“泰勒公式”的导入与剖析

智红燕 张丹青 张艳华 赵旭波

[摘 要] 从函数改变量的微分近似出发，通过类比归纳和误差“捡回”的方法导入泰勒公式，并阐述其几何意义、物理意义、原型、唯一性、缺点，最后从哲学的角度分析泰勒公式蕴含的真善美。既有助于学生理解和掌握泰勒公式，又能提升学生的数学思维品质。

[关键词] 泰勒公式;误差“捡回”法;类比法;高等数学

[中图分类号] O13    [文献标识码] A   [文章编号] 1674-9324（2021）01-0125-04    [收稿日期] 2020-11-28

一、引言

泰勒公式是高等数学的重点和难点，也是数学教学研究的热点之一[1-6]。在传统的教学过程中，授课教师着重介绍泰勒公式的定理、证明、常见函数的泰勒展开式及其简单应用。然而，泰勒公式的“逼近思想”、化繁为简的转化思想在授课时往往被忽略，学生无法深入理解和掌握，更不能领悟到泰勒定理蕴含的数学思想和哲学思想[1]。

二、泰勒公式的导入

教师先引导学生总结用刻度尺测量身高的过程：先用单位是米的尺子测量，假设得到数据1米。不足一米的部分作为误差出现，结束测量，此时测量的身高就是1米。学生自然觉得这样误差太大，要提高精度。继续用单位是分米的尺子测量误差部分（即不足1米的部分），假设得到数据6分米。不足分米的部分作为误差出现，结束测量，测量的身高就是一米六。此时学生自然会想到接着可以用單位是厘米的尺子测量误差部分，假设测得数据是5厘米，人的身高就是1.65米。进一步强调真实身高=1.65米+误差（不足厘米部分）。然后指出这一测量过程的关键是首先找到度量单位米、分米、厘米。方法是先用最大的单位去度量，再依次用小一个级别的单位去度量丢掉的误差部分，达到逐步提高精度、接近真实值的目的。

三、泰勒公式的剖析

导入泰勒公式后，进一步从历史、原型、几何、物理、唯一性、哲学和优缺点等角度分析泰勒公式，让学生更全面地内化泰勒公式的思想本质，培养学生的哲学思维，激发学习的原动力。

（一）泰勒公式的历史

四、结论

类比归纳+误差“捡回”导入法有助于学生体会到抽象的泰勒公式本质就是日常生活中“测量”精度的逐步逼近，深刻领悟泰勒公式的逼近思想。并从泰勒公式的历史、原型、几何、物理、唯一性、哲学和优缺点等角度全方位辩证地分析泰勒公式，这有助于学生“内化”泰勒公式的数学思想，提升数学思维品质，激发学习高等数学的热情，为以后微积分的进一步学习打下了坚实的基础。

参考文献

[1]同济大学数学系.高等数学（上册）[M].北京：高等教育出版社，2007.

[2]唐玉其.浅谈“泰勒公式”课的教学[J].工科数学，1991，7（3）：159-161.

[3]张锐，杨敏，吴明永，等.从学术形态到教育形态：泰勒公式教学之分析[J].高等理科教育，2017（4）：91-95.

[4]陈丽.关于泰勒公式课堂教学的尝试与体会[J].高等数学研究，2010，13（2）：59-60.

[5]康建梅，陈占华，郑丽霞，等.对“泰勒公式”教学的探讨[J].内蒙古师范大学学报（教育科学版），2017，30（3）：139-141.

[6]韩云瑞.微积分概念解析[M].北京：高等教育出版社，2007

[7]陆晓朋，王能超.泰勒公式通古今——微积分史学习札记之二[J].高等数学研究，1998，1（1）：13-16.

[8]赵敦华.现代西方哲学新编[M].2版.北京：北京大学出版社，2014.