基于教师—研究者伙伴关系的初中数学教学改进——以“一次函数”“问题提出教学”为例

徐冉冉，裘晓丽，姚一玲，蔡金法，

基于教师—研究者伙伴关系的初中数学教学改进——以“一次函数”“问题提出教学”为例

徐冉冉1，裘晓丽2，姚一玲3，蔡金法4，1

（1．西南大学 数学与统计学院，重庆 400715；2．萧山中学教育集团初中部，浙江 杭州 311201；3．杭州师范大学 教育学院，浙江 杭州 311121；4．美国特拉华大学 数学系，纽瓦克 19716）

对一位初中数学教师尝试运用“问题提出”教学手段教授“一次函数”进行案例研究．详细分析该教师经历“设计—实践—反思—改进”过程的5个循环周期，以理解教师是如何学会改进“一次函数”课堂教学的．揭示了有无问题提出设计的课堂之间存在着显著差异，有问题提出设计的课堂不仅可以为学生创造更大的学习机会，还能够让学生参与思考并增强对“一次函数”的概念性理解．同时，为一线教师学习如何运用问题提出开展数学教学提供范例．此外，研究表明了教师从一个版本的教学设计转换到另一版本教学设计的过程中所面临的挑战，以及教师—研究者合作伙伴关系是如何帮助教师克服挑战的．最后，研究结果还表明，在教师学习改进的历程中，需要重视教师对教学改进的信念和认同．

教师学习；问题提出；教学改进；一次函数

1 问题提出

《国家中长期教育改革和发展规划纲要（2010—2020）》指出，改革创新是教育发展的强大动力，提高质量是教育改革发展的核心任务．而学校改革是教育改革的基础与前提，教师教学改进是影响学校发展和进步的核心因素，亦是学校改革成功与否的关键．因此，为了使学校发生变革，就必须赋权于教师[1]．这就意味着，在提高教学质量的努力中，要让教师真正参与并关注教师实际所做的工作及影响其工作方式的因素．以便研究者或教育领导者从教师角度观察问题，更多地了解教师的实际需求以及这些需求所发生的背景，可以更深入地了解要解决的问题，从而帮助教师学习并促进教师教学质量的提升与学生数学学习的提高．

自20世纪80年代起，全世界基础数学教育改革的显著趋势是将问题解决引入到教学设计之中，且问题解决被视为中小学教学的核心，在数学课堂教学中占绝对主导地位[2]．然而，在数学领域中，提出问题的艺术比解答问题的艺术更为重要[3]．自1989年问题提出首次被纳入美国数学课程标准中之后[4]，越来越多的国家开始将问题提出视为非常重要的教学目标或教学手段，且不断变革的数学课程标准对问题提出均做了明确要求，但对于问题提出的具体应用却不甚明晰[5-7]．同时，教科书中问题提出活动的不充分与不连贯等编写特点[8-10]，以及教师缺乏问题提出知识与教学经验等现实实际，导致教师很难将问题提出有效整合至课堂教学中．

值得欣慰的是，为教师提供适宜的学习情境、量身定制的专业学习机会以及具有不同知识、技能的研究者的支持与帮助，可以有效帮助教师学习运用新的教学方法进行教学实践[11-12]．但是，学习并不是一蹴而就的，教师知道某些知识与某个问题相关是一回事，而把知识转化为行动是另一回事．那么，教师在学习改进历程中是如何学会运用问题提出进行课堂教学改进的呢？具体而言，教师在学习改进历程中，教师教学的设计发生了怎样的变化？教师的心路历程发生了哪些变化？研究者是如何帮助教师突破其所面临的现实困境的呢？

2 理论基础

2.1 问题提出教学的价值

问题提出推动着数学研究的进步与发展．纵观数学发展史，每个数学分支中那些最初、最老的问题都起源于经验，是由外部的现象世界所提出的，问题提出后，或得以解决，或提出新的问题代之．通过问题解决发现新方法和新观点，借助于一般化、特殊化、组合等方法对数学概念或知识进行分析和综合，提出重要的、困难的新问题，……，如此循环迭代，推动着数学的进步与发展[13]．例如，希尔伯特根据19世纪数学研究的成果和发展趋势而提出的23个数学问题，推动了整个20世纪数学的发展．他认为“只要一门科学分支能提出大量的问题，它就充满着生命力，而问题缺乏则预示着独立发展的衰亡或中止”，指出了问题提出在数学研究中的重要性．可以说，没有数学问题提出就没有数学问题解决，就没有数学科学的产生与发展．

问题提出教学可以创造更多学习机会．相比于问题解决教学，问题提出教学既可以为不同程度的学生提供不同发展的学习机会[14-15]；又能为学生提供更多思考、创造、表达或提出问题的机会；还有助于营造积极的课堂环境，为学生提供反思、批判与质疑的机会[16]．问题提出教学所培养出的好的问题提出者，还可以为自身创造出更多不同的学习机会．此外，教师在学习运用问题提出教学的过程中，不仅获得了学习新的教育理念或教学方法的机会，还拥有重新审视与提升自己的机会．

问题提出教学能有效促进学生的数学学习．从传统视角来看，数学课堂教学包含概念理解、技能习得和问题解决三大基本任务[17]．但是，由于数学学科自身的特点，数学抽象概念的教学一直是课堂教学的重点或难点，致使学生很难深入理解数学概念．研究表明，问题提出教学对学生学习概念性知识或对数学知识的概念性理解具有显著的积极影响[18-19]；有助于提高学生对问题解决的理解和技能，使学生成为更好的问题解决者；能提高学生问题提出能力，培养学生的创新意识与创新精神，促进学生创新思维与创新能力的发展．

2.2 教师学习的“情境”认知和“改进科学”理论

教师学习的最终目的是为了提高课堂教学质量以促进学生的学习与发展．然而，教师学习并不能直接对学生学习产生积极影响，而是通过促进其信念的改变和知识的增长，继而改善教师课堂教学行为，从而促使学生的学习产生积极变化[14，20]．从知识角度来说，教师学习是为了获得“为了实践的知识（knowledge for practice）”“实践中的知识（knowledge in practice）”“实践的知识（knowledge of practice）”3类知识，即“教育理论知识”“如何做”以及“为什么这么做”[21-22]．研究表明，教师的情境化学习更有利于教师知识的获得和专业发展，即在情境中更有利于教师思考如何改善教学行为、提高教学质量．

此外，教师学习运用问题提出进行教学，亦有来自Bryk等人所提出的“改进科学”（improvement science）理论的支持[23]．该理论有以下六大核心原则：第一，问题是具体的且以用户为中心，常常起始于“我们试图改进的具体问题是什么？”；第二，关注表现变化，具体情境下的具体因素可能导致问题有不同的表现；第三，查看产生当前结果的系统，理解造成差异性结果的不同制度的运行机制；第四，无法大规模地改进无法衡量的东西，需要采用适宜性的测评工具去评估取得的进步和改善后的效能；第五，通过“计划—执行—研究—行动（调整、纠偏）”（Plan-Do-Study-Act）循环框架来促进快速、高效的学习，从而取得进步；第六，通过网络社区加速学习，即鼓励主要参与者尽早、高频地参与相关的网络社区以取得共同进步．

基于此，研究中教师经历了5轮“设计（计划）—实践（执行）—反思（研究与学习）—改进（调整、纠偏）”循环迭代的学习改进过程，且每个循环中常常以该教师想要运用问题提出来解决其教学过程中所存在的具体问题为出发点，基于网络所联结的研究者与实践者合作伙伴关系，关注教师教学设计与课堂教学中的表现与变化，分析产生不同表现或变化的原因，并了解教师的心路历程与现实实践问题，以帮助教师解决其在问题提出知识、教学信念与情感等方面的问题，亦或是提出下一轮循环中教师所需改进的具体设计或教学中面临的挑战．

3 研究设计

3.1 研究对象

裘老师是一位拥有本科学历、一级职称及15年教龄的青年骨干教师，也是文章作者之一．从教以来，她所执教的课堂中多以为学生提供问题解决任务为主，通过“提问”“做题”“讲解”等互动交流方式，推进课堂教学．2018年5月，她参加了一项由当地教育局主办的高端研修班，并在该项目学习中首次接触问题提出，对问题提出教学产生了浓厚的兴趣．她在运用问题提出进行“一次函数”教学设计与实践之前，接受过两次由蔡金法教授开展的问题提出相关培训．裘老师好学，愿意接受挑战，期望在教学上不断进取．

3.2 协作伙伴关系

随后，裘老师拥有一次执教公开课的机会，她想尝试运用问题提出呈现一节精彩的课堂．为进一步获取更多的建议、指导与合作，裘老师与蔡教授建立了基于网络的实践者（教师）—研究者合作伙伴关系．研究者在教师进行问题提出学习、设计、实践、修改设计等过程中，不仅需要帮助教师完善问题提出知识方面的内容，而且需要帮助教师克服教学实践过程中所产生的各种问题，还需要关注教师情感态度的变化并适时加以鼓励、支持或引导．此外，裘老师在学习改进历程中，亦有其他教师伙伴、教学名师或教研员对她的课堂教学进行观摩与点评．

3.3 数据收集与分析

收集并分析了3类数据，一是6个版本的教学设计；二是教师教学日志与教学反思；三是教师与研究者之间的交流互动过程．旨在探究教师在学习改进的5轮循环过程中设计的变化，教师的挣扎过程或心路历程，研究者是如何对教师进行指导或帮助的，以及产生了什么变化等．

将教师学习改进前后执教时所采用的6个版本的教学设计分别记为：D0，D1，D2，D3，D4，D5．其中，D0是教师首次接触问题提出之前的设计；D0、D1、D2、D3是公开课前4次磨课的设计；D4是公开课的设计；D5是公开课后教师进一步完善并实践的最终设计．

4 研究结果

4.1 教师学习改进前后的两个案例

为更好地描述和分析教师在学习改进历程中教学设计的变化、心路历程等，特呈现出教师未接触问题提出前“一次函数”概念教学课堂中的数学任务（详见表1）与最后一次问题提出教学实践中的数学任务（详见表2），分别记为教师学习改进前与学习改进后的数学任务．对比表1与表2，可以看到改进前后两次设计间的变化．

4.2 教师学习改进的历程与变化

4.2.1 第一轮循环

教师学习与心路历程．起初，裘老师很想尝试运用问题提出进行“一次函数”概念课堂教学，主要有3个方面的原因：第一，通过培训接触问题提出后，对问题提出教学很感兴趣，想尝试运用新的教学方法开展一节新颖且有深度的课堂教学；第二，拥有执教公开课的机会，会有一些数学教学名师、特级教师、教研员及教师伙伴进行观课、指导，展示机会十分难得；第三，“一次函数”知识的重要性、学生对数学抽象概念的理解滞于数学表达式表面与“一次函数”应用上的困难等，使得她对以往该内容的教学不太满意．因此，裘老师希望通过问题提出教学为学生提供更多的学习机会，以加深学生对数学知识的理解，提高学生问题解决能力．裘老师在尝试运用问题提出进行“二次根式”内容的教学实践后，更坚定地想要尝试“一次函数”问题提出概念教学．

表1 学习改进前（D0）课堂数学任务设计

表2 学习改进后（D5）课堂数学任务设计

此外，在研究者与教师交流过程中，蔡教授详细追问了裘老师对以往“一次函数”概念课堂教学中的哪些部分不满意．裘老师认为，“学生并未真正理解‘一次函数’概念，无法理解或独立解决相关问题，尤其是个人所得税问题”．通过教师反馈，发现教师在课堂教学中更关注学生对数学知识程序性方面的理解，课堂教学以教师“讲解”与学生“解题”为主，且未能为学生提供足够的思考时间．基于此，蔡教授让裘老师进一步思考：（1）对于学生而言，什么才叫理解了“一次函数”；（2）对于教师而言，如何才能让学生理解“一次函数”；（3）转变概念引入设计的视角，由原来的通过教师给定问题情境产生方程后再引入函数，转变为由教师给定一个方程产生具有不同情境或意义的方程．

教学设计的改变（D1）．D1与D0（见表1）相比，裘老师在概念形成前（引入新课环节）与形成后（巩固新课环节）分别设置了一个学生问题提出活动．即，（1）请同学们在白纸上任意写出一个函数表达式，并用数学的表达方式，让大家猜一猜你写的函数表达式是什么？（裘老师预设学生能用文字表达、列表法、图象法等多种不同方法阐述，并得到多个不同的函数表达式）；（2）请同学们用不同的字母表示变量，写出3个一次函数，并让同学指出其中相应的、的值（旨在复习巩固，并强调一次函数的特征）．同时，删除表1中任务一至任务三．

教学效果与反思．第一次问题提出教学实践效果并不理想，裘老师感到很沮丧．在借助问题提出方法引入“一次函数”概念时，学生因不理解教师的问题“谁愿意用数学的表达方式，让大家猜一猜你写的函数表达式是什么？”而不知该如何予以反馈或提问．与以往教学不同，“问题提出”活动让裘老师感觉“失控”了，且耗时过长，以致后续的教学任务（任务四至任务八，课堂教学时间仅15分钟）以学生做题、教师讲解为主．裘老师反思后认为教学效果不理想的原因主要有以下3点：（1）问题提出任务中语言设计方向不够明确，导致学生不能准确理解教师的意图，因此，学生很难积极参与到该活动中并及时提出合理有效的数学问题；（2）课堂教学中并未让学生清楚理解什么才是一次函数；（3）教学任务过多，使得教学过程较为匆忙，且以教师讲解为主，留给学生思考的时间较少．

裘老师邀请了几位经验丰富的教师进行观课与评价，但这些教师并没有运用问题提出进行课堂教学的经验．课后，听课教师认为，“问题提出不适合‘一次函数’概念教学”．因为知识的生成过程颠倒，即先写出解析式，再由学生创设与解析式相关的生活情境，不利于学生对抽象概念的理解，反而把问题变复杂了．

4.2.2 第二轮循环

教师学习与心路历程．第一次问题提出教学效果与教师预设相差甚远，观课教师所给的反馈使裘老师对是否继续尝试“一次函数”问题提出概念教学犹豫不决．与此同时，蔡教授不仅在研修班的群中鼓励和支持裘老师，还邀请了两位教师对裘老师进行帮助与鼓励（其中一位小学数学教师拥有问题提出教学的成功经验），并与他们交流了裘老师在教学实践中所遇到的挫折．此外，蔡教授还为裘老师提供了两个问题提出教学案例及一篇有关教科书中问题提出的论文[24-26]，希望能帮助裘老师更深、更好地理解问题提出教学手段．基于教学反思与进一步学习，裘老师对教学设计进行进一步修改，并决定再次进行问题提出教学实践．裘老师说：“不试过我不甘心，或许修改后的问题提出任务方向更明确了呢？教学效果可能会像论文中的小学课堂那样精彩呢？”

教学设计的改变（D2）．D2与D1相比，主要有3点变化：（1）第一个问题提出活动的引导语改为“谁能出一个数学题目，让大家猜一猜你刚才写的函数表达式是什么？”；（2）教学任务减少，删掉表1中任务八；（3）给学生更多表达的机会，尽量让学生讲解、点评，教师进行总结补充．

教学效果与反思．教学效果与第一次教学实践效果相差无几．尽管改进后的语言设计更为精准，学生清楚自己要做什么，出现了裘老师所期望的结果，比如用文字表达、图象法、列表法来阐述，但也出现了学生书写用时较长、表达不清楚以及函数表达形式较为单一等问题．另外，因教学任务减少且难度降低，除问题提出任务外，其它教学任务没有太大的挑战性，学生反应平淡且参与度不高．裘老师认为造成这种现象的原因，一是一次函数概念抽象，让学生提出问题起点过高，且学生缺乏问题提出经验；二是问题提出的设计还不够精准有效．

4.2.3 第三轮循环

平凹爱吃面，还爱结交做面的人。他的朋友中，岐山人不少，其中有一个因为做面而发达的大老板叫胡永丰。平凹为陕西面食饭店题写的第一块匾额就是“永丰岐山面”，现在是注册商标，已经成为西安城里的金字招牌。这家店总店雄踞雁塔脚下，外地客人来来往往，如潮涌动，头一眼看到的就是平凹题写的门口牌匾。看到贾平凹的字，多半人会进来吃面。这就是名人效应。

教师学习与心路历程．两次教学实践的失败让裘老师感到十分沮丧，认为“问题提出也许真的不适合‘一次函数’概念教学”．因此，裘老师决定暂时不考虑运用问题提出进行“一次函数”的教学实践，但会考虑在复习课或内容简单的课中再尝试问题提出教学．蔡教授试图帮助裘老师克服心理压力，并进一步帮助裘老师修改教学设计．蔡老师鼓励裘老师胆子大一点，这是个突破自我的好机会，不要怕其他教师同行听课，“我知道这是一个很大的挑战，但是挑战越大，你的成长就越大”．对此，裘老师也表示，“挑战越大，我越喜欢，我将继续修改设计”．

新修改的教学设计将问题聚焦至如何为学生设置更明确的问题提出任务以及如何将其更好地融入该节课中．因此，裘老师与研究者讨论什么样的问题情境有助于学生提出问题．蔡教授建议将录像带租赁费情境作为问题提出活动的背景，这个情境包含3种选择：第一，无年费，每个录像带每次收费14元；第二，年费350元，每个录像带每次收费10.5元；第三，年费525元，每个录像带每次收费7元．让学生根据给定情境提出不同的数学问题，并基于学生自己所提的问题，理解与的数学意义与现实意义，深化数学知识的概念性理解．裘老师认为，该情境在现实生活中并不常见，于是提出3个替代情境作为问题提出活动的背景，即招聘会问题、亚运会做球童问题、移动收费问题．但由于裘老师担心学生无法通过问题提出活动得到一次函数数学表达式以及再次脱离其预设与把控，最终决定依旧通过汽车加油问题解决任务（见表1中任务一）来引入“一次函数”概念．她不想展示一节内容分散、概念探究不清且教学秩序失控的公开课．基于此，蔡教授依旧给出3点建议：第一，任何新的方法一定要你感到舒服、认同才能执行，否则会适得其反，所以，如果你有疑惑的话，可以不参考；第二，在你原有设计的基础上应继续考虑“什么才叫理解了一次函数”；第三，“如何才能让学生理解一次函数，让学生的收获最大”．

教学设计的改变（D3）．退回到非问题提出的常规教学设计上．D3与D0相比，主要有以下3点变化：（1）在“概念引入”环节，删掉了任务二和任务三，教师通过提问和不断追问的方式引导学生从形式（=+）和规律两方面形成并理解“一次函数”概念；（2）在任务八中，学生学习方式发生转变，由学生解题、教师讲解转变为小组合作交流解题、学生分析讲解、教师引导修正，同时教师对学生表现与可能产生的问题做出预设，并给出解决方案；（3）新增3个问题解决任务（一个无情境任务，两个现实情境任务）．

教学效果与反思．该循环中，裘老师分别用D3与D0设计（不含学生问题提出活动，但问题情境有适当调整）进行了两次教学实践．两次教学皆采用实例引入，课堂教学以教师讲解、学生听课解题为主，学生学习方式单一，教学效果一般，且仍未找到自然而然地引入抽象概念的方式．

4.2.4 第四轮循环

教师学习与心路历程．“如何让学生的收获最大”，裘老师带着思考继续改进问题提出教学设计，并将新修订的教学设计与蔡教授进行协商．蔡教授发现，裘老师只是在原有教学设计的基础上增加了一些小的问题提出活动，这与问题提出的设计理念不太一致．此外，教学任务过多，学生可能没有足够的时间来思考并提出新的问题．于是，蔡教授给出了以下几点建议：第一，预设学生可能提出的所有问题，如果觉得有困难，建议与同事进行讨论；第二，如果担心课堂教学“失控”或无法预设，则可为学生设置具体的问题情境（例如，利用具体的、常见的=25+6为问题提出活动的情境，而不是让学生自选一个函数表达式作为问题提出活动的情境来提出现实问题）；第三，删掉原有问题解决任务（即表1中任务二至七），让学生有更多的时间来编题和思考解答个人所得税的应用题．

教学设计的改变（D4）．D4中仅包含3个大的教学任务：一是通过编写一个关于的代数式引出一次函数的概念（与表2中任务一类似）；二是让学生基于教师给定的“=25+6”函数表达式编写一个具有实际背景的问题；三是围绕个人所得税问题情境先后设计问题解决与问题提出任务，其中问题解决任务的目的在于帮助学生理解复杂的问题情境，而问题提出任务的目的在于为学生提供更多的学习机会，发散学生思维，帮助学生深入理解模型构建的意义与价值．

4.2.5 第五轮循环

教师学习与心路历程．公开课后，裘老师深刻感受到了学生的潜力，发现学生更喜欢也更愿意主动参与问题提出活动．因此，裘老师也更加积极主动地想要在公开课教学反思的基础上进一步完善教学设计，以期更符合学生的基础，更适合学生的需求．同时，裘老师预设了学生可能给出的问题，细化了问题提出活动教学的具体步骤．教师对问题提出教学更有自信了．

教学设计的改变（D5）．D5与D4相比，一是问题提出活动的问题情境或任务要求发生了变化，如任务一由“编写一个含有字母的代数式”变为“编写一个代数式”，任务二的问题情境由“=25+6”变为“=1 200+3与=1 200-3”等；二是，细化教学步骤与组织形式（详见表2）．

教学效果与反思．课后，学生也给予了积极的反馈：“这样的上课方式会让自己更想学，更有学习兴趣”“编题有助于我们打开思维，把同一个解析式变成不同情境或同一个情境的不同问题，很有挑战”．裘老师认为，课堂上一切决定的初心都是为了更有利于学生的学习，知识的获取，能力的提高和情感的发展．这节课让裘老师更加坚信问题提出教学独特的意义与价值．

5 讨论与启示

教师在“一次函数”问题提出教学实践探索之前，由于缺乏问题提出教学经验而无法充分预测课堂教学中可能会产生的问题，没有应对策略以及担心课堂教学失控，导致教师初次教学实践（D1设计的实践）与预期相差甚远．尽管教师自信心受挫，甚至对是否再次进行问题提出教学实践而感到难以抉择，但在研究者与教师同伴的指导、支持与鼓励下，教师不甘心就此放弃，于是进行了第二次问题提出教学实践探索（D2设计的实践）．当教师经历两次失败的问题提出教学实践后，自信心深受打击，于是开始质疑问题提出是否真的适用于“一次函数”概念教学．尽管研究者帮助教师将需要改进的问题聚焦至创设更适宜的问题提出情境、更明确的问题提出任务与如何将其融入至课堂教学中，同时与教师一起探究问题提出情境的适切性，但是教师因有公开课的压力以及未从心底充分认同学生具有足够的潜力提出问题，甚至是好的数学问题．因此，在接下来的两次教学实践（D3与D0设计的实践）中，均采用相对熟悉的教学方式进行教学．由于常规教学未能达到教师的期望，教师仍想通过问题提出与问题解决有机融合的方法找到一个自然而然引入并产生“一次函数”概念的过程．教师带着“如何使学生收获最大”的思考，重整旗鼓，在研究者持续地帮助与鼓励下，逐渐对问题提出教学有了更深入的理解，同时增强了教学自信，初次体验到“一次函数”问题提出教学实践（D4设计的实践）的成就．同时，亦对问题提出知识、教学及其独特的教育价值有了更深入的认识与理解，也更加积极主动地进行进一步完善设计与实践（D5设计的实践），对“一次函数”问题提出教学更加自信．值得注意的是，“如何使学生收获最大”是从关注“教”到关注“学”转变的重要指标．

总的来说，教师在学习改进历程中，教学设计经历了从“问题解决任务为主，问题提出任务为辅”（D1、D2），到“问题解决任务为主”（D3、D0），再到“问题提出任务为主，问题解决任务为辅”（D4、D5）的变化过程；相应地，课堂教学方式经历了从“以问题解决教学为主”，到“问题解决教学”，再到“问题提出教学”的转变．教师的心路历程经历了“过于自信→不甘心→质疑‘一次函数’问题提出教学→重振旗鼓，重获自信→非常自信、更积极主动”的变化过程．

从实践逻辑来看，教师学做一件新的事情，需要一定的参照、模拟和比较，教师难以从零创造，需要看到做出来的好的范例，才能根据自己的情境进行合理的迁移和创新[27]．因此，对于初学问题提出教学方法的教师而言，在其整个学习改进历程中，研究者所起到的作用尤为重要，尤其是当教师自身陷入质疑或否定时．具体而言，尽管研究者在教师首次进行“一次函数”问题提出教学设计之前，便提出了教师需要解决的两个确切问题及由问题解决任务向问题提出任务转变的新视角．但是从“认识到”到“做得到”需要一个过程．教学实践的失败及教师伙伴的质疑使得教师自信心受挫并开始犹豫不决，研究者及其他教师的鼓励有效地帮助教师缓解了心理压力，同时，研究者为教师提供优秀问题提出教学案例及教科书中的问题提出论文，帮助教师更好地理解问题提出教学．然而教学效果仍与教师期望相差甚远，教师问题提出教学自信跌至谷底．研究者再次帮助教师将需要解决的问题聚焦至问题提出任务方面，尽管教师对问题提出活动中情境与任务的认知逐渐深化，但由于教师对问题提出教学的不自信，对问题提出活动组织管理失控的焦虑，对学生提出问题潜力的不自信以及公开课的压力等，导致教师退回到常规教学设计上．对于教师的决定，研究者给予充分的尊重．当教师再次运用问题提出修改教学设计时，研究者针对教师设计中所存在的问题给出具体修改建议或范例，同时给出具体的原因，从而帮助教师解决问题提出情境或任务的宽泛或模糊性等问题，问题提出教学组织管理上的失控问题，对问题提出教学理念与本质认识的偏差等．帮助教师深入理解问题提出为何以及如何能促进学生对数学知识的概念性理解，而非仅仅关注学生的程序性理解．当教师真正经历并理解了问题提出教学的价值与意义后，教师从心底里更加认同问题提出教学方法与教育价值，更自主、积极地进行完善设计与实践．

可见，研究者除需要为实践者提供新的教育理论知识上的支持与帮助外；还需要关注教师实际所做的工作，帮助教师分析产生变化或问题的原因，帮助教师解决其所面临的教学设计与实践等方面的问题；同时，还需要关注教师心理上的变化与障碍，积极予以引导与鼓励．

未来，希望更多的教师学习问题提出教学方法，并进行问题提出教学实践．同时，希望更多的研究者将教师学习过程中具体行动的落实亦视为研究的一部分，关注教师问题提出教学实践过程中更具体、更微观的层面．

[1] SCHLECHTY P C．创建卓越学校：教育改革的六大关键系统[M]．杜芳芳，译．上海：华东师范大学出版社，2012：137．

[2] NCTM. An agenda for action: Recommendations for school mathematics of the 1980s [M]. Reston, VA: Author, 1980: 1-5.

[3] GEORG C. De aequationibus secundi gradus indeterminatis [D]. Schultz, 1867: 1-26.

[4] NCTM. Curriculum and evaluation standards for school mathematics [M]. Reston, VA: Author, 1989: 10-23.

[5] 中华人民共和国教育部．普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）[M]．北京：人民教育出版社，2020：5-8．

[6] SINGER FM, ELLERTON NF, CAI J. Mathematical problem posing: From research to effective practice [M]. NY:Springer, 2015: 6.

[7] 日本文部科学省．高等学校学習指導要領解説数学編[EB/OL]．（2018-07-01）[2019-10-17]．https://www.mext.go. jp/a_menu/shotou/new-cs/1407074.htm.

[8] 宋运明，夏小刚，张学杰．对小学数学教科书中“提出问题”提示语编写的思考和建议[J]．课程·教材·教法，2011，31（4）：52-57．

[9] 严卿，胡典顺．中国和日本初中数学教材中问题提出的比较研究[J]．数学教育学报，2016，25（2）：20-25.

[10] CAI J, JIANG C. An analysis of problem-posing tasks in Chinese and US elementary mathematics textbooks [J]. International Journal of Science and Mathematics Education, 2017, 15 (8): 1 521-1 540.

[11] 陈婷，徐红，徐冉冉，等．数学教师学习使用“问题提出”教学法的个案研究——以“用字母表示稍复杂的数量关系”为例[J]．数学教育学报，2019，28（2）：7-12．

[12]  LIVINGSTON K. The complexity of learning and teaching: Challenges for teacher education [J]. European Journal of Teacher Education, 2017, 40 (2): 141-143.

[13] 希尔伯特．数学问题[M]．李文林，袁向东，译．大连：大连理工大学出版社，2009：41．

[14] 蔡金法，姚一玲．数学“问题提出”教学的理论基础和实践研究[J]．数学教育学报，2019，28（3）：42-47．

[15]  CONTRERAS J. Unraveling the mystery of the origin of mathematical problems: Using a problem-posing framework with prospective mathematics teachers [J]. The Mathematics Educator, 2007, 17 (2): 15-23.

[16] ELLERTON N F. Engaging pre-service middle-school teacher-education students in mathematical problem posing: Development of an active learning framework [J]. Educational Studies in Mathematics, 2013, 83 (1): 87-101.

[17] 陈行，鲍建生，邢向东．国外数学任务设计研究50年：回顾与前瞻[J]．课程·教材·教法，2018，38（7）：139-143．

[18]  BRUECKNER L J, ELWELL M. Reliability of diagnosis of error in multiplication of fractions [J]. The Journal of Educational Research, 1932, 26 (3): 175-185.

[19] 姚一玲，徐冉冉，蔡金法．用“问题提出”诊断和评估数学教师的概念性理解[J]．数学教育学报，2019，28（3）：30-36．

[20]  CAI J, CHEN T, LI X, et al. Exploring the impact of a problem-posing workshop on elementary school mathematics teachers’ conceptions on problem posing and lesson design [J/OL]. International Journal of Educational Research, doi.org/10.1016/j.ijer.2019.02.004.

[21] SMITH C, MARILYN, LYTLE S, et al. Relationships of knowledge and practice: Teacher learning in communities [J]. Review of Research in Education, 1999, 77 (24): 249-305.

[22] 蔡金法，姚一玲．作为教师专业发展的公开课：理论基础和实践挑战[J]．小学教学研究（教学版），2018（1）：4-7．

[23]  BRYK A S, GOMEZ L M, GRUNOW A, et al. Learning to improve: How America’s schools can get better at getting better [M]. Cambridge, MA: Harvard Education Press, 2015: 30-68.

[24] 于文华，蔡金法．美国小学数学教学中的问题提出活动及启示——以West Park Place Elementary School为例[J]．数学教育学报，2018，27（5）：61-65．

[25] 丁玉华，曾令鹏．“乘法分配律”教学实录与评析[J]．小学数学教育，2017（21）：43-46．

[26] 胡典顺，蔡金法，聂必凯．数学问题提出与课程演变：两个版本小学数学教材的比较[J]．课程·教材·教法，2015，35（7）：75-79．

[27] 陈向明．跨界课例研究中的教师学习[J]．教育学报，2020，16（4）：47-58．

Learning to Design and Teach a Lesson on Linear Functions through Problem Posing: A Teacher-Researcher Partnership for Instructional Improvement

XU Ran-ran1, QIU Xiao-li2, YAO Yi-ling3, CAI Jin-fa4, 1

(1. School of Mathematics and Statistics, Southwest University, Chongqing 400715, China;2. Xiaoshan Middle School, Zhejiang Hangzhou 311201, China;3. College of Education, Hangzhou Normal University, Zhejiang Hangzhou 311121, China;4. Department of Mathematics, University of Delaware, Newark DE 19716, USA)

This paper presents a case study of a teacher trying to teach a lesson on linear functions through problem posing. Through a detailed analysis of five cycles of “Design-Practice-Reflection-Improvement” processes, we try to understand how the teacher learned to improve the lesson on linear functions. This study not only reveals the significant differences between the lesson without a problem-posing design and the lesson with a problem-posing design but also reveals the greater opportunities the lesson with a problem-posing design might create for students’ learning. In particular, the lesson with a problem-posing design allows students to engage in thinking and foster their conceptual understanding of linear functions. The problem-posing lesson can serve as a model for teachers to learn to teach through problem posing. In addition, this study shows the challenges the teacher faced in the process of improving from one version of the lesson to another and how the teacher-researcher partnership helped them overcome the challenges. The findings of this study suggest the need to attend to teachers’ beliefs and buy-in about an instructional innovation.

teacher learning; problem posing; instructional improvement; linear function

G632.0

A

1004–9894（2021）01–0025–07

徐冉冉，裘晓丽，姚一玲，等．基于教师—研究者伙伴关系的初中数学教学改进——以“一次函数”“问题提出教学”为例[J]．数学教育学报，2021，30（1）：25-31．

2021–01–02

国家社科基金后期资助项目——中小学问题提出的理论与实践探索（20FJKB006）；重庆市研究生科研创新项目——数学教师问题提出能力的实证研究（CYB18117）；西南大学引进人才（教育部“长江学者”讲座教授）计划项目——数学问题提出对教师专业发展和学生创新能力提升的长期跟踪研究（SWU118118）

徐冉冉（1990—），女，江苏徐州人，博士生，主要从事数学教育研究．蔡金法为本文通讯作者．

[责任编校：周学智、陈汉君]