有限元结合纳米压痕法确定ZnO薄膜的压电系数

刘 伟，吴远志，叶 拓，邓 彬，郑学军

(1.湖南工学院 汽车泵类零部件设计制造技术国家地方联合工程实验室，湖南 衡阳 421002；2.湘潭大学 机械工程学院，湖南 湘潭 411105)

1 前 言

近年来，随着微机电系统(MEMS)工艺和传感器技术的发展，压电薄膜材料在MEMS中的应用潜力也越来越大。氧化锌(ZnO)薄膜作为一种新型Ⅱ～Ⅳ族直接宽带隙半导体材料，其直接能隙约为3.37 eV，激子束缚能高达60 meV，具备优异的光学、电学和压电特性，广泛应用于压力传感、能量收集和纳米发电等领域[1-2]。ZnO薄膜的压电性能直接决定着器件的设计和使用性能，对其在MEMS中的应用有着十分重要的影响[3]。因此，准确表征ZnO薄膜的压电系数具有重要意义。Carlotti等[3]采用声波法确定了ZnO薄膜的压电系数，Christman等[4]运用原子力显微镜表征了ZnO薄膜的压电系数，但这些方法都没有考虑基底材料对ZnO薄膜的影响。

纳米压痕仪具有较高的空间、加载力分辨率，常用于测试压电薄膜材料的力电耦合性能。Dao等[6]把ZnO薄膜简化为各向同性材料，采用纳米压痕法测试了ZnO薄膜的杨氏模量。Wang等[7]在考虑基底效应的情况下，结合纳米压痕和有限元法确定了ZnO薄膜各方向上的弹性常数。Song等[8]在考虑基底效应的情况下，采用类似的方法确定了PZT薄膜的压电系数。基于以上研究基础，可采用类似的方法确定ZnO薄膜的压电系数。

本研究以沉积在硅基底上的ZnO薄膜为研究对象，结合有限元法和纳米压痕法确定了ZnO薄膜的压电系数。正向分析，用ABAQUS软件的压电模块模拟了纳米压痕实验，分别确定了薄膜压电系数与最大加载力、加载曲线指数之间的无量纲方程。反向分析，对ZnO薄膜/硅基底体系进行纳米压痕实验，将实验最大加载力和加载曲线指数代入无量纲方程，确定ZnO薄膜的压电系数。

2 压痕模型的描述及简化

ZnO薄膜属于横观各向同性压电材料。如图1所示，对于沉积在硅基底上的ZnO薄膜，建立三维直角坐标系，x1-x2面为横观各向同性面(T)，x3轴是纵向旋转对称轴(L)。H、R和t分别表示基底的厚度、半径和薄膜的厚度，F和h分别表示压痕载荷和压痕深度。选用Berkovich压头，简化为顶角为140.6°的锥形压头[6]。

图1 横观各向同性压电薄膜/基底压痕示意图Fig.1 Schematic illustration of indentation on transversely isotropic piezoelectric thin film/substrate system

横观各向同性压电薄膜，其本构方程为[7]：

(1)

式中，Tβ、Sα表示应力、应变；Di、Ej表示电位移、电场；diα，εij表示压电系数和介电常数；sα,β表示弹性顺度系数，可以写为[9]：

(2)

式中，ET、EL表示横向、纵向杨氏模量，GT、GL表示横向、纵线剪切模量，νTL、νLT和νT是泊松比。其中，νTL+νLT=2νT和νLT有如下关系[9]：

(3)

横观各向同性薄膜材料的泊松比EL可被定为0.3，而νTL+νLT=2νT[9]。另外，在x1-x2横观各向同性面内，GT，ET和νT有如下关系[10]：

(4)

因此，横观各向同性压电薄膜材料可以用三个独立的弹性参数EL、ET和GL，三个压电系数e31、e33、e15以及两个介电常数κ11、κ33描述[10]。基底材料为硅，为线弹性的各向同性材料，由杨氏模量ES和泊松比νS来表征。

3 正向分析

3.1 无量纲分析

薄膜/基底体系，考虑基底效应影响，压痕曲线的加载部分可以用幂函数F=Chx来描述，F为压痕载荷，x为加载曲线指数，h为压痕深度。F和h满足如下关系[7]：

(5)

式中，Fmax为最大加载力，hm为最大压痕深度。材料的属性决定材料的行为，同时材料的行为也反映材料的性质。因此，Fmax和x可以表示为以下材料参数的函数：

Fmax=φ(ET,EL,GL,e15,e31,e33,κ11,κ33,ES,vS,t,hm)

(6)

x=φ(ET,EL,GL,e15,e31,e33,κ11,κ33,ES,vS,t,hm)

(7)

当薄膜材料的弹性参数和介电常数已知，且最大压痕深度控制在薄膜厚度的1/5以利用基底效应。那么，运用∏定理，方程(6)和(7)可简化成无量纲方程为：

(8)

(9)

无量纲方程的具体形式可以由有限元方法确定。另外，纵向压电应变常数d33又可以写为[10]：

(10)

通过查询文献，ZnO薄膜的d33=9.9 pC/N[11]，为已知量。联立方程(8)～(10)，可以求解ZnO薄膜的压电系数e15，e31，e33。

3.2 有限元模拟

选用ABAQUS软件的压电模块，模拟了薄膜/基体系的压痕实验。网格划分如图2(a)所示，在压头作用点附近，网格划分密集，在远离压头作用点区域，网格划分稀疏。

图2 有限元模型网格划分图(a)和典型的应力云图(b)Fig.2 Finite element mesh (a) and representative stress nephogram (b)

ZnO薄膜的厚度t为500 nm，最大压痕深度hm设置为100 nm，其弹性参数和介电常数由文献可得为ET=38.5 GPa、EL=104.0 GPa、GL=152.5 GPa和κ11=7.77、κ33=8.91[7]；基底材料为硅，其杨氏模量ES=130 GPa和泊松比νS=0.3[12]。对于薄膜材料的压电系数，选取了较大范围的组合为-5.0≤e15/e33≤-0.1，-5.0≤e31/e33≤-0.1。为了便于计算，在压电系数范围内，分别选择6个不同的数值，即e15/e33=(-0.1，-0.5，-1.5，-2.5，-4.0，-5.0)和e31/e33=(-0.1，-0.5，-1.5，-2.5，-4.0，-5.0)，共有36组压电系数组合。分别把每组压电系数组合输入有限元软件，模拟纳米压痕过程。典型的应力云图如图2(b)所示，在膜/基交界处，应力出现了不连续，这反映基底效应的存在。

图3 典型的数值加载曲线Fig.3 Representative simulation loading curves

根据图4中的关系曲线，就可得到无量纲方程(8)和(9)的具体表达式，定义e15/e33≡ξ、e31/e33≡η，无量纲方程可以表示为：

φ(ξ,η)=k1+k2ξ+k3ξ2+(k4+k5ξ+k6ξ2)η

+(k7+k8ξ+k9ξ2)η2

(11)

φ(ξ,η)=l1+l2ξ+l3ξ2+(l4+l5ξ+l6ξ2)η

+(l7+l8ξ+l9ξ2)η22

(12)

表1所示为方程(11)、(12)的拟合系数。

图4 无量纲化的最大加载力(a)、加载曲线指数(b)与压电系数的关系曲线Fig.4 Relationship curves of (a) numerical maximum indentation load and (b) loading curve exponent, with respect to e31/e33

表1 拟合系数Table 1 Fitting coefficients

4 反向分析

把S1、S2和S3三组解分别输入到ABAQUS软件，模拟了压电薄膜/基体系的压痕实验。如图7所示，将所得到的数值加载曲线与平均实验加载曲线对比。从图中可以看到：3条数值加载曲线和实验加载曲线吻合得较好，误差最小(etotal=0.89%)的解所对应的数值加载曲线最靠近实验加载曲线。因此，反向分析中误差最小的解可视为最优解，即为ZnO薄膜的压电系数。

图5 纳米压痕实验曲线Fig.5 Experimental curves of nanoindentation test

图6 反向分析流程图Fig.6 Flow chat of reverse analysis

表2 反向分析的最优解Table 2 Optimal solutions obtained in the reverse analysis

图7 数值加载曲线和平均实验加载曲线Fig.7 Indentation loading curves of the simulation results and nanoindentation test

4 结 论

本研究以沉积在硅基底上的ZnO薄膜为研究对象，结合有限元法和纳米压痕法确定了ZnO薄膜的压电系数为e15=-0.40 C/m2，e31=-0.43 C/m2和e33=1.20 C/m2。把所确定的压电系数输入到ABAQUS软件，得到的数值加载曲线和实验加载曲线吻合的非常好，说明了结果的可靠性。有限元结合纳米压痕法能在考虑基底效应的情况下，准确表征压电薄膜的压电系数。对比声波法测得的ZnO薄膜压电系数e15=-0.45 C/m2，e31=-0.51 C/m2和e33=1.22 C/m2[3]，发现两者还是有一定的偏差，这说明基底材料对ZnO薄膜压电系数的表征是有影响的。