基于广义Reed-Solomon码构造的两类量子MDS码

2021-03-17 09:33李建涛王伟伟
关键词:综上辽宁大学广义

李建涛,王伟伟

(辽宁大学 数学院,辽宁 沈阳 110036)

0 引言

近年来,量子计算成为一个热门的话题.量子纠错码在量子通信和量子计算中扮演重要角色.构造一个具有好的参数的量子纠错码是非常重要的.近年来,许多研究者通过经典纠错码构造了大量的量子纠错码.

1 预备知识

1.1 Hermite自正交

1.2 广义Reed-Solomon码

GRSk(a,v)={(v1f(a1),v2f(a2),…,vnf(an))|f(x)∈Fq2[x],degf(x)

称GRSk(a,v)为Fq2上的一个广义Reed-Solomon码GRSk(a,v).是一个参数为[n,k,n-k+1]q2的MDS码.事实上,GRSk(a,v)的生成矩阵为

下面的引理常被用来判断一个广义Reed-Solomon码是否是Hermite自正交的.

下面的结果现在经常用于构造新的量子MDS码.

定理 1[22]如果C是参数为[n,k,d]q2的线性码且C⊥H=C,则存在参数为[n,2k-n,≥d]q的量子码.

推论1[22]如果C是参数为[n,k,n-k+1]q2的经典Hermite自正交MDS码,则存在参数为[[n,n-2k,k+1]]q的量子MDS码.

2 主要结果

2.1 第一类量子MDS码的构造

为了得到本小节的结果,需要下面几个引理.

(1)

综上,总有〈aqi+j,vq+1〉E=0.

2.2 第二类量子MDS码的构造

为了得到本小节的结果,需要下面几个引理.

(2)

(3)

AuT=(0,…,0)T,

(4)

考虑方程组:

BuT=(1,0,…,0)T.

(5)

综上,总有〈aqi+j,vq+1〉E=0.

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