在一般观念引领下探索空间几何图形的性质——“立体几何初步”内容分析与教学思考

章建跃

(人民教育出版社 课程教材研究所 100081)

在义务教育阶段，学生学习的“图形与几何”内容主要有：空间和平面基本图形的认识，图形的概念、性质和度量；图形的平移、旋转、轴对称、相似和投影；平面图形基本性质的证明；运用坐标描述图形的位置和运动；等等.学生在掌握“图形与几何”的基础知识、基本技能的同时，空间观念得到了一定发展，在借助图形思考问题的过程中，初步建立了几何直观.因为初中几何课程主要以平面图形为研究对象，所以在高中几何课程中，首先需要建立基本立体图形的概念，认识点、直线和平面的位置关系，在此基础上再用适当的工具和方法展开空间图形性质与关系的研究.

实际上，立体几何所运用的数学思想方法与平面几何没有本质差别，不同的是研究对象，特别是要在一张纸上处理空间图形，借助“理念作图”展开思考，导致其抽象程度提高，对直观想象、逻辑推理和数学运算等方面的要求都大大提高了.

1 课程定位

课程标准提出：立体几何研究现实世界中物体的形状、大小与位置关系.本单元的学习，可以帮助学生以长方体为载体，认识和理解空间点、直线、平面的位置关系；用数学语言表述有关平行、垂直的性质与判定，并对某些结论进行论证；了解一些简单几何体的表面积与体积的计算方法；运用直观感知、操作确认、推理论证、度量计算等认识和探索空间图形的性质，建立空间观念.本章的内容有基本立体图形、基本图形位置关系、几何学的发展.

分析课程标准的上述表述，可以得出如下认识：

第一，立体几何的研究对象是空间图形(1)课程标准在这里的表述是“立体几何研究现实世界中物体的形状、大小与位置关系”，笔者觉得这是一个“笔误”.现实世界中的物体不是几何的研究对象，几何的研究对象是从现实世界中抽象出来的空间形式，这种空间形式在现实世界中并不存在，例如现实世界中是不存在数学中的“直线”、“平面”这种东西的.，研究内容是图形的形状、大小和位置关系，研究顺序是先从现实世界中抽象空间图形获得几何对象，再对其形状、大小和位置关系等性质展开研究.在本单元中，形状、大小是对有界图形(柱、锥、台、球等)的研究，位置关系是对点、直线、平面的研究.

第二，在认识点、直线、平面的位置关系中，长方体是一个好用的模型；直线、平面的位置关系主要研究平行、垂直的性质与判定，其重点是用数学语言(日常语言、符号语言和图形语言)表述和论证.之所以将位置关系的研究聚焦在平行和垂直上，是因为“在空间的种种性质中，最为基本而且影响无比深远者，首推对称性和平直性”，而平直性和对称性在立体几何中的表现，“乃是空间中的‘平行’与‘垂直’以及两者之间的密切关联.其实平行与垂直乃是整个定量几何基础所在，当然也就是读者学习立体几何的起点与要点所在.”([1]，p.101)

第三，就像平面几何中的度量问题一样，只要有了简单几何体的表面积和体积的度量公式，其组合体的度量就可以利用这些公式进行化归.

第四，对空间图形性质的研究，通过直观感知、操作确认、推理论证、度量计算，可以实现由表及里、从定性到定量的认识，在不断深化对空间图形认识的过程中，可以使学生逐步建立空间观念.

2 本单元内容与要求

1.基本立体图形

(1)利用实物、计算机软件等观察空间图形，认识柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征，能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.

(2)知道棱柱、棱锥、棱台、球的表面积和体积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题.

(3)能用斜二测法画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱及其简单组合)的直观图.

2.基本图形位置关系

(1)借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义，了解以下基本事实和定理.

基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面.

基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内.

基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.

基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行.

定理：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.

(2)从上述定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行和垂直的关系，归纳出以下性质定理，并加以证明.

①一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行.

②两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行.

③垂直于同一个平面的两条直线平行.

④两个平面垂直，如果一个平面内有一条直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直.

(3)从上述定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行和垂直的关系，归纳出以下判定定理.

①若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行.

②若一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行.

③若一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线与此平面垂直.

④若一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.

(4)能利用以上已获得的结论证明空间基本图形位置关系的简单命题.

3.几何学的发展

收集、阅读几何学发展的历史资料，撰写小论文，论述几何学发展的过程、重要结果、主要人物、关键事件及其对人类文明的贡献.

由课程标准的上述内容和要求可以发现，立体几何初步的教学重点并不是要建立结构完善、逻辑严密的立体几何知识体系.对柱、锥、台、球等空间几何体，强调从整体到局部、从具体到抽象的原则，通过丰富的实物模型或利用计算机软件呈现空间几何体，帮助学生认识它们的结构特征，进一步掌握在平面上表示空间图形的方法和技能，逐步形成空间观念.这就意味着，这里只要掌握柱锥台球的基本概念，不要求掌握它们的性质.空间图形的性质将在选择性必修中以向量为工具进行研究.

对于点、直线、平面等基本图形的位置关系，强调通过对长方体等图形的观察和操作，发现和提出描述基本图形平行、垂直关系的命题，逐步学会用准确的数学语言表达这些命题，直观解释命题的含义和表述证明的思路，并证明其中一些命题；对相应的判定定理，只要求直观感知、操作确认，在选择性必修课程中再用向量方法对这些定理加以论证.

几何学的发展历史悠久，课程标准在这里安排了一个与数学史、数学文化相关的选学内容，让学生通过查阅几何学发展的资料、撰写小论文，在论述几何学发展历史、重要结果、主要人物、关键事件及其对人类文明的贡献等过程中，提高对数学的科学价值、应用价值、文化价值和审美价值的认识.

3 内容的理解与教学思考

3.1 基本立体图形的结构特征

1.定义几何图形的数学方式

高中立体几何课程的研究对象可以分为两类，一类是基本立体图形，包括柱、锥、台、球及其组合体，它们是“有界图形”；一类是点、直线和平面，它们是最基本的空间图形，直线、平面都具有无限延展性.定义这些数学对象的数学方式是怎样的呢？我们可以分析一下几何图形的定义，看看它们有哪些共性.

三角形：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形，边、顶点、内角是其基本元素，外角、高、角平分线、中线、中位线是相关元素；

多边形：在平面内由一些线段首尾顺次相接组成的图形，边、顶点、内角是其基本元素，外角、对角线等是相关元素；

多面体：由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体，面、棱、顶点等是其基本元素；

棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱，棱柱的底面、侧面、侧棱、顶点等是其基本元素；

棱锥：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥，棱锥的底面、侧面侧棱、顶点是其基本元素；等等.

从以上定义可以发现，定义直线型图形、多面体图形的数学方式是：

利用组成图形的基本元素，将基本元素的形状、位置关系作为刻画图形结构特征的“要件”.

所以，认识一类立体图形的结构特征，就是抽象这类图形的组成元素及其形状和位置关系，并用准确的数学语言予以表达.教学中可以先引导学生回顾三角形、平行四边形以及圆等的定义，帮助学生总结出定义几何图形的数学方式，再让他们以此为指导去观察相应的实物、模型，并利用计算机软件展示更丰富的几何图形帮助学生进行多角度观察，在充分地直观感知的基础上再进行本质特征的抽象，得出基本几何图形的结构特征.

2.如何研究几何体的结构特征

几何体的结构特征从定性描述、定量刻画两个角度展开，因为定量的要求较低，而且是基于定性性质的，所以这里着重就定性描述进行讨论.

数学思想：几何体的结构特征有多种表现形式，选择刻画一类对象的充要条件作为定义，且要求包含的要素关系尽量少，实现对几何图形的数学抽象.再以此为出发点，研究其他特征，获得几何体的性质.

研究内容：以“属+种差”的方式对几何图形进行“从粗到细”的分类.

过程与方法：从观察与分析一些具体几何图形组成元素的形状、位置关系入手，归纳共性，抽象出分类标准，再概括到同类图形而形成抽象概念.

研究结果举例：

几何体的分类——以几何体的表面特征(是否都为多边形)为分类标准，把空间几何体分为多面体、旋转体.

多面体的分类——以组成元素的形状、位置关系为分类标准分为棱柱、棱锥、棱台等等.例如：棱锥有一个面(底面)是多边形，其余各面(侧面)都是三角形，这是组成元素的形状；三角形有一个公共顶点，这是组成元素的位置关系.

对一类多面体的分类——以这类多面体的组成元素的某种特征或关系为标准进行分类.例如，以棱锥底面多边形的边数为标准将棱锥分为三棱锥、四棱锥、五棱锥……；以底面多边形的形状+顶点在底面的正投影的位置为标准，分为正棱锥和非正棱锥；等等.

另外，还要对一些特殊的图形进行特别的研究，例如正多面体.

可以看到，对几何体结构特征的认识是通过分类完成的.分类是理解数学对象的重要一环.一个数学对象的具体例子不胜枚举，按某种特征对它们“分门别类”，就使这一对象所包含的事物条理化、结构化，并可由此确定一种分类研究的路径，使后续研究顺序展开.

分类就是把研究对象归入一定的系统和级别，形成有内在层级关系的“子类”系统结构，从而就进一步明确了数学对象所含事物之间的逻辑关系，由此可以极大地增强“子类特征”的可预见性，从而也就有利于我们发现数学对象的性质.

3.关于作图

首先明确一个观点，即：作图是立体几何学习的“第一大事”， 在纸上画立体图形，是培养直观想象素养的重要契机.所以，立体几何教学中必须要求学生“认真读题，根据题意先作出直观图”，并且要把图画得尽量准一点，以利于看出各种关系.然而，观察当下的课堂，发现“导学案”中不仅给出了命题，而且画好了图形，学生已经不需要“根据题意作出图形”了.鉴于目前“导学案”泛滥的实情，几何课不要求学生作图的做法应该不是个案.我们认为，这是导致当前立体几何教学质量不高的主要原因之一.

关于立体几何作图对培养直观想象素养的意义，我们可以与平面几何作图比较一下.

首先，平面几何作图在一个“平的面”上进行，一张纸、一块黑板都是这样的一个面，因此平面图形可以在纸上或黑板上用直尺、圆规真实地画出来，但立体几何作图做不到.因为立体图形是三维的，而“三维纸”或“三维黑板”是难以提供的.

其次，平面几何作图中，我们可以利用直尺和圆规完成那些“基本作图问题”，例如用直尺在纸上画出两点所决定的那条直线的局部，用圆规画出给定圆心和半径的圆；但在立体几何作图中，我们没有这样的工具能方便地画出不共线三点所决定的那个平面的局部，只能画“示意图”，而这种图原则上并不唯一.

第三，立体几何作图是“在二维平面上作三维立体图形”，在本质上是“理念作图”.作出的“直观图”可以引导我们想象它所代表的“真实图形”的样子，但它不是平面几何中那样的实在图形.

在立体几何中，我们真正在做的是把某种真实存在的立体几何事物，在理念中逐步分解成平面上某些特定的平面图形的组合来加以明确刻画.正如项武义先生指出的：这种理念作图是在训练如何把立体几何中的基本图形归于平面几何作图来加以分析，唯有通过这种理念作图的练习，才能学会如何有效运用所学的平面几何知识去理解空间的本质.我们与生俱来的视觉是具有相当好的空间想象能力的，但是要把它提升到对于空间图形及其所蕴含的空间本质的洞察力，这种训练是不可缺少的！([1]，p. 113-114)

所以，在二维平面上画三维图形，对培养学生直观想象素养的意义是基本而重要的，对培养学生严谨的思维品质、优良的学习习惯以及审美情趣等也有作用.我们应该立即改变不重视作图的错误做法，在获得几何对象、定义概念、发现性质等各个环节中都要加强“理念作图”的训练，并在解题教学中把“根据题意作出图形”作为第一步.

4.“基本立体图形”的育人价值

“基本立体图形”的学习，理性思维的要求不高，以直观感知、操作确认的方式为主，通过对基本立体图形的分类，达到对柱、锥、台、球结构特征的认识.从数学思想和方法的角度看，本单元的教学应关注如下几个方面，这也是本单元的主要育人价值所在：

(1)掌握描述几何体结构特征的方法——以几何体的表面组成元素、形状、位置关系为“要件”得出结果；

(2)形成数学地认识、刻画几何图形结构特征的能力——抓关键要素及其基本关系(平行、垂直(对称))；

(3)掌握描述事物特征的逻辑方法——以“属+种差”的方法对一类几何体进行逐层分类，从而有序地、有逻辑地认识事物的特征，培养理性思维.

3.2 基本图形的位置关系

本单元的整体架构是：平面——直线、平面的平行(平直性)——直线、平面的垂直(对称性).这是在定义空间基本图形的基础上，按位置关系逐类展开研究.研究过程中渗透着公理化思想，而对平面基本性质的描述(几何原始概念的定义方式)、基本图形位置关系的分类中体现着数学地认识事物的思维方式，对发展学生的理性思维能起到非常积极的作用.

1.平面

点、直线、平面是构建几何图形的基本材料.根据欧氏几何公理体系的要求，对点、直线和平面等基本图形特征的描述是立体几何的出发点.这种处于原始出发点的图形特征的描述往往很困难，因为这有“从无到有创生几何”的味道.这里的任务就是要设法描述清楚直线的“直”、平面的“平”到底是怎么回事.根据数学地刻画一个事物的基本方式，我们可以通过直线、平面的组成元素之间确定的相互关系(位置关系)进行描述，实际上这也就给出了“平面的基本性质”.

显然，直线AB上的点、线段与直线AB有如下基本关系：

以上以“两点之间线段最短”为出发点，讨论了直线上的点、线段和直线的基本关系，即“∈”、“∉”、“⊆”等，这种关系体现了直线的“直”的含义，也就是“直线的基本性质”.

一脉相承地，我们可以用这种思想方法讨论平面的“平”.

其次，看直线与平面的关系.显然，直线与平面的最基本关系是“直线在平面内”.那么到底需要直线上几个点在平面内就可以确定直线在平面内呢？由“两点确定一条直线”容易想到只要两个点即可，这就是“基本事实2”的内容.

再次，看平面与平面的关系.到处存在的直观材料和直觉经验告诉我们，两个平面有一个公共点，那么就有过这个公共点的一条公共直线，也就是说，两个平面不可能只交于一个点，这就是“基本事实3”的内容.

由基本事实2，3可以发现，直线的“直”和平面的“平”具有内在的一致性.另外，反思刻画“直”、“平”的过程可以发现，得出“基本事实”的思想方法，是从“最少条件”出发来考虑的，这是数学的基本手法.

顺便指出，平面的基本事实及其推论的教材具有研究内容、过程和方法的统一性，都由三个环节组成：生活实例——基本事实——三种语言表示，教学时要注意加强实践性，让学生多想、多说、多画.另外，关于“基本事实”，还可以引导学生进行多角度理解.例如：

不共线三点确定一个平面：如果两个平面有三个不共线的公共点，那么它们重合；

“两条相交直线确定唯一一个平面”与“平面内两个不共线向量组成一个基底”异曲同工；等等.

2.如何定义基本图形的位置关系

为了概括定义基本图形位置关系中使用的数学思想方法，我们把空间直线、平面位置关系的定义放在一起，分析一下它们的共性.

空间两条直线的位置关系：

直线与平面的位置关系：

直线在平面内——有无数个公共点；

直线与平面相交——有且只有一个公共点；

直线与平面平行——没有公共点.

两个平面之间的位置关系：

两个平面平行——没有公共点；

两个平面相交——有一条公共直线.

可以发现，定义基本图形的位置关系，先从两个图形有无公共点及公共点的个数上进行分类，当仅从公共点角度不能确定位置关系时，再利用“公共直线”.

我们知道，点是0维的，是直线、平面的基本组成元素；直线是1维的，是平面的组成元素；平面是2维的.“公共点”、“公共直线”都是几何图形组成元素的一种相互关系.

所以，空间基本图形位置关系的定义方式是：

通过基本图形组成元素的相互关系定义它们的位置关系.

这样的定义也是基于直观的.基本图形的位置关系中，异面直线的定义比较“拗口”，“不同在任何一个平面内的两条直线”就是这两条直线既不平行也不相交.在一个平面内，既不平行也不相交的两条直线是不存在的.

空间直线、平面位置关系的教学，首先要利用好长方体模型，帮助学生建立相应的直观形象基础.其次，要重视“三种语言”的教学，要让学生动

脑想、动嘴说、动手画.特别是画图，要让学生在观察相应的实物模型、动手操作等基础上进行作图，使学生体会如何才能使所作图形具有直观性.例如，可以要求学生作出不同的异面直线示意图(如图1就是三种直观性较好的示意图).

图1

(未完待续)