从数学概念教学设计的视角谈抽象思维能力培养

付欣

[摘  要] 数学概念教学设计的视角下进行抽象思维能力的培养是高效的. 文章介绍了概念教学设计与抽象思维能力的含义，并以“曲线与方程”一课为例，阐述了数学概念教学设计视角下抽象思维能力培养的教学实践及思考.

[关键词] 数学概念教学;抽象思维能力;曲线与方程;培养

[⇩] 问题的提出

高中数学课堂教学中，教师不仅需要关注学科知识，还需要关注到学生的感知、体验和思维，更需要关注到学生抽象思维的发展. 这是因为高中生的脑力劳动已经具有一定的特征，抽象思维已经逐渐成形，这就对教师知识传授的质量提出了较高的要求. 那么，该从哪个角度切入呢？数学概念教学于知识的传授和抽象思维的提升来说意义重大. 笔者认为，从数学概念教学的视角下加以培育是高效的.

[⇩] 数学概念教学设计与抽象思维能力

数学概念是在实践中高度概括而成的，是知识体系的基本元素，是数学抽象的起点. 正是由于概念的高度概括，才使得数学概念难教和难学[1].

抽象思维是一种以概括和推理的形式进行的一种思维，就是从具体事物中抽象和概括出共同的、本质的方面，而舍弃非本质的、个别的方面. 从学生的思维发展的进程可以发现，学生都是由形象思维逐步向抽象思维过渡的，这是高中生思维发展的需求. 不同的概念内容中的概括和抽象适合抽象思维教学，这样还能完善学生的知识结构，提高数学核心素养.

[⇩] 抽象思维能力培养的案例及反思

正是由于概念教学是发展学生抽象素养的重要载体，以探究为方式的概念教学是发展学生抽象思维能力的有效方式. 因此，教师在概念教学中应力求从教学内容本身去探寻概括和抽象的“食粮”， 推动抽象思维的发展. 下面结合“曲线与方程”一课为例，从以下方面来谈如何培养学生的抽象思维能力.

1. 独特的情境——数学抽象的起始点

师：大家来看这张图片，有没有一种熟悉感？（PPT展示百岁山广告的插图）

生1：认识，这是百岁山.

师：这个广告的背后有着一个沁人心脾的故事，大家有没有兴趣听一听？

生（齐）：有.

师：数学家笛卡尔和瑞典公主克里斯汀相爱了，但却无法得到国王的祝福. 笛卡尔无奈，就书信一封给公主，信中只有这样的一个公式“x2+（y-）2=1”，你们猜这个公式是什么意思？代表一个什么图形？

生：不知道. （大家一脸茫然）

师：聪明的公主在建立坐标系和作图之后，得到了一条动人的心形线，立刻感动得泪流满面. （学生立刻发出“哇”的一声欢呼）

师：事实上，一条曲线对应一个方程，今天这节课就让我们一起来了解二者之间是一种什么样的对应关系……

反思：在给出概念时，越能让学生觉得“很有意思”，就越利于概念的构建，可以促进学生更多的数学思考，更大可能地让抽象发生. 因此，在教学过程中采用独特而有趣的情境可以激活联想，让学生感觉到概念的“回味无穷”，从而为进一步抽象奠基，使得之后的构建与抽象水到渠成.

2. 归纳和类比——数学抽象的着力点

师：在平面直角坐标系中，有一条直线平分第一和第三象限，试着写一写它的直线方程.

生2：x-y=0.

师：无数个点组成了一条直线，那么方程x-y=0的解就有无数个. 这些点与方程的解有何關系？

生3：直线上点的坐标满足方程.

生4：坐标是方程的解的点在直线上.

师：设点M（x，y）在直线上，则有

x=

y. 又因为x-y=0平分第一和第三象限，则有x=y，x-y=0，满足方程x-y=0.

反之，满足方程x-y=0的解（x，y）有x-y=0，则有x=y，所以（x，y）所对应的点在直线上.

师：在平面直角坐标系中，试求出以（a，b）为圆心、以r为半径的圆的方程.

生5：（x-a）2+（y-b）2=r2.

师：设点M（x，y）在圆上，则有=r，平方后可得（x-a）2+（y-b）2=r2，则圆上点的坐标都是方程的解.

（x，y）为方程（x-a）2+（y-b）2=r2的任意一解，开方则有=r，以方程的解为坐标的点都在圆上.

师：之前所学的椭圆+=1中，也可以得出与直线和圆相同的结论，这就是我们熟悉的特殊曲线，从中可以得到更一般的情形.

反思：“曲线与方程”的概念难懂、抽象，其外延对于学生来说更是陌生的，而课堂中若教师不能给予学生足够的时空思辨，则会导致掌握不透或理解不清. 通过复习一系列曲线与其方程的对应关系，引导学生亲历数学抽象过程，在类比中抽象和概括，从特殊到一般地进行概括，从而自我建构起概念.

3. 反例指引——数学抽象的助推点

师：曲线：过点（1，1）的直线，其斜率为1;方程：=1. 上述曲线与方程可以相互表示吗？

生6：不能.

师：为什么？

生6：因为点（1，1）并不在直线上.

师：由此可见，多一个是不行的.

师：曲线：△AOB中AB上的中线，且O（0，0），A（1，0），B（0，2）;方程：x-y=0. 上述曲线与方程可以相互表示吗？

生7：不能. △AOB的中线是一条线段，而方程x-y=0所表示的是一条直线.

师：由此可见，少一个也是不行的. 所以，只有在一一对应的情况下才能确定.

反思：从直观到抽象的过程，需要理解其内涵和外延. 而“曲线与方程”定义中两个关系的规定是本节课的难点问题，学生需充分认识到二者缺一不可. 事实上，学生的脑海中早已积累了实际模型，也具备了感性认知，这里以反例为指引充分揭示其中的矛盾，促使学生在探究中获得对概念的理解，在反例的沟通中生成对概念的应用. 这样感悟而得的思维才是深刻的，这样逐步抽象得出的结果才是具有价值的，才能让学生理解深刻.

4. 开展探究活动——数学抽象的生长点

例题：证明：圆心是M（3，4），半径是5的圆的方程为（x-3）2+（y-4）2=25，并判断点O（0，0），A（-1，0），B（1，2）是否在该圆上.

反思：探究活动是数学学习的重要方式，建构主义更加强调“做中学”，因此，学生积极的参与和独立的思考是不可或缺的，教师不可以将抽象的结论直接抛出，而应让学生通过自主参与，利用自己的深度思考，去发现和习得知识，形成抽象的结果. 这里，数学知识资源丰富，运用好合作学习和分组汇报的方式，让学生在积极思维和自主探究中进行抽象思维的碰撞，积蓄抽象思维的深度力量，获得深刻的抽象经验.

[⇩] 一些感悟

1. 把握概念教学的内容，凸显直观到抽象的过程

高中生有着近十年的学习经历，并掌握了一定量的知识，具有一定的抽象能力. 教学过程中，教师应引导学生自主探究，凸显直观到抽象的过程，激活学生的数学思维，促使学生能够自主地进行数学抽象，更好地孕育数学抽象素养的生长.

2. 不能将抽象思维能力孤立培养

任何方法都不是孤立存在的，只有抽象没有类比也无价值可言，因此在概念教学中要努力让学生经历“类比+概括+抽象”的数学活动. 在概念教学中，注重发展抽象思维能力时也应让学生对数学探究和归纳概括的应用与价值有清醒的认识.

3. 只有经历探究过程，才能積淀有价值的抽象活动经验

教学的过程就是经验改造和积累的过程，在抽象思维培养的过程中，教师的情境创设需独特而开放，给学生足够的探究和思考的时空，让学生自主自发地进行抽象. 在抽象的过程中发挥教师的引导作用，让学生在不断经历丰富的抽象过程中积淀充满感悟的抽象经验[2].

总之，抽象素养是高中数学核心素养之一，而需要以概念课教学为依托，在教学过程中水到渠成地孕育. 通过概念课教学[3]. 让学生经历数学抽象的过程，让学生在体验数学情境、类比归纳、联系反例和经历探究活动的过程中提升数学抽象素养.

参考文献：

[1]  李祎，曹益华. 概念的本质与定义方式探究[J].数学教育学报，2013，22（6）.

[2]  张永明. 高中生数学抽象概括能力培养的途径与策略[J]. 数学学习与研究，2015（5）.

[3]  甘小生，李朝晖. 在探究中培养学生抽象概括能力——以《平行与垂直》教学为例[J]. 湖北教育（教育教学），2017（3）.

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