数学核心素养为导向的测评研究——以2020年高考数学全国卷为例

陈振坤，贾积身

(河南科技学院 数学科学学院，河南 新乡 453003)

教育评价事关教育发展方向，有什么样的评价指挥棒，就有什么样的办学导向[1]。“唯分数”和“一考定终身”长期制约着我国基础教育的发展，成为新时代教育评价健康发展的桎梏，亟待破解。2018年9月10日，习近平总书记在全国教育大会上强调：“要深化教育体制改革，健全立德树人落实机制，扭转不科学的教育评价导向，从根本上解决教育评价指挥棒问题。”[2]这从本质上回答了教育评价的价值取向问题。2020年10月，中共中央、国务院印发了《深化新时代教育评价改革总体方案》(以下称《方案》)，进一步明确了新时代深化教育评价机制改革的指导思想[1]。《方案》提出了改革学生评价的7项措施，其中关于深化考试招生制度改革明确要求：“构建引导学生德智体美劳全面发展的考试内容体系，加快完善初、高中学生综合素质档案建设和使用办法，逐步转变简单以考试成绩为唯一标准的招生模式等。”旨在破除“唯分数”和“一考定终身”的弊端，树立科学的教育发展观，推动构建服务全民终身学习的教育体系。

高考作为全国大考，是教育评价的载体。本文以2020年高考数学全国卷为样本，在高考评价体系的基础上，利用多元统计方法汇总、测算了试卷核心素养的水平值，全面分析了全国卷的知识点分布、素养层次和难度水平，构建了关于核心素养的线性回归模型。从以上文件可发现，实施基于数学核心素养发展的高考命题考查改进策略和教学方法，是推进素质教育并引导学校树立科学的教育发展观，推动新时代教育评价健康发展的必要途径。

一、研究设计

基于数学核心素养和高考评价体系等，以2020年高考为例，选取全国适用地区最多、范围最广的数学全国卷文、理科(Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ)共6套作为研究对象，具体设计包括相关理论基础、研究对象、研究框架和指标三部分。

(一)相关理论基础

学生发展核心素养是指学生在接受教育的过程中，逐步形成适应性的必备品格和关键能力[3]。在《普通高中数学课程标准(2017年版)》中，明确了数学学科的六大核心素养,即数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象、数学建模、数据分析[4]4-8，这为学生数学核心素养培养指明了方向。

目前，关于数学学习评价的模型主要有学习评价模型、PISA测试、SOLO分类理论。这些模型共同出发点都是从学生发展的角度，根据学生在解决问题时的表现划分出不同的水平。教育部考试中心立足基本国情、遵循教育规律、坚持改革创新，构建了基于学生德智体美劳全面发展要求的高考评价体系[5]2-8。高考评价体系由“一核”“四层”“四翼”三部分内容有机构成，其中“一核”为考查目的，即“立德树人、服务选才、引导教学”；“四层”为高考考查内容，即“核心价值、学科素养、关键能力、必备知识”；“四翼”为考查要求，即基础性、综合性、应用性和创新性(体系结构如图1)。高考评价体系是高考内容改革和命题工作的理论基础和实践指南[6]。相对于高考评价体系，高考数学考查的学科素养是对评价体系的学科化和具体化，具有数学的特点和数学考试评价的特点，相对于数学课程标准提出的核心素养，高考数学考查的学科素养更为概括和凝练[7]。

图1 “一核四层四翼”高考评价体系结构和学科素养“3+9”指标体系

(二)研究对象

基于数学核心素养和高考评价体系等理论，以2020年高考为例，选取高考数学全国卷文、理科(Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ)共6套作为研究对象。根据2020年高考数学全国卷(Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ)试题题型结构(见表1)，详细研究2020年高考全国卷的各个试题并标定各个题目所考查的核心素养水平值、构建核心素养考查权重表，为深入分析高考数学试卷的知识分布、核心素养水平和构建文、理科核心素养关联模型提供依据。

表1 2020年高考数学全国卷题型

(三)研究框架与指标

核心素养测评的研究明确了数学学科核心素养的内涵，突出了数学学科核心素养的特征，选取了数学学科核心素养的构成要素，提出了数学学科核心素养的教学策略，开展了数学学科核心素养的测评探讨[8][9]66-74[10-12]，但也存在概念关系尚未厘清、测评框架尚未精准构建等问题。以六大核心素养为出发点，以高考评价学科素养“3+9”指标体系为覆盖面，设计如下立体式数学核心素养水平分析框架，如图2所示。

图2 立体式数学核心素养水平分析框架

本文在喻平提出的核心素养评价框架[13]基础之上，结合新时代高考评价体系中的学科素养指标体系，构建了核心素养各个水平的分析指标，如表2所示。

表2 核心素养分析指标

二、研究过程

根据确定的分析指标体系，首先对2020年高考试卷具体的试题标定不同素养类别及不同水平指标的数值，然后利用多元统计方法汇总、测算试卷核心素养的水平值，构建数学核心素养考查权重表。

(一)2020年高考数学核心素养考查权重表的构建

限于2020年全国高考数学全国卷试题数量较大，共138道题目，无法一一列出。选取2020年高考数学全国卷(Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ)部分试题，分析如下。

1.2020年高考数学核心素养水平值的标定

例1，2020年全国Ⅰ卷文科第7题素养考查分析：题目主要考查了三角函数的性质转化技巧及三角函数周期公式，属于中档题。题目分值为5分，属于知识迁移中的应用、表达，因此标定为数学抽象水平A2-5。

例2，2020年全国Ⅱ卷文科第4题素养考查分析：题目以“战疫”科学入题，体现志愿精神。主要考查函数模型的简单应用，属于基础题。题目分值为5分，因此标定为数学建模M2-5。

例3，2020年全国Ⅲ卷文科第16题素养考查分析：题目可转化为求解圆锥内切球的问题，然后结合截面确定其半径即可确定体积的值。考查几何直观、运算求解能力，是一道中档题。题目分值为5分，因此标定为数学运算水平C2-2.5和直观想象I2-2.5。

总结：与球有关的组合体题目，一种是内切，一种是外接。解题时要先分析图形，明确切点和接点的位置，再确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图[14]。

例4，2020年全国Ⅰ卷理科第21题素养考查分析：题目涉及的知识点有两个：(1)应用导数研究函数的单调性；(2)分类讨论，分离参数，构造函数确定参数的取值范围。题目分值12分，本题综合涵盖了数学抽象、数学运算和数学建模的核心素养，依次标定为A2-4、C2-4、M2-4。

总结：导数是研究函数的单调性、极值(最值)的有利工具，函数是高中数学的重点、难点。导数大题重点考查学生的分类讨论思想、数形结合思想、函数与方程思想、转化与化归思想及应用意识和创新意识；突出考查学生的直观想象、数学抽象、逻辑推理、数学运算等数学核心素养[15]。

为全面分析2020年全国卷数学试题的素养考查情况，对文、理科共6套试卷138道试题素养考查情况进行研究，涉及两个及以上素养的题目，按照题目分值平均分配，其中全国Ⅰ卷文、理科素养考查题目结果汇总如表3所示。

表3 2020年高考全国Ⅰ卷数学核心素养考查题目汇总

2.2020年高考数学核心素养考查权重表的构建

根据图2的数学核心素养水平框架对2020年全国卷文、理科6套卷共138道试题考查的素养水平分数标定并统计[16]，然后转换成各个核心素养水平分数占整套试卷总分的权重值(保留三位小数)，分别统计18个核心素养指标权重值在6套试卷中的均值与总和，进而汇总六大核心素养的考查权重结果，如表4所示(以下简称“数学核心素养考查权重表”)。经过文、理科分类处理，并计算文、理科六大核心素养总的权重值，结果汇总如表5所示。

表4 2020年高考全国卷数学核心素养考查权重

表5 2020年高考全国卷数学核心素养考查权重汇总 %

史宁中提到数学最核心的三大特征要素是抽象、推理、模型，数学基本思想是数学核心素养体系的基石[17]。根据表5可以发现，数学抽象素养占17.1%，逻辑推理素养占21.0%，数学运算素养占40.7%，直观想象素养占8.6%，数学建模素养和数据分析素养分别占5.2%、7.4%。这表明6套试题从抽象、推理出发考查了数学基本思想，由于试卷题目需要经过合理运算的过程，因此数学运算素养占比高达40.7%。而对直观想象、数学建模和数据分析的考查比重较低，说明高考试卷对各核心素养的考查不均衡。下面主要以全国Ⅰ卷为例详细分析数学核心素养的考查状况。

(二)2020年高考数学全国卷的考查状况

为全面分析2020年高考数学全国卷的考查状况，分别从试卷的知识点分布、素养水平层次和难度水平三个方面进行研究。

1.2020年高考数学全国卷的知识点分布

为探究2020年高考数学全国卷的知识点分布情况，在上面分析的基础之上，以2020年全国Ⅰ理科卷为例，详细考查试卷题目，将每道题目透析并记录所对应的知识模块，最后整理得到2020年高考数学全国Ⅰ卷(理科)的知识点分布汇总表，如表6。将表6数据进行可视化，绘制知识点分布水平图，如图3所示。

表6 2020年高考数学全国Ⅰ卷(理科)的知识点分布汇总

图3 2020年高考数学全国Ⅰ卷(理科)的知识点分布

从表6、图3可以发现：2020年高考数学全国卷覆盖了中学领域集合与函数、三角函数与平面向量、数列与不等式、立体几何、解析几何、排列组合与概率、导数及其应用、复数八大知识模块，每个知识模块所占分值不同，各模块知识占比具有较强的差异性。具体来说，集合与函数、解析几何、立体几何占比较大，分别为12.5%、20.0%、13.8%，三者共约占总试卷分值的一半。例如：“全国Ⅰ卷文科第17题、全国Ⅱ卷文、理科18题等以数学模型的形式，考查学生整理和分析信息的能力；还有全国Ⅰ卷第21题、全国Ⅲ卷理科第21题等利用导数判断函数单调性，将函数与不等式结合，需要学生打破常规思路，灵活转化目标函数，综合考查了分类与整合能力、推理论证以及语言表达能力，兼顾批判性、创新性思维的考查。”[18]总之，高考数学借助基本知识模块，将数学关键能力与理性思维、数学应用、数学探究、数学文化的学科素养统一到理性思维的主线上。

2.2020年高考数学全国卷核心素养考查情况

根据表4数据，对2020年高考数学全国卷6套试卷各个核心素养要素的水平值进行分类汇总，结果如表7，并绘制出6套试卷六大核心素养的水平分布图，如图4所示。

表7 2020年高考数学全国卷六大核心素养考查水平分布

图4 2020年高考数学全国卷六大核心素养考查水平分布

从表7中可以看出全国卷中各核心素养的分布情况：对于数学抽象的考查，考查水平值均低于0.200，其中理科Ⅰ和文科Ⅱ数学抽象水平值最高分别为0.197、0.190，理科Ⅲ、文科Ⅲ最低分别为0.147、0.159；对于逻辑推理的考查，理科Ⅱ、理科Ⅲ水平值最高分别为0.253、0.238，其他4套卷均在0.200左右；对于数学运算素养，6套试卷的水平值均在0.380以上，其中理科Ⅰ、文科Ⅱ最高分别为0.450、0.421；对于直观想象素养，6套试卷水平值在0.100左右，其中文科Ⅰ、文科Ⅲ最高分别为0.103、0.115；对于数学建模素养，6套试卷水平值均在0.080以下，其中理科Ⅰ、文科Ⅲ最低，仅0.030；对于数据分析素养，文科Ⅰ、文科Ⅲ最高水平值分别为0.085、0.122，理科Ⅰ、文科Ⅱ最低均为0.047。综上所述，可得出2020年高考数学全国卷对六大核心素养的考查不平衡。

图4直观显示出全国卷对六大核心素养的考查水平分布差异性显著，6套试卷核心素养各要素如地质分布般层次鲜明且保持一致。其中数学建模和数据分析素养在高考试卷中占比较低，这表明高考数学试题在考查学生根据实际条件探索问题、分析问题、用数学模型解决实际问题方面表现力不足。值得关注的是全国Ⅱ卷文科第4题，以“战役”科学入题，要求学生利用简单函数模型计算完成配送需要的志愿者人数，考查了学生在新情境下的数学建模素养，突出志愿精神，是核心素养考查背景下的红星题目。

根据图2的核心素养水平分析框架,对试卷数学核心素养考查的“知识理解、知识迁移和知识创新”三个水平进行汇总，得到数学核心素养考查层次表,如表8，并绘制了2020年高考数学全国卷核心素养考查水平层次图，如图5所示。

表8 2020年高考数学全国卷核心素养考查水平层次

图5 2020年高考数学全国卷核心素养考查水平层次图

从表8、图5可以看出：六大数学核心素养的知识理解、知识迁移和知识创新三个水平总值分别为0.407、0.502、0.091。说明6套试卷的核心素养考查具有层次性，各个核心素养在不同水平上的权重值有差异。高考试卷以知识理解为基石，以知识迁移水平的核心素养考查为主，同时兼顾深入考查学生的实践能力与创新精神。2020年高考全国Ⅱ卷理科第3题是以志愿者参加超市配送工作为背景设计问题，考查学生的数学应用能力。试题时代特色鲜明，彰显了我国社会主义建设成就、科学防疫成果和社会主义制度优势[18]，试题紧密联系实际,层次设计新颖，体现了“四翼”的考查要求,发挥了试题的选拔功能和积极的导向作用。

3.2020年高考数学全国卷的难度水平

为探究2020年高考数学全国卷的难度水平，在上述分析的基础之上，以2020年全国Ⅰ卷为例，结合每道题目的知识模块、问题背景、综合知识点数目、计算量程度等，详细地考查、记录，并将难易程度按照易、较易、中档、较难、难五个水平划分，最后整理得到2020年高考数学全国Ⅰ卷文、理科的试题难度信息表，如表9、表10。并根据表9、表10数据绘制出2020年高考数学全国Ⅰ卷(理科、文科)的试题难度雷达图[19]，如图6所示。

表9 2020年高考数学全国Ⅰ卷(理科)的试题难度统计

表10 2020年高考数学全国Ⅰ卷(文科)的试题难度统计

图6 2020年高考数学全国Ⅰ卷(文、理科)的试题难度统计

整理试卷，并结合表9、表10发现：2020年高考数学全国卷文、理科的选择题、填空题以基础知识、基本技能的考查为主，除选择题12题、填空题16题外，鲜有设置难点，压轴题还是传统的圆锥曲线题和导数及其应用题。图6表明，2020年高考数学全国卷文、理科试题以简单基础题为主，同时兼顾中档题的比重，保难度题。最后，根据表5和表7数据，参考朱立明[20]构建的数学学科核心素养(C)与数学知识(K)、问题解决(S)、数学思维(T)3个测评维度之间的表达式：C=0.280K+0.310S+0.410T，C=0.280×0.407+0.310×0.502+0.410×0.091=0.310。说明2020年高考数学全国卷对六大核心素养的考查水平值低，偏重基础。

(三)2020年高考数学核心素养线性回归模型的建立

英国哲学家培根曾说：“数学是通往科学的门也是科学的钥匙。”哲学家黑格尔曾说：“数学是上帝描述自然的符号。”2020年高考数学全国卷十分注重考查学生的数学阅读能力、信息整理能力和语言表达能力，兼顾批判性思维的考查。关于2020年高考数学文、理科核心素养的区别与联系：采用SPSS软件对全国卷文、理科各个核心素养考查的关联性进行分析，结果见表11。最后用SPSS软件绘制全国卷文、理科6套卷各个核心素养考查权重的散点图[21]，并拟合出回归直线方程，如图7所示。

表11 2020年高考全国卷文、理科素养考查权重相关性系数

图7 2020年高考全国卷文、理科核心素养考查权重散点图

从表11中可以看出2020年高考全国卷文、理科素养考查相关性显著。总体上6套试卷类型、核心素养考查水平分布是一致的，文、理科素养考查层次显出差异，文、理科素养考查题目具有较强线性关系，说明同类试卷文理之间题目融通。正如戴维·希尔伯特(David Hilbert)所说：“数学知识是一个不可分割的整体，是一个有机体，它的生命力取决于其各个部分之间的关系。”从图7可以发现：数学建模、逻辑推理和数学抽象素养位于拟合线左上方，说明三类素养考查题目理科多于文科，而数据分析和直观想象题目文科较多，这说明高考文、理科题目素养考查侧重不同，也符合高中阶段文理分科的特点。

图7清晰地表明2020年高考数学全国卷文、理科融合趋势明显增强，这为未来高考文、理科考试试卷融合提供了参考依据。数学知识不分家，高中数学主题分支是为了更清晰细致地研究数学问题，但关键的素养内涵是学生的必备品格和关键能力，是新时代背景下“全面发展、以人为本、立德树人”教育理念下的更新与深层次变革，是由内而外的发展转变。

三、研究结论

通过分析2020年高考数学全国卷的知识点分布特征、素养水平层次和难度水平等考查情况，不难得出以下结论。

(1)试卷对高中阶段知识内容的考查具有全面性、完整性和差异性。2020年高考数学全国卷全面考查了高中八大知识模块，各模块知识占比具有较强的差异性，侧重考查集合与函数、解析几何和立体几何三个模块，占比分别为0.156、0.200、0.138，而三角函数与平面向量、复数等其他知识占比较低，均为0.094。总之，2020年高考数学全国卷各个知识模块相互独立又相互交融，高考数学重视基础知识特别是函数内容的考查，这与高考试题具有综合性、完备性，题目中往往涉及多个知识点，注重考查学生的融会贯通能力有关，因为集合、函数是数学的符号语言和有力工具。

(2)试卷对核心素养各要素水平的考查、权重存在分布差异，但不是都适宜。其中数学抽象(17.1%)、逻辑推理(21.0%)、数学运算(40.7%)、直观想象(8.6%)、数学建模(5.2%)和数据分析(7.4%)，六大核心素养的考查层次差异明显，数据分析和数学建模素养考查水平值偏低，亟待平衡。数学建模和数据分析是数学应用的两个不同方面，二者在现代信息技术社会中具有广阔的应用空间，但高考卷中考查所占比重较低，这自然会对日常教学和学生发展产生不利导向。为此呼吁，本着从未来高端人才培养的需求出发，客观审查各素养及其具体表现，合理确定其考查比重和水平。

(3)试卷对核心素养难度水平的考查偏低，综合核心素养难度水平值为0.310，文、理科融合趋势明显加强。随着新一轮课程改革和高考改革的不断推进，数学测评的标准正在由知识技能转变为核心素养导向，但其各个核心素养要素的难度水平考查是否合理，各难度水平如何还需不断加强研究、完善。总之，文、理科融合趋势的加强与核心素养的命题导向将使得高考命题更加科学、统一。

四、建议

基于上述研究结论，发现高考试卷对核心素养的考查还存在一些不足，为进一步完善对数学核心素养的考查及满足人才培养需求，建议如下。

(一)坚持以人为本理念，优化核心素养考查比重

高考卷中考查的各核心素养、表征及考查水平存在分布差异，还需要思考具体素养考查的分布是否合理。例如，现代信息技术飞速发展，数据分析、数学建模等已经深深渗透到社会的方方面面，为适应未来美好生活的需要，必须加强数据分析、数学建模素养的培养，这也是课程改革要求，也体现了教育要适应未来社会发展趋势[22-23]。因此，从人才培养目标的高度，思考各素养及具体表现的考查比重[24]50-58。

建议在高考命题中进一步优化各要素考查比重，稳步推进数学建模、数据分析素养的测评，设置科学合理的情境，考查学科素养的同时把学科思想、方法与现实世界联系起来，提升文化自信。首先要通过研究明确数学核心素养的不同层次划分，使命题专家有据可循；其次建议在命题的双向细目表中加入核心素养水平考核项目，便于有意识地在命题中把对核心素养不同层次的考核融入不同的试题中，建议改进后的双向细目表如表12所示。

表12 建议改进后的双向细目表

(二)立足教材课程标准，注重创新思维的考查

2020年高考数学全国卷既保留传统命题模式又富有创新；既注重基础知识、基本技能、基本思想与基本方法的考查，又紧密结合时代发展，融入新的元素、背景。2020年高考内容与考试招生改革步伐一致，文理融合的趋势更加明显，在稳定的基础上适度创新，但都源于教材。教材是课程标准的具体化，课文是教材的主题，随着科学技术的发展、教学手段的现代化，教学内容的载体也多样化了。“万变不离其宗”——高考试卷试题的根本源于教材，建议试题考查紧跟课程改革和考试制度改革步伐，积极更新知识系统和试题考查体系，调整试卷考查切入点，增加创新点，以适应新时代社会变革趋势和新时代的育人目标。

(三)基于核心素养体系，加强高考命题技术研究

高考作为重要测评方式之一，肩负培养人才、落实立德树人根本任务的神圣使命，测评与数学教育教学质量关联紧密，随着高考改革的推进和课程改革的发展，还需要加强高考命题技术的研究。2020年高考命题中，一个题目考查多个素养的题目增多，试题的综合性增强，试题在重视“四基”的基础上，加强了对学生逻辑思维能力的考查。总之，高考数学命题朝着数学核心素养的测评方向改革，核心素养视角下的命题形式重视以知识为载体、素养为导向、思维为核心的考查，因此在平时及高考的考查过程中，要注重核心素养的渗透，加强高考命题技术研究，以完善对核心素养的评价。