加入“相差百分率”，让百分数知识结构更稳固

姜俊波

[摘 要]路程、速度、时间是行程问题中的三个元素，只要存在其一个，另外两个必然伴随，因而三者构成的是一个互为犄角、相互依存的三角结构。像这样的逻辑结构在数量关系中不胜枚举，而这也是数学学科的一大特性。在百分数知识结构中，相差百分率、比较量和参考量三者也构成一个三角结构，在百分数中加入相差百分率，让百分数知识结构更稳固，知识条理也更清析。

[关键词]探源;基准;分数;分率

[中图分类号] G623.5[文献标识码] A[文章编号] 1007-9068（2021）08-0018-02

百分数应用题中也存在类似行程问题中的三角结构关系。因此，教师在教学中要有意识地培养学生运用数量关系的自觉性，以便学生能够完整理解百分数的相关知识，做到融会贯通。下面以北师大版教材为例，就百分数教学中遇到的困惑提出一点浅见。

一、教材结构分布情况探源

为方便叙述，下文统一以“比较量”和“参考量”表示两个数量，“相差几分之几”称为“相差分率”，“相差百分之几”称为“相差百分率”。

分析上表，笔者发现一个奇怪的现象：在分数应用题里只出现比较量、参考量二元结构，没有形成一个稳定的“三角结构”，“相差分率”这个元素严重缺位，到了百分数应用题中，“相差百分率”又突然冒出来，原来的二元结构忽然变成“三角结构”，而且求相差百分率的知识甚至比求比较量和参考量的知识还要提前。这种倒序的教学安排不得不令笔者困惑。

二、诊断病因，解除困惑

1.为何分数应用题中鲜有“求相差分率”题型？

综观各版本小学数学教材，在分数应用题中有关“求相差分率”的题型几乎没有，只有在人教版（2002年）中隐约寻觅到其踪迹，该版本教材中有“樱桃树15棵，李子树20棵，李子树的棵数比樱桃树多几分之几”的练习题。在日常口语交际中，人们习惯用百分率来指代两个数字的相差分率，这种约定俗成的用语，切合了课程标准下教材在编写之初的宗旨和方针，让学生在“解决实际问题”的过程中关注生活经验，还原生活实景，尊重人们的生活规律和习惯，杜绝与世隔绝做数学题的陋规。正因如此，“求相差分率”类型的应用题在新版教材中销声匿迹了。

2.为何先学“求相差百分率”？

站在学生的角度上看，百分数应用题中“求比较量”和“求参考量”比“求相差百分率”简单得多，为什么舍易求难、舍近求远，先学“求相差百分率”呢？在分数应用题中，“求相差分率”的题型一直处于断层状态，到了六年级，学生首次接触百分数应用题中的“求相差百分率”类型的题目时就有些始料未及，失去知识铺垫的教学孤立无援，开展起来也异常艰难。换一种思路，同样是百分数应用题，其中“求比较量”和“求参考量”两种题型，因为有了分数应用题的练习成果作为基石，学生只需要将分数应用题中“求比较量”和“求参考量”的相关知识迁移到百分数中即可，这对学生来说比较容易理解。

3.为什么百分数中“求参考量”的习题只出现在“百分数应用（三）”的“练一练”中？

因为求参考量是一个倒推的过程，需要用到逆向思维。当一个题目告知比较量时，必定同时告知比较量与参考量的相差百分率，而这个相差百分率具有反向作用。顺向思考采用的是方程解法和单位“1”解法，而逆向思考时都必须转换角度和数据，才能解答，这两种思维学生的掌握都欠火候。从前文中的统计表中不难发现：百分数应用题中的“求参考量”题型用“成数”来表示相差百分率，自从在“练一练”中首次露面后，就一直被教材沿用。这其中也存在争议，因为这种表述方式会影响教师对教学重难点的把握。

当然，情况也不全是这样，青岛版教材就是例外，只出现表格中前三种题型，而删减了百分数中关于“求比较量”和“求参考量”的题型。业界一致认为，教材在编排上的原意是用这三种基本题型来搭建百分数应用题的逻辑结构。

三、补充相差百分率，完善知识结构

1.分数应用题中“求相差分率”的存在是合理的。

“比较量a”“参考量b”和“相差分率c”三个量是互为支撑的三角结构，它们的内在联系十分紧密：（a-b）÷b=c、b×（1+c）=a，a÷（1+c）=b。在生活中，“相差分率”很少被提及，学生的相关经验不足;又因为涉及“相差分率”的问题是两步计算的题目，所以理解起来阻碍重重，但为了学生的技能发展考虑，就必须让学生掌握。同时，“求相差分率”的算理也是理解“求相差百分率”的基础。教师有时也难免陷入误区，即将教材中百分数知识的三大题型划分为两类：一类是求分率（倍率），即求两个实量的分数形态的差距，如“求一个数比另一个数多（或少）百分之几”;另一类是根据两个实量的差距求其中一个未知實量，如根据已知的“比较量”和“差率”来求未知的“参考量”，或者根据已知的“参考量”和“差率”来求未知的“比较量”。如果只是这样简单粗陋的分类，那么对学生知识体系的建构和逻辑思维的发展是相当不利的。

2.要先易后难，建构知识体系。

不管教材出于何种考虑，也不管编者出于何种用意，无论是为了符合生活实际，还是为了减轻学生负担，教师都要对这一类应用题的训练规则了如指掌。

教学“求相差百分率”时，教师一定要对学生说明学习“求相差百分率”这种题型的必要性。这不是教师故意增加学生的学习负担，而是要引导学生主动将“比较量”“参考量”和“相差分率（或相差百分率）”三个量合体，建构规范的数量关系公式。

在教学百分数应用题“求比较量”后，教师应及时教学“求参考量”，在“相差百分率”的牵引下，将二者来回推导，这样做也能保证六年级上册教材“百分数的应用”和五年级下册教材“分数混合运算”形成“大一统”的局面。当然，如果从学生的认知起点看，将“求相差百分率”后置于“求比较量”和“求参考量”，也是一个很好的补救措施。

尊重教材，但不唯教材是从。我们一线教师应该着眼知识本质，积极探寻重点知识，并从中窥探知识的整体框架和教学规律，有效提升学生的思维水平，同时也提高自己的教学水平。

（责编 李琪琦）