基于广义Reed-Solomon码构造的两类量子MDS码

李建涛，王伟伟

(辽宁大学 数学院，辽宁 沈阳 110036)

0 引言

近年来，量子计算成为一个热门的话题.量子纠错码在量子通信和量子计算中扮演重要角色.构造一个具有好的参数的量子纠错码是非常重要的.近年来，许多研究者通过经典纠错码构造了大量的量子纠错码.

1 预备知识

1.1 Hermite自正交

1.2 广义Reed-Solomon码

GRSk(a，v)={(v1f(a1)，v2f(a2)，…，vnf(an))|f(x)∈Fq2[x]，degf(x)

称GRSk(a，v)为Fq2上的一个广义Reed-Solomon码GRSk(a，v).是一个参数为[n，k，n-k+1]q2的MDS码.事实上，GRSk(a，v)的生成矩阵为

下面的引理常被用来判断一个广义Reed-Solomon码是否是Hermite自正交的.

下面的结果现在经常用于构造新的量子MDS码.

定理 1[22]如果C是参数为[n，k，d]q2的线性码且C⊥H=C，则存在参数为[n，2k-n，≥d]q的量子码.

推论1[22]如果C是参数为[n，k，n-k+1]q2的经典Hermite自正交MDS码，则存在参数为[[n，n-2k，k+1]]q的量子MDS码.

2 主要结果

2.1 第一类量子MDS码的构造

为了得到本小节的结果，需要下面几个引理.

(1)

综上，总有〈aqi+j，vq+1〉E=0.

2.2 第二类量子MDS码的构造

为了得到本小节的结果，需要下面几个引理.

(2)

(3)

AuT=(0，…，0)T，

(4)

考虑方程组：

BuT=(1，0，…，0)T.

(5)

综上，总有〈aqi+j，vq+1〉E=0.