立体几何中平行和垂直问题的证明

李普红

平行与垂直关系的证明是高考考查立体几何的高頻考点，大部分问题都可以用传统的几何方法解决，有一部分问题需要建立空间直角坐标系利用空间向量解决。用传统法解题时，应注重线线平行、线线垂直、线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直等问题的性质定理和判定定理的灵活应用。用向量法解题时，应建立恰当的空间直角坐标系，准确表示各点与相关向量的坐标。

考向一：证明线面平行

例1 如图1，已知空间几何体BACDE中，△BCD与△CDE均是边长为2的等边三角形，△ABC是腰长为3，底边为BC的等腰三角形，平面CDE⊥平面BCD，平面ABC⊥平面BCD。

（1）试在平面BCD内作一条直线，使得直线上任意一点F与E的连线EF均与平面ABC平行，并给出证明;

（2）求三棱锥EABC的体积。

解析：（1）如图2所示，取DC的中点为N，BD的中点为M，连接MN，则MN即为所求。

连接EM，EN，取BC的中点H，连接AH。

因为△ABC是腰长为3的等腰三角形，H为BC的中点，所以AH⊥BC。

平行或垂直关系的证明常出现在解答题的第一问，对同学们的直观想象能力要求很高。特别地，有一类问题是只有在第一问利用几何法证明了垂直关系，才能在后面的问题中建立空间直角坐标系解题，所以平时应注重这方面的训练。 （责任编辑 王福华）