创新视角下的立体几何图形变换问题

翟荣俊

立体几何是高考的重要内容，而图形变换问题更是一类常考题型。图形变换，使得立体几何问题由“静态”转为“动态”，并在“动态”过程中生成新的问题加以考查同学们的空间想象能力和抽象思维能力，提升同学们的直观想象的数学素养。图形变换过程中，原图形中的部分几何元素的位置关系、数量关系发生了变化，因此，如何合理分析变换前后图形的关系，特别是抓住动态变换中的几何关系的不变性及相互关系，是解决这类问题的关键。近年来，立体几何中的图形变换问题也出现了一些新的变化。本文旨在通过对立体几何图形中的变换问题进行剖析，为2021届高三数学立体几何复习提供一些参考。

视角一：平移无形变有形，优化运算显本领

点评：本题是一道有一定难度的立体几何问题，空间向量在本题中使用并不方便，解题的关键在于掌握图形中的线面关系，通过平移变换，将线段AD平移到QE，将线段BF平移到CN，从而使得原来无形的线面角转化为了有形的∠NCH。可见平移变换，让原本看似很困难的问题转化为了同学们熟悉的考题，也将原本很难运算的空间角问题变得比较方便，优化了运算。

视角二：旋转线动成曲面，曲直结合益解题

例2（2020年山东济南模拟）已知直

点评：本题是一道通过直角梯形旋转得到曲面，进而围成几何体的考题，让同学们直观感受圆台（局部）的形成过程，动静结合，考查了同学们的空间想象能力。两个小题都是围绕几何体中的线线关系展开，考查同学们对于旋转过程中不变量和不变关系的掌握，是否能熟练将空间问题转化为平面问题加以研究和解决。

视角三：翻折化平面为立体，折前折后巧分析

点评：这道考题通过翻折完成了由平面到空间的转化，翻折过程由“动”到“静”，考查同学们是否能正确分析翻折过程中哪些量是不变的，哪些量是改变的。处理此类翻折问题时，通常需要对照分析折前的图形和折后的空间图形，抓住翻折过程中的不变量和不变关系，这样容易对有关线段、角的数量关系及位置关系作出正确判断。

视角四：割补解决局部问题，原有性质要用好

点评：本题从一个三棱柱出发，通过切除一部分，完成由“静”到“动”的割补过程，考查同学们对几何图形的理解能力，抓住割补变化后的不变性质。在问题的设置上，重点考查同学们在理解原棱柱性质的基础上，对局部图形的研究。第（2）问的解答中，巧妙地引入了等体积法，将图形变换中的体积转换融入其中，再一次实现了由“静”到“动”的灵活考查。

立体几何中的图形变换问题是高考考查的热点问题，是平面几何与空间几何问题转化的集中体现。纵观近两年的高考试题，图形变换试题的靈活性越来越明显，能力要求也越来越高。处理这类问题的关键是抓住变换前后两图的特征关系，特别是抓住变换过程中的不变元素。

总之，立体几何中的图形变换看似变化多端，实则有规律可循，解答图形变换问题，需要同学们树立信心，掌握解题的常用方法，积极深入地分析问题的特征，才能顺利解答。

（责任编辑 王福华）