到设计教学时仍然延续这种程序，枉顾学生的知识存量和技能储量，以及实际认识水平。如此设计教学，忽视学生的“经验作用”“自学能力”“操作能力”，极易造成经验与知识的脱离，学生学起来也费时费力。

2.重视结论轻视经历

一是引入新知时，对实际情境运用失当。有的教师生怕实际情境会转移分散学生注意力，常常在实际情境尚未转化为数学情境时，就急忙让学生去分析探究，硬生生地切入形式化教学。此举无异于杀鸡取卵，学生已有的知识经验尚未融入数学知识，学生还没有从实际情境中抽象出数学模型，发现问题、提出问题的思维流程还没有有序展开，实际情境就结束了。诚然，实际情境不一定非用不可，如果用了而没有用尽，则不如不用。

二是探究新知时，过分吝惜学生的理解时间。教学中有的教师妄图以最迅猛的节奏，最短促的步调来推出形式化的数学结论，严防学生“节外生枝”，因而其教学方法苍白无力。学生没有充分思考揣摩，学习缺乏主动性、参与性和完整性，学生对知识本质的理解是浅薄、模糊的。如教学长方形面积计算公式的推导时，不少教师轻视直观操作，只是将几个长方形的面积数据罗列出来，让学生走马观花地观察浏览一遍数据，火速得出结论。这种急功近利式的教学导致学生囫囵吞枣，对几何意义不求甚解，只是盲目模仿。

三是深化认知时，没有引导学生确认和辨析知识。如在引导学生探究长方形面积的算法时，一些教师没有利用“图形面积大小就是图形包含单位面积的个数”这一地基式原理，使得不少学生仍然质疑“探究长方形面积的算法”的必要性，“长方形的面积=长[×]宽”的合理性也受到动摇，学完之后，不少学生将长方形面积公式与周长公式弄混，这都是过度追求形式化惹的祸。

3.应用时重经验轻思考

数学知识形式化后，其应用操作就是行为模式。人的行为模式有两种，一种是深度脑力支配的行为模式，一种是浅表脑力支配的行为模式。一般情况下，学生解题时应用的是后一种行为模式。该模式的优势是，学生精力容易聚集于问题核心，然后凭借经验在形式化的条件反射下开始运算，按照惯性思维完成解答。甚至有的题学生可以不假思索就答出。因此，不少教师都倾向于对学生进行形式化结论的培训，提高教学效率。但这一举措也有危害，知识的过度形式化会让学生养成思考上的惰性，久而久之就会造成思维上的迟钝、理解上的麻木，习惯于“熟能生巧”，经验驱使解题，当面对新情况新题型时，学生就会束手无策。这从前文测试题最后一空的答题情况可以看出端倪。

三、问题的解决策略

那么，教学实践中，该如何避免知识的过度形式化呢？笔者以为，教师应建立以下两点认识。

1.形式化要以深刻理解为前提

首先，任何教学情境的创建，都应与新知挂钩，且应该具有思考性、启发性、诱导性。其次，应让学生尽情探究，让学生“畅游”知识的生成过程，在直观的基础上进行抽象，概括出数学结论。再次，在知识应用时，必要时教师可瞬时重现知识推导过程，强化学生的认知。最后，要注重知识体系的建构，辅助学生实施知识系统的构建，培养学生认知迁移与实践应用能力。

2.数学形式化程度要分层次

學习的本质就是一个经验转化成理论的过程，理论仍需实践来检验和坐实。因此数学形式化要分层次，要符合学生的身心特征，应循序渐进。如分数的形式化程度，中学阶段与小学阶段的要求就大不相同，即便同是小学阶段，三年级与五年级的要求也不尽相同，即使对于同一年级，对不同学生的要求也不一样。若搞“一刀切”，则会层次错乱，显然是违背学生认知规律的。

数学知识一般以数学符号或术语来读写，形式化是其本质特征也是学习的基本要求。但对于某些数学结论的形式化，教师也要结合学生的认知水平灵活处理，不可过激。

（责编 吴美玲）