两种离散方法对覆冰四分裂导线舞动特征的影响

闵光云，刘小会*,，孙测世，蔡萌琦

(1.重庆交通大学 土木工程学院，重庆 400074；2.重庆交通大学 省部共建山区桥梁及隧道工程国家重点实验室，重庆 400074；3.成都大学 建筑与土木工程学院，成都 610106)

1 引 言

随着我国电网的快速发展，输电线的舞动已经引起很多学者的关注，实际上输电线的跨径远大于其直径，因此其属于柔性索结构。Irvine[1]首先对悬索结构的静力学、线性和非线性动力学进行了研究，并提出了重要的Irvine参数。Perkins[2]将外部激励分为两种，即参数激励和周期激励，并研究了两自由度弹性悬索模态之间的相互作用。Rega[3]首先从理论方面系统地阐述了悬索的力学建模、响应和非线性现象，接着从实验方面进行验证，证明了其研究成果的正确性，给予实际工程一些参考。Lilien等[4]分析了单导线、二分裂导线、三分裂导线和四分裂导线的实测舞动数据，得到一些有价值的成果。

针对悬索结构的研究，国内学者也做出许多贡献。晏致涛等[5]基于空间曲梁理论建立了节点6自由度导线有限元模型，并采用Newton-Raphson迭代法进行静力非线性求解，得到一些很有意义的结论。肖一等[6]在已有的研究基础上，考虑了弯曲刚度对悬索的影响，并修改了已有文献中没有考虑抗弯刚度的误差。赵跃宇等[7]根据Hamilton变分原理，推导了考虑抗弯刚度的三维非线性动力学方程，然后利用多尺度法分析了斜拉索可能的内共振模式，并用数值方法研究了弯曲刚度对内共振的影响。吕建根等[8]基于拉索和桥梁连接处的变形协调条件，采用Hamilton变分原理建立了索-梁结构耦合的非线性偏微分方程，运用Galerkin离散法和多尺度法研究了梁主共振情形下索-梁结构的 1∶1相互作用。

本文首先建立了覆冰导线三自由度动力学方程，接着应用两种不同的方法离散动张力应变，最后利用Galerkin法将非线性偏微分方程转化为常微分方程。通过风洞试验测得四分裂导线的气动力系数，并得到了四分裂导线中心轴处的气动力系数，最后系统地研究了导线的舞动特性，并考察了两种不同的离散方法对覆冰导线舞动特征的影响。

2 三自由度舞动方程

2.1 单档导线数学模型

建立图1所示的单档导线数学模型，导线两端用固定铰链约束，选取左端悬挂点为坐标原点建立笛卡尔空间坐标系O-x-y-z。图中u1,u2和u3分别为x，y和z轴方向的动态位移。

由于覆冰的作用，导线的横截面不再是规则的圆形，因此其质心不再是圆心。哈密顿变分原理隶属于能量法，其本质是系统能量的守恒，尽管导线由于覆冰的影响会发生偏心转动，但是哈密顿原理亦非常适用于舞动方程的推导。由哈密顿变分原理可得

(1)

式中kv为系统的动能，Π为系统的势能，w为系统非保守力做功。

动能、势能以及非保守力做功分别为

(2)

式中 圆点为对时间t求导，Sz和Sy为静矩，EI为抗弯刚度，EA为抗拉刚度，GIP为扭转刚度，ε为拉应变，J为转动惯量，θ为扭转角，ui为动态位移，εθ为扭转应变，pi和pθ为外部激励力，ci和cθ为阻尼系数，T为静态张力，l为跨径。

图1 单档导线数学模型

将式(2)代入式(1)，且只考虑导线竖向、横向和扭转方向的耦合振动，则可得

(3a)

(3b)

(3c)

2.2 直接离散法

针对动张力应变的处理，不同的学者有不同的习惯。文献[9-12]选择直接离散法，即直接应用一阶模态截断法与Galerkin法将偏微分方程转化为常微分方程。详细步骤如下。

首先将动态位移表示为振动函数与模态函数的乘积，即

u2(x,t)=Ψ2(x)q2(t)

(4a)

u3(x,t)=Ψ3(x)q3(t)

(4b)

θ(x,t)=Ψθ(x)qθ(t)

(4c)

式中Ψ2，Ψ3和Ψθ为模态函数，q2，q3和qθ为振动函数。

接着将式(4)代入式(3)，可得

(5a)

(5b)

(5c)

式(5)中一瞥表示对位移x求导，且其中

(6)

对式(5a)使用Galerkin法可得

(7a)

对式(5b)使用Galerkin法可得

(7b)

对式(5c)使用Galerkin法可得

(7c)

式(7)即为直接离散法所得的覆冰导线三自由度耦合舞动方程。

2.3 间接离散法

文献[13-15]认为覆冰导线x轴方向的振动比较微弱，因此可忽略覆冰导线x轴方向所受惯性力，基于这种思想可以将式(3)的动张力应变等效处理，等效后的应变为

(8)

接着可将式(3)转变为

(9a)

(9b)

(9c)

将式(4)代入式(9a)，使用Galerkin法可得

(10a)

将式(4)代入式(9b)，使用Galerkin法可得

(10b)

将式(4)代入式(9c)，使用Galerkin法可得

(10c)

式(10)为间接离散法所得覆冰导线的三自由度耦合舞动方程。

2.4 气动荷载数学模型

建立气动载荷分析数学模型如图2所示，覆冰冰型为新月形，FL为气动升力，FD为气动阻尼，U为平均风速，Ur为相对风速，D为导线直径。

P2为使用Galerkin法后竖向的气动载荷，P3为使用Galerkin法后横向的气动载荷，Pθ为使用Galerkin法后扭转方向上的气动载荷，且

(11a)

(11b)

(11c)

Cy(α)=α1α+α2α2+α3α3

(12a)

Cz(α)=β1α+β2α2+β3α3

(12b)

CM(α)=γ1α+γ2α2+γ3α3

(12c)

图2 覆冰导线横截面及相对流场

αi,βi以及γi可通过风洞试验测得，与初始转角、扭转角以及相对风速有关。

联立式(11,12)得

(13a)

(13b)

(13c)

将式(13)代入式(7)可得直接离散法下新的覆冰导线三自由度舞动方程为

(14)

同理，将式(13)代入式(10)可得间接离散法下新的覆冰导线三自由度舞动方程为

(15)

3 数值算例

覆冰导线的气动力系数是分析覆冰导线舞动特征的重要参数，式(12)也验证了这一点。为了获取新月型覆冰导线的气动力系数，进行了风洞试验。试验的主要对象是覆冰四分裂导线，通过试验可测得覆冰四分裂导线每一根子导线的气动力系数，接着采用合适的方法可得到覆冰四分裂导线中心轴处的等效气动力系数，如图3所示。

可以看出，当攻角α在40°～120°以及160°～180°时覆冰四分裂导线的等效气动升力系数曲线具有负斜率，此时导线极易发生舞动[16，17]。选取攻角为55°时的三分力气动系数，并将其α=0处进行泰勒展开，可得到三次拟合曲线，即

Cy=-0.96060α-1.40716α2+97.62315α3

(16a)

Cz=2.39795α-7.00826α2-119.95612α3

(16b)

CM=2.6744α+22.30868α2-132.0081α3

(16c)

覆冰物理参数列入表1。将表1的物理参数代入覆冰导线的三自由度舞动方程，结合气动力系数与Runge -Kutta法可得到直接离散法与间接离散法下覆冰导线的位移响应曲线，如图4和图5所示。

可以看出，两种离散方法所得的位移响应曲线有一定程度的区别，其中扭转方向的位移响应曲线区别最为明显。覆冰导线主要的位移响应表现为面内的竖向位移，即面外的位移很小，这与已有文献的研究结果一致。

图3 气动力系数

表1 导线的物理参数

图4 直接离散法下的位移响应

图5 间接离散法下的位移响应

为了更清楚地比较两种离散方法下位移响应曲线的区别，选取覆冰导线处于稳态状态时的数据得到局部位移响应曲线，如图6所示。

图6 局部位移响应

可以看出，在面内、面外以及扭转这三个方向上，间接离散法所得的位移响应皆比直接离散法所得的位移响应大，扭转方向的差异尤为明显；两种离散方法下所得的频率、相位以及振幅都有一定的差别。因此针对具体的覆冰导线进行舞动特征分析时，选择哪一种离散方法较切合实际情况值得考究，离散方法的不同可能导致理论结果与实际工况存在一定的误差，这是一个值得注意的现象。

4 结 论

(1) 直接离散法与间接离散法所得的舞动方程的系数表达式存在一定的差异，系数存在差异会导致位移响应存在区别。

(2) 直接离散法与间接离散法对覆冰导线的频率、相位以及幅值都有一定程度的影响，且在扭转方向上，选择不同的离散方法所得的幅值差别较大。

(3) 针对具体的覆冰导线进行舞动特征分析时，离散方法的不同可能会导致理论结果与实际工况存在差异，这是一个值得注意的现象。