创新视角下的立体几何开放题

叶亚美

数学开放题，是指无明确条件或结论，必须经过认真分析、探究，方能获解的试题。因能有效考查同学们的思维品质，创造性地分析问题和解决问题，开放题正逐渐成为新高考数学创新命题的新趋势。近年来各地立体几何解答题中开放题的考查形式主要为结构不良试题及探索存在问题。本文拟通过对这两类开放题的解析，为2021届高三数学立体几何复习备考提供一个参考。

创新题型1——结构不良试题：难在策略选择，重在推理严谨

立体几何开放题中结构不良试题多指条件残缺问题。解此类结构不良试题时，需根据题目要求在给定条件中选择部分条件，并利用选定的条件解决相关问题。结构不良试题突出了思维的灵活性及策略选择，能够对数学理解能力、数学探究能力、数学推理能力的考查起到积极的作用。

点评：由上述解答可以看到，无论选择哪两个条件，都可解答题目。而且，在选择的三个条件中，并没有哪个选择让解答过程比较繁杂，只要熟练掌握空间点、线、面的关系，严谨推理，都可顺利得到PB⊥平面AEFD及四边形AEFD为直角梯形，为求体积比奠定基础。第（2）问通过建立空间直角坐标系，将“求直线PC与平面ADFE所成角的正弦值”的問题转化为向量运算，减少了逻辑推理的过程，这种向量运算的方法也是今后求空间角、距离的常用方法。

点评：由上述解答可以看到，当四边形ABCD为菱形时，本题所给的条件②是不符合要求的，故能否作出正确判断，并合理选择①③十分关键。当选定条件后，证明PO⊥面ABCD，只需用线面关系进行严谨推理即可。后面的求二面角APB-C的余弦值有两种方法：其一是向量法，即以O为坐标原点，以OB，OC，OP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，通过向量运算求解;其二是直接法，即过点C作CM⊥PB于M，连接AM，可以证明∠CMA为二面角APB-C的平面角，再通过计算求解即可。

创新题型2——探索存在问题：贵有解题思路，成在思想方法

立体几何中的探索存在问题，因“是否存在”的不确定性，增强了试题的开放性。解答探索存在问题时，一般先假定结论存在，并以此进行推理，若能推出矛盾，即可否定假设;或先利用一定的数学思想方法探索存在的可能性，再加以论证。探索存在问题能较好地考查同学们的观察能力、猜想能力、分析判断能力、运算能力等。

点评：题（1）（2）只需用空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，进行严谨推理即可获证。题（3）由于点E具有不确定性，通过“假设在棱AM上存在一点E”，将不确定的问题转化成严格论证探讨的过程，而通过建立平面直角坐标系，又将探索“点E是否存在”的问题转化为“求符合条件的参数λ的值”的问题，其解决常常用到方程思想。这种“假设——论证（或求解）”的方法是解决探索存在问题的常用方法。而利用空间向量及待定系数法求解存在性问题显然思路简单、解法固定、操作方便，应引起重视。

结构不良试题及探索存在问题是近年高考立体几何开放题中的高频考题，充分体现了高考能力立意的指导思想，解决两种开放题，特别要关注求解策略，充分利用向量的工具作用，以及转化思想、方程思想等，请同学们多去探索，去体会，切实提高解题能力。

（责任编辑 王福华）