大学先修课程视角下高中全概率公式的教学实践

潘凌

1高中新增全概率公式的背景分析

全概率公式是概率论中一个非常重要的公式，概率研究和生产实践中很多问题都涉及全概率公式.在普通高中數学教科书（人教社A版）选择性必修第三册中，全概率公式属于新增同容.从知识形成的顺序结构和逻辑层面上分析，它是在“条件概率”概念提出的基础上，从已知简单事件的概率推算出末知复杂事件的概率，上联古典概型、条件概率，涉及有限样本空间，事件的关系与运算，概率的基本性质、独立性;下联二项分布、超几何分布、正态分布，起着承上启下的作用，是与概率的综合运用.

高中数学中的全概率公式内容较为简单，增设该内容的意图在于通过全概率公式提供一种计算复杂事件概率的有效途径，为学生二项分布奠定知识基础，加深对随机现象的认识和理解.学会研究概率的一个重要方法就是建立一些运算法则推算复杂事件的概率，通过构建概率模型解决实际问题，提高用概率的方法解决问题的能力.

2高中全概率公式的教学现状

全概率公式的应用是整个概率论教学的难点.学生学习全概率公式感觉困难，主要体现在：（1）概率本身的学习障碍.概率概念抽象，对事件的不同理解可能会导致不同的结果，同时利用概率进行决策，合理的决策未必一定得到好的结果等;（2）全概率公式的理解困惑.全概率公式涉及的事件关系较为复杂，相关概念容易混淆，不易辨清，学生在事件、事件关系及运算上出现认识误区.

上述因素，造成学生不能理解和掌握全概率公式，不能理解全概率公式的基本思想、适用范围、基本步骤及具体运用，不能感悟其中蕴含的思想方法.

3大学先修课程

先修课程源自于美国，是指在高中阶段开设、供高中生选修，其难度相当于大学初级阶段学术标准与学业水平的课程，如果课程取得合格，则可作为大学入学标准，同时可获得相应课程的学分.先修课程不单单是知识的传递，更是一种思维方法、一种选择性、对学生的一种平台的提供.在先修课程《概率论与数理统计》里有着比现行高中教科书中更丰富的内容，如果在大学先修课程视角尝试高中数学统计与概率的教学实践，既满足学生升学需求的同时，也满足学生的专业兴趣和未来发展，通过实践培养学生的好奇心和独立思考的习惯，发展数据分析与数学建模等核心素养，有助于使高中的教育更具有连续性、延展性，为学生的后续发展奠定良好的基础，也是高中与大学教育衔接的有益尝试.

应该怎样在大学先修课程视角进行全概率公式的教学呢？下面笔者结合对全概率公式的理解和教学实践，谈谈教学全概率公式的体会.

4全概率公式教学的几点做法

如上所述，全概率公式是整个概率论的难点，也是概率论这门课程中非常重要内容之一，是加法公式和乘法公式的综合运用，它具有广泛的实际应用价值，在医疗诊断、保险等不确定问题中有着重要的应用.那么，在教学中该如何突破这个难点呢？如何在大学先修课程视角下解决这些问题？

4.1了解公式从情境中引入

《普通高中数学课程标准（2017版）解读》指出：数学学科核心素养是在学生与情境、问题的有效互动中得到提升的.在教学中，应结合教学任务及其蕴含的数学学科核心素养，设计切合学生的实际的情境和问题.在普通高中数学教科书中，全概率公式是通过实例引导学生发现，由特殊到一般，得到P（B），P（A），P（B|A）这3个概率之间的关系.其案例为：从有口个红球和6个蓝球的袋子中，每次随机摸出1个球，摸出的球不再放回.显然，第1次摸到红球的概率为a/a+b，那么第2次摸到红球的概率是多大？如何计算这个概率呢？该案例先是通过“抽签具有公平性”直接给出所求的概率是a/a+b，接着指出这个结果并不显然，再给出严格的推导，最后启发学生从结果中总结规律.这个发现全概率公式的过程揭示了“从古典概型和条件概型入手，回归加法公式和乘法公式本源”，体现了“特殊到一般”的思想方法.但是这个引例会让学生觉得比较突然，和前面所学知识有脱节，从而发现全概率公式并不自然.

实际教学中，笔者觉得可以先改编普通高中数学教科书必修第二册第236～237页10.1.3《古典概型》例9（下文称案例1）：

袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球，3个蓝球，从中不放回地依次随机摸出2个球.（1）A=“第二次摸出红球”，求事件A的概率;（2）设Q为该试验的样本空间，记B=“第一次摸出红球第二次摸出蓝球”，B=“第一次摸出红球第二次摸出红球”，它们能组成该试验的样本空间吗？（3）你能找到一个标准，将Q划分成若干个互斥的事件吗？

第（1）问可以通过图1中的表格，可以直观得到第二次摸到红球的可能结果有8种（表中第1，2列），即B={（2，1），（3，1），（4，1），（5，1），（1，2），（3，2），（4，2），（5，2）），所以P（B）=8/20=2/5。

第（2）问的设计意图是使学生了解什么是样本空间Q的一个正确的“划分”;第（3）问的设计意图是使学生进一步弄清样本空间Q的一个划分的实质就是将Q分割成若干个互斥事件，形成完备事件组，这也是先修课程在给出全概率公式之前关于样本空间Q的一个划分的定义.高中教学中可以不必直接体现这个定义，但在先修课程视角下设计此问题，使学生了解全概率公式成立的条件之一，进而正确地构建概率模型解决实际问题，是落实“使学生学会数学地思考”，培养了学生发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力.

在教学实践中再讲授教科书中本节的案例（下文称案例2），从袋中具体的球个数到用字母代替具体数字.通过两题对比，可以使学生更好地理解什么是“求较复杂事件的概率”，从而理解引入全概率公式的必要性.

4.2理解公式在数学思想上深入

在教学实践中由于案例2是案例1的延续，因此讲解案例2时应指出“第一次摸到红球”与“第一次摸到蓝球”之间是互斥必然导致“第一次摸到红球第二次摸到红球”与“第一次摸到蓝球第二次摸到红球”之间的互斥，从而为理解体全概率公式作知识铺垫，即理解全概率公式中的（4）之间的互斥性必然导致{BA}之间的互斥性.实际上在先修课程中有对全概率公式的证明，虽然高中教科书中没有该证明，但是在先修课程视角下作出的上述的铺垫，学生对全概率公式的运算法则有着更深刻的理解，从而突破了这节课的难点.

由两个事件相互对立，推广到n个事件，通过两者之间的共性，实现教学内容之间的自然过渡，体现由特殊到一般的思想，从而推导出全概率公式，突破这节课的难点.

在先修课程的视角下尝试全概率公式的图解法，可以将抽象的问题形象，使混沌的问题条理化，使复杂的问题简单化，通过让学生直观感受到全概率公式的核心思想“化整为零，逐个击破”.

5结束语

概率课程承担的主要育人任务是培养学生分析随机现象的能力，提升学生的数学抽象、数学建模、逻辑推理以及数学运算、数据分析等素养，本节的全概率公式的发现是从“事实到定义”的数学化过程，建立概率模型，提高数学抽象、数学建模的素养.笔者在先修课程视角下把“划分”、“完备事件组”、“全概率公式证明”、“公式的核心思想”巧妙地设计在各个问题中，以“问题引导学习”为设计理念，创设一种类似于科学研究的情境和途径，将科学研究的方法渗透到教学的各个环节，使高中的教育更具有连续性、延展性，为学生的后续发展奠定基础，真正达到科学教育的育人价值.