《经济数学》混合式教学模式改革探析

王 磊，李 娜

（辽宁工程技术大学 基础教学部，辽宁 葫芦岛 125105）

0 引言

《经济数学》是把微积分的主要内容和经济学中的相关内容进行有机结合的数学课程[1]。通过数学思想方法的渗透，提高学生应用数学方法解决实际经济问题的能力，以适应新时代对经济、管理人才的要求。近年来，《经济数学》在科学技术、计量经济、金融风险、保险精算、环境保护、可持续发展等领域都有着广泛应用[2]。《经济数学》是经济管理类学生大学数学公共基础课程之一，与《线性代数》[3]《概率论与数理统计》[4-5]具有同等重要的地位，对培养学生掌握数学基础知识、提高数学基本能力和综合素质具有重要作用。在《经济数学》学习过程中，要使学生通过研究去揭示经济现象的数学规律性，突出经济数学的基本思想，尽量用数学的概念、理论、方法去解释说明经济学、管理学的相关概念、理论。学生在掌握了基本概念与方法后，需要通过大量的练习来巩固并加深对所学知识的理解。

在《经济数学》学习过程中，学生可能会对知识感到乏味，对部分学习内容、定理的理解不到位，同时不善于运用数学方法分析、解决实际的经济类问题。为了实现“以教为主”向“以学为主”的转变，突出学生的主体地位，同时实现以“课堂为主”向“课内外结合”转变[6]，使学生更好地具备利用数学知识分析、建模并解决实际经济类问题的能力，因此，要积极进行《经济数学》教学改革的探索与实践。

1 多课程融合是高校教学改革的方向

1.1 多课程融合的必要性

经济管理类的数学公共基础课程有《经济数学》《线性代数》《概率论与数理统计》，虽然课程体系与解题方法不同，但在某些方面却有着密切的联系。抓住数学基础课在某些方面的共性，特别是如果能够在授课过程中提及并且强调这些“联通”的知识点，会帮助学生融会贯通。如将《经济数学》与《线性代数》及《概率论与数理统计》中的相关知识点进行融合，使学生了解数学基础课程是一个有机的整体，内容之间存在着密切联系，可以帮助学生更好地学习、理解相关内容。多课程融合不仅有助于《经济数学》本身的教学实践，同时也体现了与之相关联的数学基础课程教学改革的一致性与连贯性。只有具备较高数学综合素养的学生才能灵活运用各类数学知识去处理后继专业课程中遇到的实际问题。由于数学基础课程在内容上、研究方法上有些是相通的，因此，《经济数学》的教学改革必须进行多课程融合。

1.2 以《经济数学》为核心的数学基础课程融合分析

将经济类专业中可能遇到的专业实例与对应的数学知识进行整理，具体见表1。

表1 《经济数学》专业实例与对应的数学知识 Tab.1 professional background and corresponding mathematical knowledge of Economic Mathematics

《经济数学》中的某些内容与《线性代数》及《概率论与数理统计》关系密切。在讲解《经济数学》中，二阶齐次线性方程通 解结构定理时，如果函数y1(x)，y2(x)是二阶齐次线性微分方程的两个线性无关（即y1/y2≠常数）的特解，则二阶齐次线性微分方程的通解为

这就涉及到函数间的线性相关性，而《经济数学》中并未对函数的线性相关性做出详细讲解，只是提及当两个函数之比不是一个常数时，这两个函数是线性无关的。由于学习《经济数学》的学生同学期也会学习《线性代数》，而线性相关也是《线性代数》中一个重要的知识点，因此，有必要对函数的线性相关性进行系统讲解与拓展说明，并且提醒学生，要充分理解并掌握线性相关性的概念，在《线性代数》中，通过向量组的线性相关性理论来求解线性方程组。事实上，《经济数学》中微分方程解的结构与《线性代数》中线性方程组的解的结构极为相似。在《经济数学》中，二元函数zxy= 表示何种曲面？由于学生们只熟悉9种二次曲面的标准形式，因此，可以在课堂上启发学生，利用《线性代数》中二次型的标准化即通过正交变换把这个二次型化为标准形，例如，若二次型对应的对称矩阵为

可以求得矩阵A的特征值为λ1=12,λ2=−12，那么二元函数z=xy通过正交变换可以将其转化为标准形

这时学生们会认出，这是一个双曲抛物面即马鞍面。而由于正交换是一种刚性变换，不改变向量的长度和夹角，因此之前的二元函数 =zxy表示马鞍面。通过《线性代数》知识解决了《经济数学》中遇到的问题。可见，基于多课程融合的教学改革促进了学生对数学课程中相关联知识点的理解。

在《经济数学》第9章（二重积分）中，通过极坐标方式计算这个例子

式中，D={(x,y)x2+y2≤a2,x≥0,y≥0} (a＞0)。

这便是《概率论与数理统计》中标准正态分布的分布函数。

《经济数学》中的很多内容，如函数的极限、可导与积分、二重积分和无穷级数在《概率论与数理统计》中都有着广泛应用。通过分析课程中相关联知识点的特征与联系，可以激发学生们的学习兴趣，强调这些知识点之间的相互关系，可以为学生学习这些数学基础课程打下坚实的基础。因此，在讲解时，如果能够注意到多课程融合并适时提醒学生，将这些知识点进行交叉互用，会极大地帮助学生提高学习效率。

2 传统教学模式与新媒体技术相结合

2.1 课堂教学与在线学习相结合

将传统教学模式与新媒体技术相结合，利用超星泛雅平台、MOOCs、翻转课堂、微课、教学视频片段、教学录像、校园网网络直播平台、QQ群等多种方式、载体将传统教学模式的优势与在线学习（E-Learning）结合起来，发挥教师的主导作用，同时充分调动学生的主动性、积极性、创造性。将传统教学与多媒体教学进行融合，将课堂教学与在线学习进行结合，将自主学习与协作学习、课堂讲授与虚拟教室进行综合。探索线下（课堂）教学活动与线上（E-Learning）教学活动相结合的混合式教学模式，如何将两种学习模式结合起来并融入每一个教学环节，实现优势互补，从而获得最佳的学习效果是进行混合式教学模式改革的关键。

2.2 充分发挥教师的主导作用并体现学生的主体地位

在具体的教学过程中，教师应根据学生的认知状态、认知水平、思维特点，采取有针对性的方法进行启发式教学。教师应根据课程内容、学生的具体情况选择不同的教学方法，启发、鼓励学生发表自己的看法，例如，可以尝试让学生提出问题并展开讨论，还可以围绕一个或几个问题引导学生主动发言。教师要充分运用富有启发性、提示性的语言帮助学生开拓思路、展开讨论、互动，活跃课堂气氛。授课结束后，教师要及时进行教学反思，记录授课感受及学生反馈的意见并不断调整、改进。

为了提升学生学习《经济数学》的兴趣，加强对其学习方法的指导，需要充分发挥教师的主导作用并体现学生的主体地位。在线学习（E-Learning）使学生的学习时间更加灵活自由，便于学生利用丰富的线上资源进行预习、复习。在课堂教学过程中，突出学生的主体地位和教师的主导作用，加强师生互动，注重知识点的自然过渡并设置问题讨论环节，以便于学生更好地掌握学习中的重点、难点。

3 “E-Learning”混合式教学模式下的课程改革路径

“E-Learning”混合式教学模式课程改革是未来课程改革发展的一种必然趋势。随着互联网的发展，在线学习越来越受到学生们的欢迎，传统课堂教学的时间会相应减少，可以通过翻转课堂、在线解答学生学习中遇到的问题等来补充。课后主要依靠超星泛雅平台完成练习及单元测试，重要及有难度的知识点可通过MOOCs、微课、教学视频片段、教学录像等来进行补充教学。教师答疑与学生反馈等互动交流可以利用校园网络直播平台、QQ群等来完成，“E-Learning”混合式教学模式并不是简单地将《经济数学》制作成MOOCs、微课或视频资源课的形式，而是结合一线教师多年的教学经验，针对不同专业学生的特点，选取适当的内容来制作MOOCs、微课、教学视频片段、教学录像，以多种在线教学的方式来弥补传统教学的不足，通过混合式教学模式课程改革完善整个教学过程。

3.1 搭建超星泛雅平台

“学习通”是基于微服务架构打造的课程学习、知识传播与管理分享平台。它利用超星二十余年来积累的海量图书、期刊、报纸、视频等资源，集知识管理、课程学习、专题创作、办公应用为一体，为读者一站式学习、工作提供便利。《经济数学》课程改革，计划利用超星泛雅平台与QQ群等多种渠道，检查学生作业完成情况、设置视频任务点进行单元测试，从而实现线上线下统一管理。

通过超星泛雅平台资料库、丰富的视频学习内容，学生可以随时随地观看、学习并进行自我总结。教师通过泛雅平台《经济数学》的资料库、作业库，可以快速导出学生作业并检查视频任务点的完成情况，方便师生进行沟通与交流。依托超星泛雅平台，设计了章末作业，包括选择题、填空题、计算题、简答题、讨论题等，均为章节中精心挑选的典型问题，方便学生快速、有效地进行练习，由教师和平台共同完成批阅。教师还可以录制典型问题讲解视频并将其设置成任务点，监督学生观看、学习并设置成不可拖拽模式。教师在超星泛雅平台上布置章节总结任务，学生通过完成章节总结报告，可以更好地总结、复习，同时，可使教师了解学生在学习过程中遇到的困难并及时帮助解决。以往的作业多为固定形式，而视频作业可以更加直观地展现学生的学习效果，教师通过视频作业还可以发现学生在实际操作过程中存在的问题并及时引导他们找到解决问题的方法。

3.2 采用微课教学

“微课”的核心组成部分是课堂教学视频（课例片段），同时还包含与该教学主题相关的教学设计、素材课件、教学反思、练习测试及学生反馈、教师点评等辅助性教学资源，它有别于传统、单一的教学课例、教学课件、教学设计等，是在其基础上发展起来的一种新型的教学资源。

微课教学是课堂教学的缩影，是经过充分准备而制作的教学片断，是一种符合学生认知特点及学习规律的新型教学资源。选取多元函数微分学作为《经济数学》的微课制作内容，由于多元函数微分学与一元函数微分学及二重积分有一定的联系，需要充分准备并进行细致讲解。《经济数学》教学视频片段、教学录像均是在实际课堂教学中根据教学大纲适时录制。根据学生反馈的意见，及时制作的典型例题讲解和疑难习题解答视频。通过观看课堂上师生互动的过程，可以更好地帮助教师进行自我评价与自我总结，从而进一步提升教学水平。授课教师通过反复揣摩与研究教学录像、教学微课，可以对其在教学过程中的语言、动作、板书不断地进行调整，从而做到语言表述准确、动作自然大方、板书工整、教学环节紧凑。

3.3 利用校园网络直播平台

通过网络直播课可以进行重要知识点梳理、典型例题思路分析、练习题互动讨论等教学环节。PPT画面、教师窗口及手写功能切换方便，清晰流畅，学生对此反映良好，非常喜欢这种网络直播的教学方式。例如，辽宁工程技术大学校园网络平台在课余时间开设了形式新颖、方便快捷的校园网络直播课程。目前已开设了“微分方程知识点解析及应用实例”“经济类问题中的高等数学”等校园网络直播课程，受到了师生的一致好评。

4 通过课程改革提升学生的数学素养

坚持以学生为中心，积极引导学生思考问题、总结问题、提炼数学模型，掌握解决问题的方法，同时帮助学生选择适合自己的、有效的学习方法。通过《经济数学》的课程教学改革，提升学生对《经济数学》的学习兴趣，激发学生的学习热情。通过启发式教学、多课程融合式教学、类比教学、边讲边练、疑难易错题目解析等方式提高学生的数学素养与分析能力。

加强对学生学习方法指导，使其能够灵活运用所学经济数学知识分析、解决实际问题，提高学生的数学素养与数学能力。细化平时成绩考核项目的构成与评价方式，结合学生所学专业特点，因材施教。通过对经济类问题的分析，加强对学生逻辑思维能力的培养，把传授知识与能力培养紧密结合并贯穿于教学全过程。

加强对学生分析能力的培养，开展启发式教学，根据学生的认知状态、认知水平和思维特点，采取有针对性的教学方法。

鼓励学生通过线上线下开展分组讨论，促进学生之间的相互交流，取长补短，同时培养学生的团结协作精神。从学生作业完成时间、质量、提交形式等方面进行平时成绩考核。通过此种方式，在《经济数学》教学实践中进行教学改革，有效提高教学质量，引导学生利用微积分的思想解决实际问题，提升学生的数学素养。

5 结语

《经济数学》有着丰富的学科背景和广阔的应用范围，需要教育、指导学生进行深入、细致地学习。授课教师以学生为主体，通过课程改革进一步调整教学模式，将帮助学生更好地理解、掌握、应用基本的理论与方法，改变学生的学习模式作为教学重点，使学生能够熟练掌握《经济数学》的基本内容与方法，主动分析、解决实际问题。教师通过《经济数学》混合式教学模式改革，可以进一步改进教学方法，积累教学经验，提升教学水平。