新三维离散系统的动力学及混沌控制

李德奎，魏兴民

(1.甘肃中医药大学 定西校区 理科教学部，甘肃 定西743000；2.甘肃中医药大学 公共卫生学院，甘肃 兰州730000)

0 引言

自1963年气象学家Lorenz提出著名的Lorenz系统[1]以来，大量的混沌系统相继被提出，其中具有代表性的连续系统有Chen系统[1]、Lü系统[1]等，离散系统有Logistic映射[2]、Hénon映射[2]等.对离散系统的研究目前主要集中在二维系统的动力学分析、同步控制及应用方面[3-7]，对高维离散系统的研究较少，然而现实生活中，利用高维离散系统能够解决许多实际问题，尤其是在图像加密中具有重要的应用价值[8-9]，为此研究高维离散系统的动力学及混沌行为是必要的.

混沌控制是混沌应用的前提.1990年，Ott等[10]提出了利用参数微扰法进行混沌控制，这种方法也被称为是OGY方法，但是此方法的缺点是以局部线性化为基础，控制过程中存在误差.此后，混沌控制问题一直是混沌研究的一个热点[11-16]，一些混沌控制方法被相关学者提出，例如自适应控制法[13]，滑膜控制法[14]，模糊逻辑控制法[15]，神经网络控制法[16]，等等，这些方法为精确地实现混沌的控制与同步奠定了基础.

基于以上考虑，本文基于Hénon映射为基础，通过增加非线性项的方法，给出了一个三维离散系统，该系统共有12个项，其中含有7个非线性项，并研究了系统丰富的动力学行为，同时对系统的混沌行为利用Metican小波函数进行了控制，将系统的混沌运动控制到周期运动，本文的研究成果混沌遮掩保密通信技术具有重要的理论意义.

1 新三维离散系统

本文给出的新三维离散系统是一个三元二次迭代方程组，其动力学方程为

(1)

其中a、b为系统参数，取定参数b=0.3，当参数a∈[-0.3，0.4]时，绘制出系统(1)的分岔图，并通过分岔图分析系统的动力学行为，变量xn随参数a变化的分岔图如图1所示.

图1 新离散系统(1)的分岔图

从图1(a)可以看出，当参数a∈[-0.3，0.2)时，系统(1)处于周期运动，当a∈[0.2，0.32]时，系统(1)进入混沌区域，从图1(b)可以看出，在混沌区域内，有许多周期窗口，系统在混沌与周期运动之间交替运动.

取初值条件为x0=0.7，y0=0.3，z0=0.4，参数b=0.3时，给出了系统(1)在a的不同取值下的相图.

图2 新离散系统(1)随参数a变化的相图

从图2可以看出，当参数a=-0.1时，系统(1)稳定于平衡点，系统处于静止状态(如图2(a)所示)；当参数a=0.14时，系统(1)稳定于周期三运动(如图2(b)所示)；当参数a=0.195时，系统(1)的周期三失稳，出现三条闭合曲线(如图2(c)所示)；当参数a=0.28时，系统(1)处于混沌运动状态，具有如图2(d)所示的混沌吸引子；当参数a=0.292时，系统(1)又处于周期十运动(如图2(e)所示)，当参数a=0.32时，系统(1)处于混沌运动状态，具有如图2(f)所示的混沌吸引子.在混沌区内随着参数a的不断增大，周期运动与混沌运动交替出现，这与从图1所示的分岔图中得到的结论是一致的.

2 新三维系统的混沌运动

根据非线性系统的线性化方法，可得系统(1)的雅可比矩阵为

(2)

设

J=f′(x1)f′(x2)…f′(xi)

(3)

将矩阵J的3个特征值求模，得到由大到小的排列为

(4)

系统(1)的Lyapunov计算公式为

(5)

其中k=1，2，3.

根据系统(1)的Lyapunov计算公式为(5)，当系统参数a=0.32，b=0.3，初值条件为x0=0.7，y0=0.3，z0=0.4时，系统(1)的Lyapunov指数谱为(0.167 0，-0.410 0，-0.428 3)，有一个大于零的Lyapunov指数，说明系统(1)在参数a=0.32，b=0.3处于混沌运动状态.

同样在系统参数a=0.32，b=0.3时，针对两组不同的初值条件x0=0.7，y0=0.3，z0=0.4和x0=0.700 01，y0=0.3，z0=0.4，考察系统对初值的敏感依赖性.

图3 新离散混沌系统(1)对初值条件的敏感依赖性图

从图3可以看出，对于初值条件的微小差异，系统的运动轨迹大相径庭，进一步说明当系统参数a=0.32，b=0.3时，系统(1)处于混沌运动状态.

3 小波函数迭代控制

小波函数具有振荡性，随着自变量在正负方向的不断延伸，小波函数快速衰减，因此其具有很强的收敛性，用小波函数进行混沌控制，能够抑制系统的混沌行为，Metican小波函数的数学表达式为

图4 Metican小波函数的图像

(6)

其图像如图4所示.Metican小波函数不具有正交性和尺度函数，但在时域和频域上具有很好的局部化性质，同时满足在全体实数区间上的无穷积分为零.

本文选择Metican小波函数对系统(1)进行混沌控制，为了得到更多的控制结果，将小波函数的系数设为增益系数k，通过调节增益系数k的值，实现对系统(1)的各种控制，用小波函数分别乘以第一个和第二个方程，得到受控的迭代方程组为

(7)

图5 Metican小波函数控制下系统(1)分岔图

将系统参数和初值条件取为a=0.32，b=0.3，x0=0.7，y0=0.3，z0=0.4时，系统(7)关于增益系数k的分岔图如图5所示.

从图5可以看出，通过小波函数，可以将系统控制到周期轨道，同时也能将系统控制到混沌轨道等，可以看出当k=0.1时，小波函数能将系统控制到周期一运动，当k=5时，小波函数能将系统控制到周期三运动，当迭代次数n=2 000时，打开控制开关实施控制，小波函数控制的结果如图6所示.

图6 小波函数控制下系统(1)的迭代次数序列图

4 结论

由于众多实际问题能够用高维离散系统来描述，所以研究高维离散系统的动力学行为及其混沌控制是非常必要的.本文给出的三维离散系统具有丰富的动力学行为：周期运动、准周期运动以及混沌运动等.通过Metican小波函数仅对三维离散系统的两个变量进行了控制，在不同的反馈增益系数下，能将三维离散混沌系统控制到不同的周期轨道.