小学数学整体性作业的设计与分析

朱海湘

摘要：设计、分析作业是小学数学教师必备的一项基本技能。高效的作业设计、有效的作业分析，可以将教师、学生从繁重的作业中解脱出来，可以将学生由被批作业转化为积极参与的主动状态。本文基于认识射线、直线、角的作业，阐述如何设计整体性作业，提出相应的分析作业的建议。

关键词：数学作业;整体性;设计;分析

分类号：G623.5

本次作业样本分为两次随机抽样，两次都来源于昆山市某小学四年级的部分学生。在新授后当堂练习反馈，在10分钟内完成。

一、设计整体性作业

考虑数学课程标准的要求和学生的实际情况，在目标、内容、题型、难度等方面体现作业整体性。

1.作业目标具有整体性

“作业目标要与适宜的教学目标相匹配”。“基于标准的学生学业成就评价的核心在于学生学业评价与课程标准的一致性”。根据小学数学第一学段课程内容的要求，确定本课的教学目标是：1.在认识线段的基础上，进一步认识射线和直线，知道三者之间的联系和区别。2.认识角的特征，知道角的符号。理解射线和角的关系。3.培养学生动手操作的能力和初步的空间观念。使学生获得成功体验。重、难点是：区别线段、射线和直线;理解角的含义。

依据教学目标和重、难点，可见，本课主要的核心素养是直观想象和数学建模，下面将具体分析：

第一题是填空题。要求学生找出线段、射线和直线的异同点，从端点个数、能否延长这两个维度来考察学生。核心素养是直观想象，关键能力是直观感知。

第二题是选择题：

1、下面（      ）可以看作射线。

A、米尺    B、手电筒的光     C、   D、竹棍

2、直线与射线比较（     ）。

A、直线长一些          B、一样长       C、无法比较

3、在墙上固定一根长木条，至少需要（     ）枚钢钉。

A、1         B、2       C、3           D、4

本题要求学生能认识线段、射线、直线之间的关系与区别，了解简单图形的基本特征。要求学生从生活中的实物抽象出射线模型，抽象出两点确定一条线段。其中，第2题的选项C，根据第一次学生的作业情况，结合分析学生想法，第二次作业将“无法比较”改成了“无法比较长度”。核心素养是直观想象、数学抽象 ，关键能力是直观感知、空间观念。

第三题是操作题，考察学生作图能力。要求学生画一条长3厘米的线段，画一条射线、直线、角。学生感知简单图形的构成要素，准确作图。核心素养是直观想象，关键能力是直觀感知、操作 。

第四题要求学生数出下图中有几条线段，几条射线。

学生建立线段、射线和角的表象，有顺序地找出线段、射线和角的条数，有序数。核心素养是直观想象、 数学建模 ，关键能力是空间观念、分析和解决问题 。

两次新课是由两位不同的老师授课的。第一次练习时出示了如上所示的图。第二次发现老师在上课过程中已经出现与上图一样的图，考虑到作业与上课内容的整体性，改成了这样的图：

第五题要求学生数下图中有几个角。             学生建立角的表象，根据图有顺序地找出角的个数。核心素养是直观想象、数学建模，关键能力是几何直观、分    分析和解决问题。

可见，本次作业的题目与题目之间、作业目标与教学目标之间具有整体性。

2.作业内容具有整体性

内容的整体性表现在前后知识点的整体性和方法的整体性。第一题由学生二年级学习的线段引入射线，将线段、射线、直线的特征进行比较。在二年级，已经要求学生有序数平行四边形的个数。第三题要求学生先画出线段，再画出射线、直线、角，是由已知向新知的迁移。第四题中要求学生有序数出线段的条数，然后要求学生有序数出射线的条数，第五题和第四题方法上也具有整体性。以后，学生在高年级学习列举法也是要求学生有序数。

3.作业难度具有层次上的整体性

“作业内容除了要与适宜的教学目标相匹配之外，还要照顾到作业难度的合理分布” 。数学作业题目的难度设计，一般以基础题为主，主张题目的难度设计具有层次性。

（1）从关键能力难度分解的角度来体现难度的层次性。第一题要求学生感知简单的线段、射线、直线的构成要素，能辨认这些基本的几何图形，是水平一的难度。第二题、第三题要求学生了解线段、射线、直线的基本特征，能根据生活中的具体实物辨认从不同角度观察到的射线，知道两点确定一条线段。根据图形特征进行作图，都是水平二的难度。

第四题中，学生一般有两种有序数的方法：一种是先标好端点的序号，如图所示，先数①②之间的一段，再数①③之间的一段，最后数②③之间的一段。另一种是

先数最短的线段，再数两条最短的线段组成的线段。先数①②之间的一段，再数②③之间的一段，最后数①③之间的一段。

第五题与第四题有序数的方法是一致的，在设计上与第4题形成了梯度。这两题都要求学生选择运用合适的有序数的方法，分析问题，是水平三的难度。

五道题中，预设是水平一难度的有一道，水平二难度的有两道，水平三难度的是两道，而且是由浅到深的，难度比例分布体现了整体性。

（2）通过正确率的反馈角度：

第三题是操作题，两位教师在课堂上都出示过线段、射线、直线、角的示意图，部分学生没有在线段上标示3厘米，这里也是算学生正确的。因此，本题学生全部正确。

“从统计意义上说，常以能够正确完成的学生的比例来确定作业题的难度”。由第一个表格明显看出第四题难度不大，因此，第二次作业将题中端点数增加，难度坡度更明显了。从这两个表格的统计可以看出，作业的设置体现了难度的坡度。

二、从整体角度分析作业，提出建议

“如果教师从不批改学生的作业，或者对于学生作业中出现的错误置之不理，那么就无法发挥作业的价值。”

1.统计整体样本正确率

“作业统计与分析是教师通过作业诊断学生学习情况和教学效果的重要途径之一。”之前，教师改进作业的措施多在布置类似的题目，“缺乏对相关作业错误率等方面的客观统计”。为了改进作业质量，反思作业本身，统计出了表1-1和表1-2，并针对表格中反映的问题及时调整作业。

2.整合多重因素，分析错误

（1）结合学生概念理解

通过表1-1和表1-2可以看出，第一题和第二题的第1小题学生都是没有发生错误的。可见，学生基本了解了“直线、射线都是可以无限延长的，只有线段是可以测量长度的”。有趣的是，选择题第二题有学生认为“A.直线长一些”，还有学生认为“B.直线和射线一样长”。选A的学生说“直线两端都可以无限延长，射线只有一端可以无限延长，所以直线长一些，”选B的学生说“直线和射线都是无限长的，所以直线和射线一样长”。为了进一步分析，进行追问：

师：直线可以无限延长的吗？

生：可以。

师：能测量长度吗？

生：不能。

师：那么射线能测量长度吗？

生：射线不能测量长度，因为它也是无限延长的。

师：直线和射线都是无限延长的，无法测量长度，能比较谁长谁短吗？

问到这里，学生会发现直线和射线是无法比较长度的。因此，在第二次练习时，将选项C中的“无法比较”改成了“无法比较长度”。作业解释性更科学。

可见，学生虽然记住了“直线和射线都是无限延长的”的概念，但是对于“无限延长”的理解依然没有上升到“无法测量长度”的程度。要纠正学生的错误，就要讲清楚“无限延长”。教师用手电筒的光模拟射线，讲到“手电筒的光越过教室、田野，射向的是无尽的远方”，需要强调“还能射的更远吗？射向茫茫的宇宙，不知道有多远，无法度量”。

“我们将一条起始于A点的射线去表示每个由A出发的方向。”射线固定的是方向，长度是无法度量的，这样学生对概念的理解更到位。

选择题第3题第一次作业中，有1位学生认为只要一枚钢钉将木条钉在墙上，他不理解“确定”的含义。第二次作业位1学生认为钢钉越多越好。这两位学生并没有从数学的角度理解概念，而是从自己的生活经验角度。

教师要注重引导学生从概念的本质出发，让学生理解概念。

（2）结合教师上课内容

第四题的第一次作业中，有一位学生只数出了1条线段，数的是最长的一条。他提到教师上课所说的一句话：“端点在两边，中间的一段可以看成是一条线段”。他认为，只有两边的端点之间看成一条线段。学生没有意识到，只要有两个端点，这两个端点之间的一段就可以看成是线段。为什么只有这一位学生发生错误？也许是学生在二年级已经学过数线段，所以其他学生对线段的模型已经掌握。而这位学生对线段的模型认识不坚定，受到上课老师的影响。

数学教师要注重对概念解释的科学性。

第五题在两次作业中，正确率都不太高。两位教师在上课过程中都讲过有序数。但是，教师仅仅提到了“有序数”，并没有去分析到底怎样数才叫“有序”。两次作业的错误集中在漏数、重复数。通过教师的提示，两次作业都有部分学生已经初步具备有序数的意识，但是没有数准确。比如第二次作业有学生数出了7条线段。如图所示，他先数出最短的线段有4条;再数两条最短的合成的线段，有① ③之间的一段，③ ⑤之间的一段;最长的一段。学生漏数了②④之间的一段，①④之间的一段，②⑤之间的一段。   ①  ②   ③ ④  ⑤

第二位老师上课时举了一个数角的例子：          ，演示了数角的一种方法：

先数两个小角组成的大角，再数小角，一共有三个角。于是，在第五题的第二次作业中，有学生数出5个角、7个角：

这些学生都有一个共同的错误：通过教师举例，学生认为只需要数大角和两个小角组成的角，不清楚三个小角、四个小角等等也可以组成大角。

第一次作业中，5人中有2人数错射线，第二次作业中12人中有2人数错，正确率有了明显的提高。第一位教师没有带领学生探讨数射线的规律。第二位教师带领学生探讨出公示：射線条数=端点个数×2，学生能够写得又对又快。

可见，教师上课过程中所举的例子深刻影响着学生。教师新授过程中要力求例题的多样性。

参考文献

[1]王月芬、张新宇等.透析作业，基于30000份数据的研究[M].华东师范大学出版社.

[2]崔允漷、王少非等..基于标准的学生学业成就评价[M].上海：华东师范大学出版社，2008.

[3]江苏省基础教育质量检测中心办公室.小学数学核心素养与关键能力框架[M].江苏凤凰科学技术出版社.

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