基于高阶矩形卷积窗的多频信号参数估计*

帅国祥，汪旭明，张志威，彭 昊

(1.南京鑫轩电子系统工程有限公司，江苏 南京 210003；2.吉首大学信息科学与工程学院，湖南 吉首 416000)

多频信号参数估计广泛应用在信道探测、无线通信、电能质量分析等领域[1].多频信号分析方法有快速傅里叶变换(Fast Fourier Transform，FFT)、希尔伯特-黄变换、奇异值分解、Prony方法和小波变换等，其中FFT在估计多频信号参数时因原理简单且估计精度高而被经常采用.但是，多频信号经过非同步采样后，再利用FFT进行参数估计会出现频谱泄漏和栅栏效应，使得信号参数估计的精度降低[2].为此，研究者设计了不同的改进算法[3-7]，如可以在一定程度上抑制频谱泄漏的加不同窗函数的方法，能够有效减小栅栏效应的谱线插值方法.笔者受这些方法的启发，拟在矩形窗的基础上构建一种高阶矩形卷积窗，并将高阶矩形卷积窗与三谱线插值相结合进行多频信号参数估计，以期减少频谱泄漏和栅栏效应等负面影响，提高参数估计精度.

1 高阶矩形卷积窗

对信号作FFT处理的实质是，用矩形窗截断后再进行离散傅里叶变换.矩形窗的时域表达式为

其中M为窗函数的长度.

矩形窗的频域旁瓣性能相比于其他窗的较低.为了提高矩形窗的旁瓣性能，对其自卷积5次，即6个矩形窗相互卷积，得到新窗的时域表达式为

w(n)=wM(n)*wM(n)*wM(n)*wM(n)*wM(n)*wM(n).

(1)

通过卷积运算，(1)式中的w(n)长度为6M-5，在末尾补0，使得w(n)的长度为N.由卷积定理可得高阶矩形卷积窗频谱函数为W(ω)=(WM(ω))6，其中

窗函数的对数频谱图如图1所示，图中1阶表示1个矩形窗，3阶表示3个矩形窗自卷积，6阶表示6个矩形窗自卷积.

图1 窗函数的对数频谱图Fig. 1 Logarithmic Spectrum of Window Function

从图1可见，矩形窗的自卷积在一定程度上可以增强窗函数的旁瓣性能.随着自卷积次数的增加，窗函数的旁瓣衰减速度增加，第一旁瓣峰值变小，但是主瓣宽度不变，从而有效抑制频谱泄漏.自卷积5次完成时，卷积窗的旁瓣特性比Hanning窗的更好.

2 基于高阶矩形卷积窗+三谱线插值的多频信号分析

假定一个多频复合信号形如

(2)

其中：Ai，fi，θi分别为复合信号各组成信号的幅值、频率和相位；p为组成信号的总个数；i为各组成信号的序号.对(2)式进行离散化，可得

(3)

其中：n=0,1,…,N-1，N为采样点数；fs为采样频率.利用(1)式的窗函数对(3)式截断后进行离散时间傅里叶变换，可得

(4)

为了方便分析，忽略其他组成信号对第i个信号的影响，(4)式可以写为

(5)

(6)

实际信号一般处于非同步采样，从而产生栅栏效应，使得第i个信号的真实峰值谱线偏离频域离散谱线.设ki=kd+δ，δ∈(-0.5,0.5).令kd为真实峰值谱线中幅值最大的谱线，找出幅值最大谱线附近的2条谱线kd+1，kd-1(kd-1

(7)

联立(6)，(7)式可得

(8)

标记(8)式为λ=g(δ)，通过求反函数得到偏移量的计算表达式

δ=g-1(λ)，

(9)

这里g-1(λ)表示λ的反函数.在区间(-0.5, 0.5)内取δ的一组具体值并利用(8)式计算得到相应的函数值，在此基础上利用多项式曲线拟合方法即可得到(9)式的函数逼近式，进而得到信号参数的修正公式.考虑到精度和复杂度，设定拟合多项式的最高幂次数为7.利用数值计算软件可得g-1(λ)的多项式拟合表达式.通过计算得到δ后，可得第i个信号的频率fi=kiΔf=(kd+g-1(λ)+1)Δf，其中Δf=fs/N.根据3条谱线幅值所含信息的特点[6]，将幅值修正公式设为

3 仿真实验

为了验证高阶矩形窗卷积+三谱线插值算法(算法1)的有效性，将其与FFT(算法2)、加Hanning窗算法(算法3)进行多频信号参数估计对比仿真实验.假定一个多频复合信号形如

设采样点数N=900，采样频率fs=2 300 Hz，频率、幅值和相位的具体设置见表1.

表1 多频信号参数设置

利用3种算法估计由4个余弦信号组成的多频复合信号的频率和幅值(表2，3).

表2 频率估计相对误差对比

表3 幅值估计相对误差对比

由表2，3可知，从整体效果来看，相比算法2和算法3，算法1对多频信号的频率和幅值的估计精度更高.

4 结语

为了尽量抑制频谱泄漏和更有效地减小栅栏效应，笔者设计了一种高阶矩形卷积窗与三谱线插值相结合的多频信号参数估计方法，并通过多项式曲线拟合方法推导出该方法的参数估计公式.从频谱分析结果来看，高阶矩形卷积窗+三谱线插值算法有效地减少了频谱泄漏和栅栏效应的负面影响.仿真实验结果表明，对于多频信号的频率和幅值，高阶矩形卷积窗+三谱线插值算法的估计精度比FFT和加Hanning窗算法的更高.为了进一步验证高阶矩形卷积窗+三谱线插值算法的有效性，后续考虑用硬件来实现该算法.