光子纠缠光纤陀螺仪的相位检测灵敏度分析

张桂才，冯 菁，马 林，王周祥

（天津航海仪器研究所，天津 300131）

基于Sagnac效应的光纤陀螺仪在惯性导航、控制和测量领域已经得到广泛应用。在传统光纤陀螺中，光按经典场处理，但探测过程被量子化，具有一种统计特征，被探测的光子数M服从泊松统计，光子数的标准偏差其中记为探测的平均光子数。换句话说，传统光纤陀螺的相位检测灵敏度受相对不确定性的影响，称为散粒噪声极限[1]。另一方面，作为一种角速率敏感器件，光纤陀螺的精度由相位响应以及最小相位分辨率 Δφ共同确定。相位响应也即Sagnac标度因数，正比于两束反向传播光波包围的面积，反比于干涉光波的波长λ。因此增加光纤线圈的长度和直径，或者采用较短波长可以增强光纤陀螺的精度。X射线以及电子、中子和原子的德布罗意波虽具有较短的波长，但波的产生和传导相当困难且闭合面积小，不具有精度优势[2]。因此传统光纤陀螺通常需要采用较大的结构尺寸和光纤长度来进一步提高精度[3-5]。

光子纠缠光纤陀螺仪提供了一种新的技术途径，可以突破经典Sagnac干涉仪的散粒噪声极限[2,6,7]。基于光子纠缠的光纤陀螺仪理论上能够较容易实现超相位分辨率（干涉条纹加倍），但能否实现量子增强的相位敏感，还要依赖于其干涉输出的相位不确定性是否突破经典光纤陀螺仪的标准量子极限，也即超相位检测灵敏度。光子纠缠干涉测量技术采用光的非经典态，一般由自发参量向下转换（SPDC）过程产生[8]。本文阐述了光子纠缠光纤陀螺仪的工作原理，针对量子输入通常需要双输入/双输出的光路特征，提出了一种采用双环行器的光子纠缠光纤陀螺结构；基于理想的最大光路纠缠N00N态，首次推导了N00N态光子纠缠光纤陀螺的德布罗意波的量子干涉公式，并将N00N态光子纠缠光纤陀螺仪的相位检测灵敏度极限与具有相同光子数（光功率）的一般光子数态输入以及经典输入的相位检测灵敏度进行了对比。

1 采用经典和量子输入的Sagnac干涉仪

1.1 经典输入

图1 是传统Sagnac光纤干涉仪的结构示意图，由一个50：50分束器和一个光纤线圈组成。理想情况下，端口1和端口2的光强测量分别变为：

图1 Sagnac光纤干涉仪Fig.1 Sagnacfiber opticinterferometry

式中,Ein是输入光场的振幅，E1、E2是两个输出光场，φ是旋转引起的Sagnac相移。可以看出，在经典理论中，Sagnac干涉仪只需要一个光源，光源发射的光经分束器的其中一个输入端口分成两束入射进Sagnac干涉仪，在干涉仪内沿相反方向传播一周后，在同一个分束器上合光干涉，干涉光波也为两束，一束经光源输入端口输出，该端口称为互易性端口（端口1），另一束经分束器的另一个输入端口输出，该端口称为非互易性端口（端口2）。对经典Sagnac干涉仪来说，非互易性端口对环境变化敏感，不能精确测量Sagnac相移[1]，所以传统光纤陀螺采用一种最小互易性光路结构，其输入/输出共用一个端口（端口1）。

1.2 量子输入

在量子理论中，真空场总是存在的。因而，即使没有场入射进分束器的另一个端口，真空场也从这个端口进入[9]。实际中，为了实现输入模式和输出模式的有效分离，我们提出了一种采用双环行器的Sagnac干涉仪结构，如图2所示。a1和a2记为输入模式的算符。输出模式b1和b2与输入模式通过式(2)相关联[2]：

图2 采用双环行器有效分离输入模式和输出模式的量子Sagnac干涉仪Fig.2 Quantum Sagnacfiber opticinterferometry withtwocirculators tosplit input/output modes

式(2)中两个分束器代表了实际分束器的两次运用。不考虑分束器、光纤线圈的损耗等因素，矩阵SBS、Sφ以及S均为幺正矩阵。输入和输出模式通过线性变换相互关联：

其中，系数Sij的矩阵S被称为与网络有关的散射矩阵。设Sagnac干涉仪的散射矩阵S对应的幺正算符为U，作用于态矢量上，使态矢量演变。利用算符的动力学性质，有：

利用式(4)以及U的幺正性质：

因而得到：

式(7)表示输入光子态ai经过Sagnac干涉仪的演变，式(6)可以由输出光子态bi逆演变得到输入光子态ai。实际中，上述两式适合任何幺正性质的演变算符U，如UBS（分束器）、Uφ（相移器）。

2 基于N00N态的光子纠缠光纤陀螺仪

2.1 N00N态光子纠缠光纤陀螺的输出态

由于N00N态不是Sagnac干涉仪的输入态，这里假定非经典光源产生的适当光子态组合第一次经过分束器后生成N00N态，进而在Sagnac干涉仪产生的态为：

则第二次经过分束器后的输出态为：

由式(10)可以计算出探测器1和探测器2的输出光强为：

2.2 二阶符合计数和相位检测相对不确定性

由式(9)可知，N00N态光子纠缠光纤陀螺的输出态的二阶符合计数I12为：

光子数N为偶数时，由式(10)和式(12)推导得到：

分析式(12)(13)发现，在二阶符合计数I12中，n为偶数的光子数态的二阶符合计数叠加I12-e和n为奇数的光子数态的二阶符合计数叠加I12-o，两者幅值相同。I12-e和I12-o均呈现N倍频干涉条纹，且形成互补，这说明I12-e和I12-o都具有完整的量子增强信息。但总的I12=I12-e+I12-o为常值，并不包含Nφ信息。这需要设计N00N态光子纠缠光纤陀螺的符合计数比较方案，独立获得完整的二阶符合计数叠加I12-e或I12-o，才能实现海森堡极限的相位检测灵敏度。探测器1和探测器2的二阶符合计数（I12）减去独立计数（I1∙I2），并用每个探测器的独立计数归一化，得到为：

这是与式(1)经典干涉输出对应的体现德布罗意粒子的量子干涉输出公式。其中：

由式(1)和式(14)，综合考虑散粒噪声和光子纠缠效应，具有相同输入光子数N的N00N态光子纠缠光纤陀螺和经典光纤陀螺的相位检测相对不确定性为：

N较大时，N-1≈N，N00N态光子纠缠光纤陀螺的精度是经典光纤陀螺的倍，达到理想的海森堡极限1/N。

3 对比和仿真

3.1 N00N态与一般光子数态的比较

将具有相同光功率（相同光子数）的N00N态与一般光子态输入进行比较。取N=4，输入光子数态经过Sagnac干涉仪的输出态为：

其中，

图3 采用四个单光子探测器Di （i=1,2,3,4）对输入态为的输出态进行高阶符合计数Fig.3 Using four single-photon detectors tomeasure higher order coincidences for input states

3.2 N00N 态和其它输入态的相位检测灵敏度

由式(1)(14)(20)(21)可以给出具有相同光子数（N=4）的经典态、4004态、输入态的二阶符合计数以及高阶符合计数的干涉响应曲线，如图4所示。可以看出，经典态只有一个干涉条纹，幅值为4；4004态有四个干涉条纹，幅值为输入态的二阶符合计数有两个干涉条纹，幅值也为34；输入态的高阶符合计数有四个干涉条纹，但幅值仅为2×（3/16）2。

图4 具有相同光子数（N=4）的经典和量子的干涉响应曲线Fig.4 Classical and quantum interferenceresponse curves with the samephoton number (N=4)

如前所述，光纤陀螺作为一种角速率敏感器件，其精度由相位响应Nφ也即Sagnac标度因数以及最小相位分辨率Δφ共同确定。根据文献[7]的定义，干涉条纹倍频或导致缩短的德布罗意波长，称为超相位分辨率；突破散粒噪声极限，称为超相位灵敏度。表1给出了经典干涉和N00N态、一般光子数态（）的量子干涉得到的相位检测灵敏度对比。可以看出，N00N态作为最大光路纠缠态，已经突破散粒噪声极限，达到海森堡极限，比散粒噪声极限低倍（N=4）；而一般光子数态的二阶符合计数虽然存在2φ信息，但因为并非所有的输出态都对二阶符合计数有贡献，存在一个固有效率或概率，未突破散粒噪声极限；由于类似的原因，输入态的四阶符合计数尽管实现了干涉条纹的4倍频，但其概率（强度）进一步降低，其相位检测灵敏度比经典干涉低得多。

表1 经典态与非经典态的相位检测灵敏度对比（ N=4）Tab.1 Comparison of classic state with non-classic states for phase sensitivity

4 结 论

基于N00N态的光子纠缠光纤陀螺仪的双输入/双输出特征，提出了一种采用双环行器的光子纠缠光纤陀螺光路结构，首次推导了N00N态光子纠缠光纤陀螺的德布罗意波的量子干涉公式，并对光子纠缠光纤陀螺的相位检测灵敏度进行了研究。分析表明，采用最大路径纠缠N00N态，基于被探测的N光子的纠缠特性，导致一种缩短的德布罗意波长这种德布罗意粒子的统计特征服从亚泊松分布，探测的不确定性由经典的降为同时，光子纠缠效应使二阶干涉条纹的频率提高了N倍，这导致比经典光纤陀螺增强了倍，可以突破散粒噪声极限而达到海森堡极限。尽管N00N态的制备目前还相当困难，但国外的研究仍非常活跃[10-12]，其在光子纠缠光纤陀螺仪方面具有潜在的应用前景。将N00N态与具有相同光子数（光功率）的一般光子数态（的量子干涉以及经典干涉的相位检测灵敏度进行了对比。其它非经典态由于输出态的二阶符合计数及高阶符合计数存在一个固有效率，可能很难突破散粒噪声极限。此外，光子纠缠光纤陀螺仪还涉及光路互易性、施加偏置调制、光路元件不理想引起的退相干等问题，有待进一步研究。