关键信息转直观图表 数学素养提通性通法

何勇

[摘  要] “实际问题与一元一次方程”既是中考的一个重点，又是学生学习的一个难点. 文章反思学生实际学习中存在的障碍，将抽象语义转化为直观图表，从而让学生清晰地提炼出等量关系、列出相应的方程、建立具体问题中数量关系的有效模型. 将抽象语义转化为直观图表的方式，能让学生突破障碍，形成寻找关键词、设计图表填空、建立数学模型、列方程求解的思考路径，并思考将抽象变直观、从问题到模型、从未知到等式的通性通法.

[关键词] 一元一次方程;实际问题;学习障碍;直观图表;数学素养

明确学习任务，铺垫课后教学思考

“方程”的学习贯穿整个中学阶段，是初中应用题的起始和关键. 学习“列方程解应用题”，学生需要经历这样的过程：由列算式转变为列等式;把所设未知数当作已知数.

学习“方程”时，学生需要转变思维方式，运用方程思想解应用题，将抽象语言转换成数学模型，寻找等量关系并列出方程. 而初一的学生在这些方面处于发展阶段，学习起来具有一定的难度. 学生在学习“实际问题与一元一次方程”的过程中，由于缺乏日常生活体验，难以理解实际问题的语义，且未知信息与已知信息收集、加工困难，遇到复杂的实际问题容易产生畏惧心理，所以面对应用题他们往往无从下手. 因此，在“实际问题与一元一次方程”的教学过程中，教师可以将一些实际问题中的抽象语义提炼出来，并将其转化为图表，让学生借助图表描述和分析问题. 这样的方式可以帮助学生准确加工信息、寻找等量关系、建立数学模型，探索出问题解决的通性通法，从而培育学生灵动的数学探究素养.

实施上述教学的目标是让学生自觉、主动地提炼关键词语并用图表来加以表示，然后通过其中的数量关系列方程从而解决问题. 上述教学方式能让学生突破学习障碍，建立自信，能促进学生直观素养、模型思想的形成，并能让学生总结出“提炼语义到图表、策略到程序、问题到模型、求解实际问题”的通性通法.

善用学案导学，疑难触碰发现障碍

活动：学案导学，独自思考现障碍

试题1：在美术馆举办的一次画展中，展出的国画和油画共有100幅，其中油画作品数量是国画作品数量的2倍多7幅，求展出的国画作品有多少幅.

试题2：甲隊有66人，乙队有48人，现要从甲队调出一部分人前往乙队，使乙队的人数是甲队的2倍，求应从甲队调多少人去乙队.

师生活动：对于学案导学内容，学生齐读题后独自思考，教师观察大家的做题情况，发现并记录学生存在的思维障碍.

设计意图与思考 从两道较简单的实际应用题入手，让学生用一元一次方程求解. 通过观察，笔者发现学生普遍存在的思维障碍主要来自以下方面：（1）缺乏生活经验，读不懂题意，不知道提取关键词;（2）找不着或找不准等量关系，即使能找到等量关系，也不知如何设未知数、列方程;（3）对应用题抱有恐惧心理、逃避心理，缺乏自信，不积极动脑思考;（4）习惯于用算术方法分析问题，不适应用方程思想分析应用题;（5）不重视分析等量关系，习惯套用题型，并用算术方法分析已知数与未知数;（6）不能将未知量转化为已知量，对等量关系缺乏理解，不能建立数学模型.

以上思维障碍的分析，为提取关键词、列图表解应用题做了铺垫.

发挥主体能动，图表直观建构模型

1. 图表填空，直观、形象树自信

例1 在美术馆举办的一次画展中，展出的国画和油画共有100幅，其中油画作品数量是国画作品数量的2倍多7幅，求展出的国画作品有多少幅.

思路分析：设展出的国画作品有x幅.

关键词：国画、油画、总和.

等量语义：国画数量+油画数量=100.

列出方程：x+（2x+7）=100.

例2 甲队有66人，乙队有48人，现要从甲队调出一部分人前往乙队，使乙队的人数是甲队的2倍，求应从甲队调多少人去乙队.

思路分析：设应从甲队调x人去乙队.

关键词：甲队、乙队，调配前、调配后.

等量语义：调配后乙队的人数=调配后甲队人数×2.

列出方程：48+x=2（66-x）.

师生活动：教师在PPT中展示题目，学生小组交流找出题目中的关键词，并设未知数，教师引导学生把未知数x当作已知条件，播放图表，并让学生填表. 学生经历了从实际问题中抽象出关键词、找等量语义、分析数据、填写图表、建立模型、列出方程、板书解答的过程，这样的过程是一个完整分析问题、解决问题的过程.

设计意图与思考 从抽象语义中提取关键词、转化等量语义，引导学生把未知当已知并填图表，这样的过程能让学生产生强烈的探索欲望，能增强他们解决应用题的数学自信，能促使他们快速集中精神投入新课的学习.

2. 模仿操作，突破障碍成通法

问题1：一艘船从甲码头到乙码头顺水而行，用了2 h;从乙码头返回甲码头逆流而行，用了2.5 h. 已知水流的速度是3 km/h，求该船在静水中的平均速度.

思路分析：设该船在静水中的平均速度为x km/h.？摇

关键词：速度、时间、路程，顺水、逆流.

等量语义：顺水路程=顺水时间×顺水速度，逆流路程=逆流时间×逆流速度，顺水时间×顺水速度=逆流时间×逆流速度.

列出方程：2（x+3）=2.5（x-3）.

问题2：甲、乙两人需要加工400个零件，甲与乙先一起加工4 h，然后甲单独加工6 h后完成了任务. 已知甲比乙每小时少加工2个零件，求甲、乙每小时各加工多少个零件.

思路分析：设甲每小时加工x个零件，则乙每小时加工（x+2）个零件.

关键词：甲、乙，工作效率、工作时间、工作总量.

等量语义：甲工作总量+乙工作总量=400.

列出方程：（4+6）x+4（x+2）=400.

师生活动：学生通过独立思考常考的实际应用题，模仿“例1”“例2”提取关键词、转化等量语义，然后进行图表分析、巩固练习. 上述教学过程，教师引导，学生给出思路分析、关键词、等量语义、图表，然后独立完成解答，解题结束后小组交流、核对答案，教师用PPT展示解题分析过程.

设计意图与思考 独立完成、分组讨论、交流释疑，不仅能让学生巩固图表法的应用，提高学生学习的深度和广度，还能让学生从不同的角度组织感性材料，不断地变换事物的非本质属性，突出图表法的本质属性. 当应用题中的数量关系较为隐蔽，条件较多，不易理清脉络时，学生可根据题意圈出关键词、转化等量语义、画出表格，把题中的已知量、未知量、隐蔽条件和所求问题对应填入表格，这样就能快速地看出数量之间的关系，找出解题路径. 利用图表直观建模是学生自身知识结构发展的需要，也是增强学生学习内驱力的有效手段，学生在探究和共同思考的过程中还能活跃思维.

3. 程序强化，共同探索展成果

问题3：某小组计划做一批“中国结”. 如果每人做5个，那么会多做9个;如果每人做4个，那么会少做15个. 该小组共有多少名成员？他们计划做多少个“中国结”？

思路分析：设该小组共有x名成员.

关键词：方案一、方案二，工作效率、人数、计划总数

等量语义：方案一的计划总数=方案二的计划总数.

列出方程：5x-9=4x+15.

问题4：8年前父亲的年龄是儿子年龄的4倍，现在儿子的年龄是父亲年龄的一半. 求现在父亲和儿子的年龄分别是多少岁.

思路分析：设现在儿子的年龄是x岁.

关键词语：8年前、现在，父亲的年龄、儿子的年龄.

等量语义：8年前父亲的年龄+8=现在父亲的年龄.

列出方程：4（x-8）+8=2x.

问题5：某商品的标价为200元/件，七五折销售后仍盈利20%，则该商品的进价为每件多少元？

思路分析：设该商品的进价为每件x元.

关键词：某商品，售价、进价、利润.

等量语义：利润=售价-进价，利润=利润率×进价.

列出方程：200×0.75-x=20%x.

师生活动：对于常考的年龄、经济方面的应用题，教师不参与、不给予引导，由学生独立思考完成，能强化他们的建模解题程序，让他们领悟通性通法. 学生独立完成后，小组交流探讨、核对答案，教师投影展示部分学生的解答过程.

设计意图与思考？摇 教学过程中，教师检测学生圈出关键词、转化等量语义、利用图表直观求解实际应用题的学习效果，围绕常考的应用题让学生进行多角度、多方向、多层次的变式思考与探索，丰富了课堂容量. 学生在讨论中互相补充思维不严密、不完善的地方，以加深认识，避免错误. 上述教学过程能让学生深刻理解用方程解应用题的通性通法.

勤做课后反思，拓展延伸回归课堂

1. 反思回归

要想在应用题教学中提升学生的核心素养，需要教师不断地引导学生简化题目，并直观形象地去寻找解题思路. 教学中教师要引导学生在读懂题意的基础上，通过转化等量语义、列表构图来描述问题. 用一元一次方程解决实际问题的思维流程图如图1所示.

简化语义、转化等量语义、方程模型是应用题学习的重点和难点. 本节课借助提取关键词、等量语义，设计直观图表的方法进行教学，化抽象为直观.学习的目标不应仅限于解决某道应用题，还应通过类似的问题进行探究学习，以达到融会贯通，会一道通一类的效果.

2. 师生维度

要解决应用题，简化语义、转化等量语义、图表填空不是唯一的方法，也不是必须使用的方法，這只是学习过程中总结出的一种方法和经验. 但通过这样的学习，学生经历了由实际问题抽象出方程模型的过程，能进一步体会模型思想，并会用一元一次方程解决一些实际问题. 这样轻松自如的解题过程，能让学生感受成功、强化自信、活跃思维，能提高他们的数学素养，为他们核心素养的提高夯实基础.

教学“实际问题与一元一次方程”时，笔者按照上述的设计在所任教的班级以及借班教学中均取得了极好的反馈，学生表示这样的方法很容易掌握. 在教学过程中，教师变传授知识为引导学生思考，并给予学生充分的思考时间，学生则经历了问题情境难理解、图表直观易思考、迁移练习强程序、建模解题树自信等一系列过程，积累了丰富的数学活动经验.

3. 素养体现

上述教学过程，内容丰富，层层递进，培养了学生阅读题目、圈出关键词、转化等量语义、设计图表填空、列方程建模的数学探究素养，能提高学生对问题类型的辨识能力，能有效提高学生寻找等量关系的速度，能提高学生利用等量关系或者抓住不变量列方程的建模能力，能培养学生用数学知识求解生活实际问题、建立简单数学模型的数学素养.

数学核心素养的养成是一个渐进的过程，在教学过程中教师应多从简化和直观两方面去引导、启发学生，并不断反思、总结自己的教学过程，长期躬耕探究.

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