函数奇偶性的逆向教学设计

张凡 董涛

函数奇偶性的学习与函数的概念、函数的其它性质密切相关，同时也是后续学习基本初等函数的一个关键知识点.逆向教学设计为函数奇偶性的教學提供了一种全新的教学设计模式，着重突出了学习目标的可操作性，强调学习目标的落实，促使教师聚焦数学基本问题.在实际教学中，我们通常习惯先入为主，从输入端即教师开始思考教学目标，而非从输出端即学生开始思考学习目标.逆向教学设计则是一种以终为始，以学生的学为本，从学生的学习结果出发，逆向设计教学过程，在课堂中再正向实施的教学模式.这对培养学生的数学核心素养起到关键的作用.

1逆向教学设计的实施过程

函数的奇偶性作为函数的一个特殊性质，是函数概念与函数性质的深化学习.函数奇偶性逆向教学设计过程如下.

1.1确定预期效果

基于课程标准和核心素养的教学理念，结合高一学生的学情，确定如下目标：（1）学生可以结合具体的函数了解奇偶性的含义;（2）学生运用函数图象理解和研究函数奇偶性，用符号表达奇偶性的定义.

学习目标还需进一步分解成具体的问题，以学习目标为中心，问题为框架，从而帮助学生掌握重要内容，实现对知识的迁移.例如函数的奇偶性教学中可以列出以下问题：（1）为什么要研究函数图象的对称性？（2）函数图象的对称性特征为什么要符号化？（3）图象的对称性如何转化为点的坐标之间的关系？（4）如何用函数自身的语言刻画这种对称性？（5）如何一般性论证经归纳概括所得的这一结论？（6）如何反向说明这一结论的逆命题也是成立的？

基于上述问题，进一步预判学生的学习结果，包括学生所能掌握的知识与技能，学生能够实现的知识迁移以及最终养成的核心素养.例如函数的奇偶性教学中可以列出以下预期学习结果：（1）学生掌握函数的奇偶性这一性质，理解用数学语言描述函数奇偶性的意义;（2）学生能类比研究偶函数的思想方法去研究奇函数;（3）学生通过对函数的奇偶性的研究，掌握对函数性质的研究方法;（4）学生能利用函数的奇偶性考查和解决实际问题.

1.2确定合适的评估证据

与传统教学设计有别，逆向教学设计要求教师从一个“评估员”的角度进行思考，而非直接考虑教学.为了证明学生达到预期的学习结果，需要收集一些合适的评估证据，来表明学生已获得了重要的知识与技能，实现了对知识的迁移.为此，在函数的奇偶性教学中设计了以下表现性任务：（1）观察函数f（x）=x和g（x）=|x|的图象，描述其共同特征;（2）结合图、表，用自然语言描述图象特征;（3）用符号语言定义偶函数;（4）类比研究偶函数的思想方法给出奇函数的定义.

除了表现性任务，“证据集”还包括传统的评估方式如：课堂对话（学生对每一个基本问题的及时反馈）、课堂探究（类比研究偶函数的思想方法研究奇函数）以及随堂检测（判断函数的奇偶性、利用函数的奇偶性绘图等）.

另一方面，学生的自我评价和反馈也很重要，学生不仅需要自评对函数奇偶性的理解，还需要互评对函数性质的研究方法，让学生及时反思自己的学习理解情况.

1.3设计学习体验和教学

为了达到预期效果，该如何安排教与学的体验来帮助学生获得所需知识和技能？如何创设恰当的问题情境引导学生的思维？基于逆向教学设计的模板，设计出函数奇偶性的关键教学活动.

创设情境、引入概念

问题1 哪些函数图象也具有对称性？（讨论过后几何画板展示f（x）=x和g（x）=|x|的图象）.

设计意图 唤醒学生的已有知识，在描述其共同特征的过程中引入“对称”的概念，为后续教学提供感性材料.

新知探究、建构概念

问题2 请同学们观察函数h（x）=0.0000001x+1的图象，能否从图象上判断出它是否为偶函数？（几何画板展示h（x）=0.0000001x+1的图象）

追问 有没有其他的判断方法呢？

设计意图 基于先前分解出的问题“函数图象的对称性特征为什么要符号化？”来设计这个问题，主要是为了引发学生的认知冲突，让学生体会到利用图象判断函数的奇偶性虽然较为直观方便，但有时候不够精确.同时也启发学生利用函数单调性概念的方法，从数与式的角度去解释“对称”这一特征.

问题3 对函数f（x）=x和g（x）=|x|，请同学们以小组的形式，通过列表的方法，观察自变量的值与相应函数值的规律.

设计意图 围绕问题“图象的对称性如何转化为点的坐标之间的关系”，回归学生熟悉的函数f（x）=x和g（x）=|x|，通过列表启发学生得到对称图形的实质是点的对称，从而去研究对称点的坐标.这一过程开辟了从定性研究到定量研究的大门，帮助学生将研究的视角从整体转移到局部;同时让学生体验了由“形”到“数”的过程，锻炼学生的直观想象能力.

问题4 能否用函数自身的语言去刻画这种对称性呢？

设计意图 由具体x的值和对应的函数值，抽象出这种对称性的符号表达.由具体函数的特征分析抽象概括出一般函数的性质定义.

即时巩固、理解概念

问题5 请同学们思考两个问题（PPT展示问题）

题1 对于定义在R上的函数f（x），请同学们判断以下命题是否正确.

（1）若f（x）是偶函数，则f（1）=f（-1）;

（2）若f（2）=f（-1），则f（x）是偶函数;

（3）若f（1）≠f（-1），则f（x）不是偶函数.

题2 函数f（x）=x，x∈[-3，2]是偶函数吗？

设计意图 题1主要是为了帮助学生加深对偶函数概念的理解，从正反两面设计问题，利用逻辑的双向性帮助学生辨析定义，深化认识.题2主要是为了引导学生牢牢把握“定义域优先”的要点，奇偶性是函数在它的定义域上的整体性质，所以判断函数的奇偶性应先明确它的定义域.

引导探究、深化概念

问题6 请同学们再次以小组的形式，类比刚刚的研究过程，观察函数f（x）=x和g（x）=1/x（x≠0），尝试用符号语言描述它们的共同特征.

设计意图 类比研究偶函数的思想方法给出奇函数的定义，帮助学生发展逻辑思维能力与养成言必有据的科学态度.

学以致用、巩固概念

问题7 判断函数f（x）=x+x的奇偶性.图2是函数f（x）=x+x图象的一部分，你能根据f（x）的奇偶性画出它在y轴左边的图象吗？

设计意图 帮助学生理解函数奇偶性定义的内涵，考查学生是否把握奇（偶）函数图象的性质.

总结反思、提升能力

问题8 通过本节课的学习，如果已知y=f（x）为奇（偶）函数，那么我们怎样简化对它的研究？

设计意图 回顾对函数的奇偶性的研究，组织学生讨论对函数性质的一般研究方法，不仅可以帮助学生进一步理解函数奇偶性的内涵和外延，也可以使学生在总结的过程中有意识地思考所学知识在知识体系中的地位和作用.

2启示

通过对函数奇偶性这节课逆向教学设计的研究与探索，我们可以发现，奇偶性概念蕴含着“转化思想”，本节课的教学重点是如何依靠思维的加工，把“形”的特征符号化、形式化，从而获得“理性的抽象”.下面以WHERETO元素（见表1）作为活动编码，谈谈逆向教学设计的好处.

2.1教学设计的出发点从“教师中心”转向“学生中心”

在逆向教学设计中，学生在学习开始前就有明确的学习方向与预期结果，即W.在本节课的教学设计中，函数的奇偶性作为函数的基本性质，它从对称的角度对函数做了分类.如问题1的抛出，正是基于我们由学习目标分解出的一个问题即为什么要研究函数图象的对称性？我们希望学生在观察函数图象的过程中能够引入“对称”的概念，为后续教学提供思路.真正的基本问题是经得住不断问索的，教师的任务就是不断地挑戰简单、单一的理解，促进学生的深入思考，即R.本节课的关键是引导学生从符号的角度去解释这一分类，而问题2的设计，不仅是为了引发学生的认知冲突，同时也希望启发学生另辟蹊径，从数与式的角度去解释“对称”这一特征.函数奇偶性的逆向教学设计真正体现了“以学生为中心”的教学理念，关注学生的学习发展贯穿整个教学设计的始终.

2.2教学内容的设计更加注重激活学生思路，帮助学生独立思考

不同于传统的教学设计，逆向教学设计体现的是一种为目标而学的教学方式.在上述教学设计中，把握住了以下几个问题.①教师要把握学生的学习情况和激发学生的学习兴趣，即H.如问题1、2、3激活了学生思路;②为保证所有的教学活动都是在为最终目标做准备，教师要设计帮助学生体验和探索的问题，即E.如问题3的设计，就是让学生体验了“函数解析式→函数图象→函数图象的特征→点与点之间的位置关系→点的坐标之间的关系”这一由“形”到“数”的过程，锻炼学生的直观想象能力.问题4是为了引导学生经由直观分析到演绎证明、从自然语言到符号表示，使学生认识到数学研究是一条从感性走向理性、从粗糙走向精细的发展之路，并为后续奇函数的研究做了铺垫;③为确保教学效果的最优化，教师可以通过对比学生能力与预判目标的差距及时调整相应的教学活动，合理安排学习体验顺序，即O.

2.3教学关注塑造学生的数学素养

通过紧扣主要问题与基本方法，帮助学生形成数学素养.如问题2、3、4，引导学生由“数”想到形，由“形”转化为“数”，由具体函数的特征分析抽象概括出一般函数的性质定义，培养了学生的直观想象和数学抽象能力.问题6引导学生通过类比得出奇函数的定义，培养了学生的逻辑推理能力.

2.4教学评价由终结性评价转向实时评价，提供持续性的反馈

逆向教学设计修正了传统教学设计滞后评价的缺点，更加重视评估的完整性.因此，我们考虑在教学设计中制造学生自我评估的机会，帮助学生学习有效学习策略并应用于自身的学习中，即E.如问题5、6的提出，主要是希望通过自主探究，帮助学生发展逻辑思维能力，同时以动态的评价为导航及时对学生的学习情况进行反馈，有效地促进了数学课程标准与学科核心素养在课堂中的落实.此外，教师还应根据学生的发展需求、学习风格、先前知识和学习兴趣来调整设计，即T.如问题8的设计，回顾对函数的奇偶性的研究，组织学生讨论对函数性质的一般研究方法.在这一教学过程中，不仅帮助学生实现了知识的迁移，同时也培养了学生的核心素养.