知识剖析思路构建，问题解析定理梳理

林金杯

[摘  要] 二次函数与平行四边形存在性问题在中考数学中极为常见，问题解析需要基于判定定理探索成立条件，并进行几何与函数条件的互化. 其中平行四边形的判定定理是重点，开展知识剖析、思路构建，有助于学生掌握该类问题的解法. 文章将以一道二次函数与平行四边形存在性问题为例进行解法探究、定理总结与解读.

[关键词] 二次函数;平行四边形;判定定理;斜率;构图

在初中几何中，由几何三元素到几何图形，知识难度逐步加深，其中“点、线、角”是基础，“三角形”是正餐，“圆”是插曲，而“特殊的四边形”才是压轴. 显然，特殊的四边形在几何中占据着极为重要的位置，尤其在考题中，二次函数与特殊四边形的结合十分紧密. 下面笔者将深入探究二次函数与平行四边形存在性问题.

知识剖析，思路构建

1. 知识剖析

二次函数与平行四边形存在性问题属于函数与几何综合问题. 从几何视角来看，问题涉及平行四边形的性质、判定，因此常围绕以下四大性质来展开. 问题解析时也应灵活运用对应的定理.

①平行与角的关系，需灵活应用平行的性质和判定定理;

②平行与对边的关系，主要体现在对边相等上，可利用该关系进行互推;

③对角线相互平分的关系，为平行四边形的主要性质之一，可从三角形全等视角进行探索;

④平行四边形的面积公式，该公式主要用于计算平行四边形的面积，但基于公式可进行等线段转化.

2. 思路构建

从函数视角来看，需要掌握以下两种切入思路：

①基于“平行线的斜率k相等”来推导直线表达式，求解关键点的坐标;

②利用中点坐标公式求解点的位置，主要用于平行四边形对角线的交点确认.

问题实例，过程解析

问题：如图1所示，已知二次函数y=x2+bx+c的图像与x轴相交于点A和B，且点A的坐标为（-3，0），经过点B的直线与抛物线相交于点D（-2，-3），试回答下列问题.

（1）求抛物线的解析式以及直线BD的解析式;

（2）过x轴上的点E（a，0）（点E在点B的右侧）作直线EF∥BD，与抛物线交于点F，试分析是否存在实数a，使得四边形BDFE为平行四边形？若存在，请求出满足条件的a;若不存在，请说明理由.

解析：（1）求直线与抛物线的解析式可采用待定系数法，求出对应点的坐标，代入解析式求参数即可.

点A和D在抛物线上，分别代入抛物线的解析式，可得9-3b+c=0

4-2b+c=-3 ，解得b=2，

c=-3，则抛物线的解析式为y=x2+2x-3. 点B是直线BD与抛物线的交点，且点B位于x轴上，结合抛物线的解析式可得点B（1，0）. 设直线BD的解析式为y=kx+b，结合点B和D的坐标可求得k=1，b= -1，所以直线BD的解析式为y=x-1.

（2）该问探究四边形BDFE为平行四边形时点E的横坐标值. 如图2，已知EF∥BD，由平行四边形的判定定理“两组对边分别平行的四边形为平行四边形”可知，只需确保DF∥BE，由于点B和E均位于x轴上，则只需满足DF∥x轴即可.

已知直线BD的解析式为y=x-1，则直线EF的解析式为y=x-a. 由于DF∥x轴，则点D和F的纵坐标值相等，即点F的纵坐标值为-3. 点F为直线EF与抛物线的交点，联立两个解析式，整理可得y2+（2a+1）y+a2+2a-3=0，解得y=. 令=-3，可解得a1=1，a2=3.

当a=1时，点E（1，0）与点B重合，不符合题意，舍去;

当a=3时，点E（3，0），符合题意;

所以存在实数a=3，使得四边形BDFE为平行四边形.

评析：上述第（2）问为平行四边形存在性问题，其特点是设定了一组对边平行，只要证明另一组对边也平行即可. 解析时充分把握边与x轴相重合的特点，直接将平行条件转化为顶点纵坐标相等，极大地减少了运算量. 对于上述问题情形，若出现边与坐标轴相重合或平行的情形，则可以借助“两直线平行与直线斜率的关系”推导边所在直线的解析式，联立解析式求出顶点坐标.

定理梳理，拓展探究

1. 定理梳理

上述探究了一道二次函数与平行四边形存在性问题的解析过程. 实际上，该题是基于平行四边形的判定定理来构建思路的. 教材中有多个关于平行四边形的判定定理，理解定理十分容易，难点在于如何在函数背景问题中灵活运用定理. 下面具体阐述常用判定定理的应用思路.

定理1：两组对边分别平行的四边形是平行四边形.

该定理的核心是“对边平行”. 实际上平行线的斜率是相等的，故可从斜率视角切入，并分两种情形进行解析：①当边与坐标轴平行时，可直接将平行条件转化为顶点坐标值相等，如上述问题;②当边与坐标轴不平行时，边所在直线具有一般性，可将平行条件转化为斜率相等.

定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四邊形.

该定理的核心是“对边相等”. 在函数背景下进行解析需要充分利用点坐标及几何性质，利用点坐标推导几何性质，利用几何性质证明边长相等，逆推点位置，联立方程求出交点坐标.

定理3：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.

该定理时常被用于解决函数与四边形问题，解析时只需把握其中一组对边关系即可，建议从点坐标入手，利用点坐标证明线段等长，构建斜率相等与点坐标关联. 其中，两点间距离公式和斜率公式是解析的关键.

定理4：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形.

该定理的核心是“对角线互相平分”. 在函数背景下需要关注四边形对角线的交点，显然平行四边形对角线的交点也是对角线的中点，故实际解析时可充分利用中点坐标公式. 在已知对角线的两个端点及交点中的任意两点坐标时，可直接利用该公式来推导另一个点的坐标.

2. 拓展探究

菱形是一种特殊的四边形，相较于普通四边形，菱形的四边均相等，对角线互相垂直且平分. 二次函数中的菱形存在性问题十分常见，具体解析时可把握菱形与平行四边形的特殊点，采用“先论证平行四边形，再论证菱形”的策略. 把握上述特性，构建如下思路.

①“论证平行四边形→一组邻边相等→菱形”，证明四边形为平行四边形后，再证明一组邻边相等，最后结合平行四边形的性质可证四边相等.

②“论证平行四边形→对角线互相垂直→菱形”，对于其中的垂直关系可充分利用“两直线互相垂直，则其斜率乘积为-1”来构建，注意讨论斜率不存在的情形.

例題：（2020年重庆市中考题）如图3所示，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=x2+bx+c与直线AB相交于A，B两点，其中A（-3，-4），B（0，-1）.

（1）求该抛物线的函数表达式;

（2）点P为直线AB下方抛物线上的任意一点，连接PA，PB，求△PAB面积的最大值;

（3）将该抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线y=a1x2+b1x+c1（a1≠0），平移后的抛物线与原抛物线相交于点C，点D为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点E，使以点B，C，D，E为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点E的坐标;若不存在，请说明理由.

解析：（1）抛物线的表达式为y=x2+4x-1;

（2）△PAB面积的最大值为;

（3）下面主要针对第（3）问进行解法探究. 由题意可知，平移后的抛物线的解析式为y=x2-5，可求得点C（-1，-4）. 可设点D（-2，m），E（s，t）. 分如下两种情形.

①当BC为菱形的边时，则菱形的边长确定，只需确保边长相等即可. 根据点坐标可知，点C先向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到点B，结合该平移情形，点D和点E可得如下关系.

点D先向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到点E，此时点D在点E的下方，可推知-2+1=s且m+3=t①，并且BE=BC，即s2+（t+1）2=12+32②，联立①②可得点E（-1，2）;

点E先向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到点D，此时点D在点E的上方，可推知-2-1=s且m-3=t③，并且BD=BC，即22+（m+1）2=12+32④，联立③④可得点E（-3，-4+）或（-3，-4-）;

②当BC为菱形的对角线时，对角线BC和DE的中点为同一个点，由中点坐标公式可得：-1=s-2且-4-1=m+t⑥. 并且BD=BE，即22+（m+1）2=s2+（t+1）2⑦，联立⑥⑦可得点E（1，-3）;

综上可知，满足条件的点E的坐标有四个，分别为（-1，2），（-3，-4+），（-3，-4-），（1，-3）.

总之，平行四边形的性质虽较为简单，但与二次函数相结合仍会给学生造成一定的困扰. 无论是构图过程还是条件转化，均需要立足函数与几何的性质定理. 解题时学生应基于平行四边形的判定定理来探索成立条件，利用函数与几何的知识关联进行条件转化. 教学中教师应注意定理归纳和策略总结，引导学生梳理解题步骤，拓展学生的解题思维.

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